Теоретическая механика. Статика

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 

высшего образования

«Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Серия «Учебники ТГАСУ»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. 

СТАТИКА

Электронное учебное пособие

Рекомендовано Учебно-методическим советом ТГАСУ

в качестве учебного пособия для студентов первого курса

всех направлений 

Томск

Издательство ТГАСУ

2022

Авторы: Н.А. Еньшина, Т.А. Ковалевская, М.В. Геттингер, Е.В. Комарь

УДК 531.2(075.8)
ББК 22.211я73

Т338    

Серия «Учебники ТГАСУ» основана в 2013 году

Теоретическая механика. Статика : электронное учебное пособие / Н.А. Еньшина, 

Т.А. Ковалевская, М.В. Геттингер, Е.В. Комарь ;  Томский государственный архитектурностроительный университет. – 2-е изд., испр. и доп. – Томск : Изд-во Том. гос. архит.строит. ун-та, 2022. – (Серия «Учебники ТГАСУ»). – 1 электрон. диск (CD-R) : 12 см; 
в контейнере 14×12,5 см. – Систем. требования: PC не ниже класса Pentium; 1 Гб RAM; 
свободное место на HDD 7 Мб; Windows XP/Vista/7/8/10; Adobe Acrobat Reader; дисковод 
CD-ROM 2-х и выше; клавиатура; мышь. – Загл. с этикетки диска. – ISBN 978-5-60490939-3. – Текст : электронный.

ISBN 978-5-6049093-9-3

Учебное пособие содержит материал по основным темам курса теоретической механики 

раздела «Статика»: «Сходящаяся система сил», «Произвольная плоская система сил», «Трение» 
и др. Для закрепления теоретического материала по каждой теме приведены решения задач 
с подробными объяснениями. Некоторые задачи решены несколькими способами.

В пособии предложены задачи для самостоятельного решения и вопросы для само
контроля. Методика изложения теоретического и практического материала позволяет использовать данное учебное пособие для самостоятельного изучения раздела «Статика» без применения дополнительного руководства по решению задач.

Учебное пособие предназначено для студентов всех специальностей, изучающих теоре
тическую механику. Может быть использовано студентами при выполнении самостоятельных 
работ, а также преподавателями для подготовки к лекционным и практическим занятиям.

УДК 531.2(075.8)

ББК 22.211я73

Рецензенты: 
М.А. Шеремет, докт. физ.-мат. наук, профессор, зав. каф. теоретической механики ТГУ;
А.К. Томилин, докт. физ.-мат. наук, профессор отделения общетехнических дисциплин
ТПУ.

ISBN 978-5-6049093-9-3
 Томский государственный

архитектурно-строительный
университет, 2022

 Еньшина Н.А., Ковалевская Т.А.,    

Геттингер М.В., Комарь Е.В., 2022

Т338  

ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ 

Многие технические расчеты, выполняемые при проектировании зданий, сооружений, 
дорог, мостов, механизмов и машин, основаны на законах теоретической механики. Поэтому 
в комплексе всех дисциплин, преподаваемых в технических университетах при подготовке 
инженеров и ученых, теоретическая механика занимает важное место. 
Теоретическая механика – это наука об общих законах механического движения 
и равновесия материальных тел и о возникающих при этом взаимодействиях между телами. 
Основной задачей теоретической механики является изучение общих законов движения 
и равновесия материальных тел под действием приложенных к ним сил. Одним из основных 
методов изучения теоретической механики является метод абстракции. Метод абстракции – 
это общий метод научного познания, и он заключается в том, что невозможно охватить сразу 
все свойства предмета, поэтому сосредоточиваем свое внимание лишь на главнейших из них. 
Согласно этому методу, свойства реальных тел идеализируются. Так, твердое тело в теоретической механике рассматривается как абсолютно твердое, т. е. такое, расстояние между 
каждыми двумя точками которого не изменяется, тело не деформируется. Таких тел в природе не существует, следовательно, абсолютно твердое тело – идеализированное тело. В дальнейшем слово «абсолютно» будем опускать и называть просто «твердое тело». К идеализированным телам в механике относится материальная точка – это тело, способное взаимодействовать с другими телами, имеющее массу и исчезающе малые размеры, которыми 
в условиях данной задачи можно пренебречь. 
По характеру рассматриваемых задач теоретическую механику принято разделять 
на три раздела: статику, кинематику и динамику. 
В статике изучаются законы сложения сил и условия равновесия материальных тел 
под действием сил. В кинематике рассматриваются общие геометрические свойства движения тел без учета причин, вызывающих это движение, т. е. силы. Наконец, в динамике 
изучаются законы движения материальных тел под действием приложенных к ним сил. 
Иногда курс теоретической механики делят на два раздела: кинематику и кинетику. 
Раздел, называемый кинетикой, объединяет статику и динамику. В кинетике изучают движение и равновесие материальных тел в зависимости от действующих на них сил, следовательно, статика – это кинетика равновесия. 
Механика – древнейшая наука, и ее возникновение неразрывно связано с развитием 
производительных сил общества. Термин «механика» впервые появился в сочинениях одного из выдающихся философов древности Аристотеля (IV в. до н. э.). В древние времена, когда запросы производства сводились к нуждам строительной техники, начинает развиваться 
учение о простейших машинах (блок, ворот, рычаг, наклонная плоскость) и общее учение 
о равновесии тел – статика. И только развитие ремесел, торговли, мореплавания, военного 
дела приводит к развитию динамики и астрономическим открытиям. Главные заслуги в создании основ динамики принадлежат гениальным ученым Галилео Галилею (1564–1642) 
и Исааку Ньютону (1643–1727). В сочинении Ньютона «Математические начала натуральной 
философии», изданном в 1687 г. – одном из самых выдающихся трудов в истории человечества – изложены и систематизированы основные законы так называемой классической механики – законы Галилея – Ньютона. В дальнейшем эти законы прошли большую опытную 
проверку и нашли подтверждение в процессе всей общественно-производительной практики 
человечества. Сформулируем эти законы. 

Законы Галилея – Ньютона 

1. Закон инерции. Материальная точка при отсутствии внешних воздействий сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока приложенные к ней силы не изменят это состояние. 
Согласно закону инерции Галилея, материальная точка (тело), находящаяся в начальный момент в покое, остается в этом состоянии до тех пор, пока на нее не действуют никакие 

3

 

силы или действует система взаимно уравновешивающихся сил, эквивалентная нулю. В этом 
случае говорят, что материальная точка (твердое тело) находится в равновесии. К равновесию относится и равномерное прямолинейное движение материальной точки. 
Системы отсчета, по отношению к которым выполняется закон инерции, называются 
инерциальными. При решении большинства технических задач инерциальной можно считать систему отсчета, жестко связанную с Землей. 
2. Закон пропорциональности силы и ускорения. Ускорение материальной точки 
относительно инерциальной системы отсчета пропорционально приложенной к ней силе 
и имеет одинаковое с ней направление. 
3. Закон равенства действия и противодействия. Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, проходящей 
через эти точки, в противоположные стороны. 
4. Закон независимости действия сил. Несколько одновременно действующих на материальную точку сил сообщают точке такое ускорение, какое сообщила бы ей одна сила, 
равная их геометрической сумме. 
На этих четырех законах основаны все дальнейшие рассуждения. 
Для изучения курса теоретической механики необходимо иметь соответствующую математическую подготовку. Во всех разделах курса, начиная со статики, широко используется 
векторная алгебра. Необходимо уметь определять проекции векторов на координатные оси, 
находить геометрически и аналитически сумму векторов, вычислять скалярное и векторное 
произведение двух векторов. Надо также уметь пользоваться системой прямоугольных декартовых осей координат на плоскости и в пространстве, знать, что такое единичные векторы (орты) этих осей и как выразить составляющие вектора по координатным осям. 
Для изучения кинематики надо уметь свободно дифференцировать функцию одного 
переменного, строить графики этих функций, быть знакомым с понятием кривизны кривой 
и радиуса кривизны кривых 2-го порядка. 
Для изучения динамики надо уметь находить интегралы (неопределенные и определенные) от простейших функций, вычислять частные производные и полный дифференциал 
функции нескольких переменных, а также уметь интегрировать дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными и линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. 
Настоящее учебное пособие предназначено для студентов строительных университетов, а также других высших технических учебных заведений. При построении курса исходным было предположение, что в учебном пособии, особенно кратком, следует идти от простого к сложному. Поэтому перед статикой в трехмерном пространстве излагается статика на 
плоскости. Это помогает быстрее и лучше усвоить материал. Этому же способствует 
и большое количество рассмотренных в пособии задач и методов их решения. Поэтому 
настоящее учебное пособие полезно студентам всех специальностей, особенно студентам 
заочной формы обучения. 
При изучении курса теоретической механики весьма полезно использовать дополнительную литературу [1–7]. 

4

 

1. ВВЕДЕНИЕ В СТАТИКУ 
 
1.1. Основные понятия статики 
 
Статикой называется раздел теоретической механики, в котором изучаются методы 
преобразования одних систем сил в другие, им эквивалентные, и устанавливаются условия 
равновесия твердых тел, находящихся под действием сил. 
Основным понятием статики является сила. Силы могут быть различными по своей природе: сила тяжести, мускульная сила, сила ветра, упругая сила пара, сила сопротивления среды, архимедова сила и др. Но в механике не занимаются исследованием природы сил, а считают тождественными все те силы, которые сообщают одному и тому же телу одно и то же движение. Наблюдение показывает, что источник всякой силы заключается в другом теле, которое 
оказывает влияние на движущееся тело или непосредственно касаясь его (действие ветра на 
крылья ветряной мельницы, пара – на поршень паровой машины и т. д.), или действуя при посредстве материальных связей (тяга лошади, запряженной в экипаж), или без посредства видимых связей – действие на расстоянии (всемирное тяготение, магнетизм). Следовательно, под 
словом «сила» надо разуметь действие одного тела на другое, другими словами: сила – это мера механического воздействия на некоторое материальное тело со стороны другого материального тела (или физического поля), характеризующая интенсивность и направление этого воздействия. При помощи понятия силы дается не только качественное представление о происходящих взаимодействиях тел, но и их количественная оценка. Сила характеризуется тремя факторами: величиной, направлением и точкой приложения. 
Величина силы (модуль) определяется из сравнения данной силы с силой, принятой за 
единицу. За единицу силы в системе СИ берется 1 ньютон (Н). 
Направлением силы называют направление того ускорения, которое данная сила сообщает свободной материальной точке в инерциальной системе отсчета, действуя на нее одна. Так, например, сила тяжести направлена вертикально вниз, т. к. именно в этом направлении начинает двигаться покоящееся свободное тело при действии на него только этой силы. 
Точку приложения силы можно трактовать следующим образом. Чтобы привести 
твердое тело в движение, мы привязываем к некоторому месту этого тела нить и натягиваем 
ее в какую-нибудь сторону с некоторым усилием. Место прикрепления нити мы можем мысленно представить себе как материальную точку, на которую непосредственно действует 
очень тонкая нить. Такая точка, к которой непосредственно приложена сила, называется 
точкой приложения силы. Хотя сила действует на одну точку тела, она приводит в движение все тело, ибо каждая точка твердого тела неизменно соединена с остальными.  
 

 
Таким образом, математически сила – это вектор. Прямая, по которой направлена сила, называется линией действия силы (рис. 1.1). 
Совокупность нескольких сил, действующих на данное тело, называется системой сил. 

Рис. 1.1 

В 
А 

F  

5

 

Системы сил, под действием каждой из которых твердое тело находится в одинаковом 
(механическом) состоянии, называются эквивалентными. 
Сила, эквивалентная некоторой системе сил, называется равнодействующей данной 
системы сил. 
Сила, равная по модулю равнодействующей и направленная по линии ее действия 
в противоположную сторону, называется уравновешивающей. 
Система сил, которая, будучи приложена к свободному твердому телу, находящемуся 
в покое, не выводит его из этого состояния, называется системой взаимно уравновешивающихся сил. Введенное нами определение взаимно уравновешивающихся сил, приложенных к абсолютно твердому телу, не может быть распространено на силы, приложенные к деформируемым телам. 
 
1.2. Аксиомы статики 
 
Для изучения курса статики в его основу закладывают аксиомы – утверждения, не требующие доказательства. Аксиомы статики представляют собой результат обобщений многочисленных опытов и наблюдений над равновесием и движением тел, неоднократно подтвержденных практикой. Часть аксиом основана на законах Галилея – Ньютона, которые сформулированы в разделе «Введение в механику».  
 
1.2.1. Аксиома равновесия двух сил 
 
Аксиома. Две силы, приложенные к твердому телу, взаимно уравновешиваются только 
в том случае, если их модули равны, и они направлены по одной прямой в противоположные 
стороны (рис. 1.2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
1.2.2. Аксиома присоединения и исключения уравновешивающихся сил 
 
Аксиома. Действие системы сил на твердое тело не изменится, если к ней присоединить или из нее исключить систему взаимно уравновешивающихся сил (рис. 1.3). 

1
2
3
4
1
2
1
2
3
4
(
,
,
,
,
,
)
(
,
,
,
)
F F
F F Q Q
F F
F F

. 

Эта аксиома имеет очень важное следствие: не изменяя кинематического состояния 
абсолютно твердого тела, силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно переносить вдоль линии ее действия, сохраняя неизменным ее модуль и направление. 
Доказательство. Предположим, что в точке А к твердому телу приложена сила P  
(рис. 1.4). Согласно аксиоме, не меняя действия силы P  на тело, мы можем приложить 
к нему в точке В систему двух уравновешенных сил P  и P  , равных по модулю силе P  
и лежащих с ней на одной прямой, т. е.: 

                                                                      
( ,
,
).
'
''
P
 P P P
 
 
 
                      (1.1) 

Рис. 1.2 

А2 

А1 

2
F

1
F

6

 

 
 
 
 

 
 
Отбрасывая силы P  и P   как взаимно уравновешенные, получим силу P , которая 
будет эквивалентна данной системе трех сил 

,
,
P P P

 , причем приложена эта сила P  

в точке В. Очевидно, сила 
P  P

. 
Таким образом, мы доказали, что силу можно переносить вдоль линии ее действия 
в любую точку тела, не изменяя при этом ее модуля и направления. Поэтому в статике твердого тела сила рассматривается как скользящий вектор. Сила же, приложенная к деформируемому телу, всегда рассматривается как связанный вектор, переносить ее вдоль линии действия нельзя. 
 
1.2.3. Аксиома параллелограмма сил 
 
Аксиома. Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке твердого тела, 
по модулю и направлению изображается диагональю параллелограмма, построенного 
на этих силах (рис. 1.5, а).  

 
Сложение векторов сил на основании правила параллелограмма называется векторным, или геометрическим, сложением. Это хорошо известно из элементарной математики и выражается следующим геометрическим равенством: 

  
 
 
 
 
2
1
R = F + F
.  
 
 
                       (1.2) 

На основании теоремы косинусов можно найти модуль равнодействующей из треугольника АВС: 

  
 
 



2
2
1
2
1
2

2
2
1
2
1
2

2
cos 180
φ

2
cos φ

R =
F +F
F F

=
F +F + F F
.







 
 
       
          (1.3) 

Рис. 1.5 

б 
а 

А 

В 
С 

D 






R
1F

2
F

2
F

R

1F

Рис. 1.3 

2
A

3A

4
A

2
B

1
B

А1 
 

 

 
 

Q1
2
Q

 

1F  

2
F  

3
F  

4
F  

Рис. 1.4 

А 
В 
P   

P 

P  

7

 

Направление равнодействующей найдем на основании теоремы синусов, вводя углы 

  и   (рис. 1.5, а): 

  
 
 



1
2
sin β
sin α
sin 180
φ
F
F
R
=
=
 
. 
 
 
                      (1.4) 

В зависимости от величины угла   можно выделить три частных случая: 

1) φ
0 , cos 0
1;
=
=


  
2
1
2
1
2
2
12
2
F = F + F
F + F + F
R =

 (алгебраическая сумма); 

2) φ
90 , cos 90
0;
=
=


 
2
2
12
F +F
R=
 (теорема Пифагора); 
3) φ
180 , cos 180
1;
=
=



 

2 
1
F
R = F

 (направлена в сторону большей силы). 
Построение параллелограмма сил можно заменить построением треугольника сил 
(рис. 1.5, б). 
Сложение сил по правилу параллелограмма впервые (1605 г.) предложил Симон Стевин 
(1548–1620) – нидерландский математик, механик и инженер. Он нашел также критерий равновесия трех сходящихся сил, доказал условия равновесия тела на наклонной плоскости, выдвинул принцип невозможности вечного движения, а также заложил основы гидростатики 
(статики жидкости). 
На основании аксиомы параллелограмма сил можно сформулировать теорему о равновесии трех непараллельных сил, которая часто называется теоремой о трех силах. 
 
1.2.4. Теорема о трех силах 
 
Теорема. Линии действия трех непараллельных, взаимно уравновешивающихся сил, 
лежащих в одной плоскости, пересекаются в одной точке (рис. 1.6). 
 

 
Доказательство. По условию теоремы, силы непараллельны, значит, две из них пересекутся, и линия действия их равнодействующей пройдет через точку их пересечения О (рис. 1.6): 

2
1
2
1
R = F + F = F + F


. 

Кроме того, поскольку силы взаимно уравновешены, то линия действия третьей силы 

3
F , согласно аксиоме (см. п. 1.2.1), также пройдет через точку О, что и требовалось доказать. 
 
1.2.5. Аксиома равенства действия и противодействия 
 
Аксиома. Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное 
противодействие. 

Рис. 1.6 

O 

A2 

A3 

A1 

R  
3
F  

1F  

1F  

2
F  

2
F  

8

 

Эта аксиома утверждает, что в природе не существует одностороннего действия силы. 
Будучи приложенными к разным телам, эти силы не уравновешиваются. 
 
1.2.6. Аксиома затвердевания 
 
Аксиома. Равновесие сил, приложенных к деформируемому телу, сохраняется при его 
затвердевании. 
Из этой аксиомы следует, что условия равновесия сил, приложенных к абсолютно 
твердому телу, должны выполняться и в том случае, если тело деформируется. 
 
1.3. Несвободное твердое тело. Связи и реакции связей 
 
Твердое тело называется свободным, если оно не скреплено с другими телами и может 
перемещаться в пространстве в любом направлении. 
Тело, перемещение которого в пространстве ограничено другими телами, называется 
несвободным. 
Тела, ограничивающие свободу движения данного твердого тела, являются по отношению к нему связями. 
Реакцией связи называется сила или система сил, выражающая механическое действие 
связи на тело. 
В отличие от реакций связей, задаваемые (или заданные) силы выражают действие на 
твердое тело других тел, вызывающих или способных вызвать изменение его кинематического 
состояния. Заданные силы часто называют активными, реакции связей – пассивными. 
Одним из основных положений механики является принцип освобождаемости твердых 
тел от связей, который гласит: несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, на которое, кроме активных сил, действуют реакции связей. 
В табл. 1 приведены основные типы связей, наиболее часто встречающиеся в инженерной практике, а также показаны реакции этих связей. Конструктивно, при закреплении некоторого тела, эти связи могут быть реализованы как в чистом виде, так и в комбинациях между собой. На рисунках таблицы введены общепринятые обозначения: А, В, С – точки приложения сил реакций связей; 
A RB
R ,
 – полные реакции; 
A
A
A
Z
Y
X
,
,
 – составляющие сил реак
ций шарниров; 
T1, T2
 – натяжения гибких связей; 
3
2
1
,
,
S
S
S
 – реакции стержней. 
Во всех рассмотренных в табл. 1 примерах силы трения не учитываются, т. е. поверхности соприкасающихся тел предполагаются идеально гладкими. Активные силы в основном 
не указаны. 
В случаях, когда тело закреплено при помощи сферического или шарового шарнира, 
сначала определяют составляющие (
A
A
A
Z
Y
X
,
,
) сил реакций по положительным направлениям координатных осей. В правильности указания направления составляющей убеждаемся 
по результату решения. Если полученная составляющая имеет знак плюс, то направление 
выбрано верно, знак минус указывает, что составляющая направлена в противоположную 
сторону. 
Зная величины составляющих, можем определить величину и направление полной реакции шарнира:  

2
2
2
A
A
A
A
Z
Y
X
R



; 

 cos (
, )
; cos (
, )
; cos (
, )
.
A
A
A
A
A
A
A
A
A

X
Y
Z
R
x =
R
y =
R
z =
R
R
R
 

9

 

Таблица 1 

Основные виды связей и направления их реакций 

Наименование 
Схема типичной связи 
Некоторые 
конструктивные разновидности 

1. Опорная 
поверхность 

 
 

2. Опорное ребро 
(угол) 

 
 

3. Гибкие и стержневые связи 

 
 

4. Неподвижный  
цилиндрический 
шарнир 

 
 

5. Подвижный  
цилиндрический 
шарнир (каток) 

 
 

6. Шаровой шарнир 
(подпятник) 

 
 

7. Жесткая заделка 
(защемление) 

 
 

 
В задачах статики опорные реакции являются, как правило, искомыми величинами, 
следовательно, этот параграф имеет важное значение для решения задач статики. Кроме того, нахождение реакций связей имеет также большое прикладное значение, т. к. определив 

C
R  

B
R  

A
R  

А 
В 

С 

T  
А 
A
T  
А 

B
T  
В 

1S  
2
S  
3S  

А 

D 

С 

В 
E 

F 

y 

x 

A
R  

A
X  

A
Y  

A 

A
X  

A
Y  

A 

A
R  
А 

A
R  

А 
А 

A
R  

  

  
 

z 

y 

x 
O
X  

O
Z  

O
Y  
O 

A
X  

A
Y  

В 

А 

A
Z  

B
Y  

B
X  

z 

y 

x 

A
X  

A
Y  

A 

А 
 

А
R  

А 

A
R  

A
R  

А 
А 

A
R  

 

y
M  

z 

y 

x 

3F  

2
F  

1F  

1F  

A
Y  

A
X  

x
M  
A 

z
M  

A
Z  

A
Y  

A
X  
А 

A
M  

10