Теоретическая механика. Кинематика

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации


Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Томский государственный архитектурно-строительный университет»





Серия «Учебники ТГАСУ»





ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА



Электронное учебное пособие







Рекомендовано Учебно-методическим советом ТГАСУ в качестве учебного пособия для студентов первого и второго курсов всех направлений очной и заочной форм обучения







Томск Издательство ТГАСУ 2022

Авторы: Н.А. Еньшина, Т.А. Ковалевская, О.И. Данейко, М.В. Геттингер

УДК 531.1(075.8)
ББК 22.212я73
    Т338
           Серия «Учебники ТГАСУ» основана в 2013 году

            Теоретическая механика. Кинематика : электронное учебное пособие / Н.А. Еньшина, Т.А. Ковалевская, О.И. Данейко, М.В. Геттин-гер ; Томский государственный архитектурно-строительный университет. - 2-е изд., испр. и доп. - Томск : Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та, 2022. - (Серия «Учебники ТГАСУ»). - 1 электрон. диск (CD-R) : 12 см; в контейнере 14*12,5 см. - Систем. требования: PC не ниже класса Pentium; 1 Гб RAM; свободное место на HDD 9 Мб; Windows XP/Vista/7/8/10; Adobe Acrobat Reader; дисковод CD-ROM 2-х и выше; клавиатура; мышь. - Загл. с этикетки диска. - ISBN 978-5-6048769-9-2. -Текст. Изображение : электронные.
           ISBN 978-5-6048769-9-2

            Настоящее электронное учебное пособие представляет собой курс лекций по разделу теоретической механики «Кинематика». В пособии изложены основы кинематики точки и твёрдого тела в соответствии с программами технических вузов. Теоретические материалы сопровождаются примерами подробного решения типовых задач по всем основным темам с рекомендациями задач для самостоятельного решения.
            Пособие предназначено для студентов первого и второго курсов всех направлений очной и заочной форм обучения.

                                                   УДК 531.1(075.8) ББК 22.212я73

      Рецензенты:
      М.А. Шеремет, докт. физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической механики ТГУ;
      А.К. Томилин, докт. физ.-мат. наук, профессор отделения общетехнических дисциплин ТПУ.


ISBN 978-5-6048769-9-2

             © Томский государственный архитектурно-строительный университет, 2022
                                            © Еньшина Н.А., Ковалевская Т.А., Данейко О.И., Геттингер М.В., 2022

                ВВЕДЕНИЕ В КИНЕМАТИКУ





      Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве с течением времени с геометрической точки зрения вне связи с силами, определяющими это движение, отвлекаясь при этом от физических свойств движущихся материальных тел.
      В переводе с греческого «кинема» - движение. Термин «движение» - философский термин, который определён Энгельсом в его «Диалектике природы» следующим образом: «Движение, рассматриваемое в самом общем смысле слова, то есть понимаемое как форма бытия материи, как внутренне присущий материи атрибут, обнимает собою все происходящие во вселенной изменения и процессы, начиная от простого перемещения и кончая мышлением»¹.
      «В мире нет ничего, кроме движущейся материи, и движущаяся материя не может двигаться иначе, как в пространстве и во времени» (В.И. Ленин «Материализм и эмпириокрити-цизм»²). Следовательно, пространство и время представляют собой форму существования материи.
      В теоретической механике изучается простейшая форма движения материи - механическое движение.
      Механическим движением называется происходящее с течением времени изменение положения одного тела относительно другого тела, с которым связана система координат, называемая системой отсчёта.
      Систему координат можно связать с любым телом, как движущимся, так и условно неподвижным. В природе не существует абсолютно неподвижного тела, относительно которого

      ¹ Энгельс, Ф. Диалектика природы / Ф. Энгельс. - Санкт-Петербург : Издательство «Лань», 2013. - 348 с. - URL: https://e.lanbook.com/book/5911

      ² Ленин, В.И. Полное собрание сочинений. Том 18. Материализм и эмпириокритицизм : полное собрание сочинений в 55-ти томах / В.И. Ленин.

3

можно было бы найти абсолютное движение. Тем не менее такое понятие, как абсолютное движение, применяется в классической механике - механике, основанной на законах Галилея -Ньютона. Под абсолютным движением понимают движение твёрдого тела относительно другого тела, собственным движением которого можно пренебречь.
     Так, для всех задач механики в пределах солнечной системы абсолютным можно считать движение тел относительно «неподвижных» звёзд и центра Солнца; для обычных, «земных», движений абсолютным можно назвать движение тела относительно поверхности Земли. При изучении движения тел относительно земной поверхности за систему отсчёта берётся система координат, связанная с Землёй.
     Пространство в классической механике рассматривается как трёхмерное евклидово пространство, за единицу длины при измерении расстояний берётся 1 м.
     Время в механике предполагается универсальным, то есть одинаковым во всех системах отсчёта, не зависящим от движения одной системы относительно другой. Оно рассматривается как непрерывно возрастающая величина. За единицу времени 1
принимается одна секунда, равная з<з(Х) средних солнечных суток. Отсчёт времени производится от некоторого момента, называемого начальным. Обозначая всюду в дальнейшем время буквой t , будем принимать, что в начальный момент t = 0 , всякий другой момент t будет измеряться числом секунд, прошедших между началом отсчёта времени и рассматриваемым моментом.
     Число секунд (минут, часов и т. д.), прошедших между двумя моментами времени, называется промежутком времени.
     Движение тела или любого геометрического образа будет известно, если для каждого момента времени можно указать его положение в пространстве. Поэтому Лагранж (1736-1813) назвал кинематику геометрией четырёх измерений. Эта точка

4

зрения нашла применение в теории относительности, где мир рассматривается пространственно-временным многообразием четырёх измерений, а событие - точкой этого многообразия. При этом нужно помнить о качественном различии между временной координатой и пространственными, заключающемся в том, что временная координата всегда изменяется в одном направлении - в направлении своего возрастания.
     Представление Древнего мира о движении ограничивалось равномерным движением и его скоростью как отношением пути, пройденного телом, ко времени, в течение которого пройден этот путь.
     Понятие ускорения введено итальянским учёным Галилео Галилеем (1564-1642) и обобщено для случая криволинейного движения голландским учёным Христианом Гюйгенсом (1629-1695). Он первый применил разложение ускорения на касательную и нормальную составляющие. Развитие кинематики в XVIII в. связано с работами Леонарда Эйлера (1707-1783). Эйлер заложил основы кинематики твёрдого тела, создал аналитические методы решения задач механики. Крупные исследования в области кинематики механизмов и машин принадлежат французским учёным Понселе, Кориолису и русским учёным, академикам П.Л. Чебышеву, Л.В. Ассуру, Н.И. Мерцалову, А.П. Котельникову и др.
     В кинематике масса тела не имеет никакого значения, поэтому вместо материальной точки кинематика изучает движение геометрической точки, а абсолютно твёрдое тело рассматривается как совокупность бесконечного числа таких точек, связанных условием неизменяемости взаимных расстояний.
     В дальнейшем мы рассмотрим сначала кинематику точки, затем кинематику абсолютно твёрдого тела, а в заключение -сложное движение точки и тела.

5

                1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ





     Изучение кинематики мы начнём с изучения движения простейшего объекта - точки, а затем перейдём к изучению кинематики твёрдого тела.
     Движущаяся относительно некоторой системы отсчёта точка описывает в ней траекторию - геометрическое место последовательных положений точки в пространстве. Если траекторией точки является прямая линия, то движение точки называется прямолинейным, если кривая - криволинейным.
     В кинематике ставятся и последовательно решаются для данного вида движения точки (тела) две основные задачи:
     1.     Задать движение точки (тела), то есть выбранным способом записать в математической форме закон движения этой точки (тела).
     2.     Сделать кинематический анализ данного движения точки (тела), то есть определить необходимые характеристики движения этой точки (тела) (траектория, скорость, ускорение, время движения, дальность полёта и т. д.).


            1.     1. Способы задания движения точки


     Движение точки в пространстве считается заданным, если известен способ, который позволяет в любой момент времени определить её положение по отношению к выбранной системе отсчёта. Существует три способа задания движения точки: естественный, векторный и координатный.
Естественный способ
     Этот способ задания движения точки удобен в тех случаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ является траекторией точки М при её движении относительно системы отсчёта Oxyz (рис. 1.1). Примем какую-нибудь точку О'на траектории за начало отсчёта. Установим на траектории положительное и отрицательное направление отсчёта.


6

     Положение движущейся точки М на траектории будем определять дуговой координатой u
O'M = s, отложенной на траектории от начала отсчёта О' и взятой с соответствующим знаком. Для полного определения движения точки необходимо знать связь значений дуговой координаты s

со временем t, то есть нужно знать зависимость:

s = f (t) .

(1.1)

     Эта зависимость называется уравнением движения точки.
     Таким образом, чтобы задать движение точки естественным способом, надо задать: 1) траекторию точки; 2) начало отсчёта дуговой координаты на траектории с указанием положительного и отрицательного направлений отсчёта; 3) закон движения точки по траектории s = f (t) . Заметим, что величина s в уравнении (1.1) определяет дуговую координату, то есть положение движущейся точки на траектории, а не пройденный ею путь. Например, если точка, двигаясь из начала О', доходит до положения М1 (рис. 1.1), а затем, перемещаясь в обратном направлении, приходит в положение М, то в этот момент её координата s = OMM, а пройденный за время движения путь будет
равен о = О'М₁ + ММ, и это не равно дуговой координате s .
     Изменение дуговой координаты s за элементарный промежуток времени dt равно дифференциалу дуговой координаты:
ds = f '(t) dt.                (1.2)
     Если ds > 0 , то точка движется в сторону возрастания дуговой координаты, если ds < 0 - в противоположную сторону.

7

Векторный способ
     Пусть точка М движется по некоторой траектории М0Мп относительно системы отсчёта Oxyz (рис. 1.2). Положение этой точки в пространстве в любой момент времени можно определить, задав её радиус-вектор r , проведённый из начала координат в точку М. При движении точки М по траектории вектор r с течением времени будет изменяться по модулю и по направлению. Следовательно, r является вектор-функцией, зависящей от аргумента t :
r = r (t).                      (1.3)
     Равенство (1.3) определяет закон движения точки по траектории в векторной форме. Напомним из математики, что линия, описанная концом переменного вектора, выходящего из одной неподвижной точки пространства, называется годографом данного вектора. Следовательно, траектория точки является годографом её радиус-вектора.

8

     Аналитически вектор задаётся его проекциями на декартовы оси координат: r = x(t), r = y(t), r = z(t) (рис. 1.2). Если i, j, k - орты декартовых осей координат, то разложение радиуса-вектора r по этим осям координат будет иметь вид:
r = xi + yj + zk.              (1.4)
     От векторных формул (1.3) - (1.4) легко перейти к аналитическим формулам, которые более удобны для вычислений, и это мы рассмотрим в следующем способе задания движения точки.
Координатный способ
     Если в данной системе координат, например Oxyz (рис. 1.2), задать координаты движущейся точки М как функции времени, то тем самым положение точки будет определено в любой момент времени. Так, в декартовой системе координат мы должны знать зависимости:


x = f(. t⁾,

< y = f2(t),                   (1.5)
. Z = fз( t).
     Очевидно, эти функции должны быть однозначны, непрерывны и дифференцируемы по меньшей мере дважды. Уравнения (1.5) называются уравнениями движения точки в декартовых координатах.
     Кроме того, зная уравнения (1.5), с помощью формулы (1.4) мы можем получить в каждый момент времени значение радиуса-вектора движущейся точки и тем самым от координатного способа задания перейти к векторному. В этом и заключается взаимосвязь между векторным и координатным способами задания движения точки.
     Движение точки М в одной плоскости определится, очевидно, двумя уравнениями:


' x = f( t), s
IУ = f2⁽ t).

(1.6)

9

     Прямолинейное движение точки определится одним уравнением:

x = f₁(t).

(1.7)

     В этом случае координатный способ задания движения точки сводится к естественному.
     Уравнения движения точки в декартовых координатах можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки, где в качестве параметра принимается время t . Если исключить параметр t из уравнений движения точки (1.5), то получается уравнение траектории точки в координатной или аналитической форме. Действительно, решив первое уравнение системы (1.5) относительно параметра t , получим:

t = ф( x).

(1.8)

     Подставляя полученное значение t в два других уравнения системы (1.5), найдём уравнения траектории точки в координатной форме:

/У = f2 [ф ⁽x⁾], .z = f3 [ф ⁽x⁾].

(1.9)

     Как известно из математики, два уравнения с тремя переменными (координаты x,y,z ) описывают кривую в пространстве.
     Если точка М движется в плоскости, то, исключив параметр t из первого уравнения системы (1.6) и подставив его во второе уравнение, получим уравнение траектории в таком виде:

У = f2 [ф ⁽x⁾].

(1.10)

     Итак, определим отличие траектории точки от уравнений движения. Очевидно, по уравнениям движения точки можно указать положение точки в пространстве в любой момент времени, в то время как по уравнению траектории этого сделать нельзя, так как аналитические уравнения кривых линий в координатной форме не содержат параметра времени t .

10