Лекции по теории надежности автомобильных дорог

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Р.П. Моисеенко

ЛЕКЦИИ

ПО ТЕОРИИ НАДЁЖНОСТИ 
АВТОМОБИЛЬНЫХ ДОРОГ

Учебное пособие

2-е издание, исправленное и дополненное

Томск

Издательство ТГАСУ

2022

УДК 539.4:624.04(075.8)
ББК 38.5я7

М74

Моисеенко, Р.П.

Лекции по теории надёжности автомобильных дорог : 

учебное пособие / Р.П. Моисеенко ; под ред. Н.В. Барашкова, 
Д.Н. Песцова. – 2-е изд., испр. и доп. − Томск : Изд-во Том. гос. 
архит.-строит. ун-та, 2022. – 154 с. – Текст : электронный.

ISBN 978-5-6048004-5-4

В учебном пособии представлен курс лекций по теории надёжности ав
томобильных дорог. Рассматриваются начальная надёжность и долговечность автомобильных дорог. Сделана попытка связать термины и обозначения теории вероятностей, математической статистики и теории расчёта автомобильных дорог 
в общей дисциплине «Теория надёжности автомобильных дорог». С этой целью 
курс лекций условно разделён на две части. В первой части представлены основы 
теории вероятностей и математической статистики. Вторая часть показывает, как 
теория вероятностей и математическая статистика используются в расчётах 
надёжности автомобильных дорог. Теоретический материал лекций сопровождается большим количеством примеров расчёта надёжности и долговечности простых конструкций и автомобильных дорог. В конце большинства лекций представлены вопросы для проверки усвоения материала.

Учебное пособие по дисциплине «Теория надёжности автомобильных 

дорог» предназначено для специалистов, обучающихся по направлению подготовки 08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений», специализации № 5 «Строительство автомагистралей, аэродромов и специальных сооружений» и магистров, обучающихся по направлению «Строительство».

УДК 539.4:624.04(075.8)
ББК 38.5я7

Рецензенты:
В.Н. Ефименко, докт. техн. наук, профессор ТГАСУ.

ISBN 978-5-6048004-5-4
© Томский государственный

архитектурно-строительный
университет, 2022

© Моисеенко Р.П., 2022

М74

ПРЕДИСЛОВИЕ

Лекции по теории надёжности автомобильных дорог со
держат общие теоретические сведения и примеры их применения в расчётах начальной надёжности и долговечности автомобильных дорог. По теории надёжности автомобильных дорог 
нет подробно написанных учебников, поэтому лекции разработаны в качестве пособия для освоения базовых понятий теории 
надёжности автомобильных дорог. Единой трактовки этих понятий в соответствующей литературе нет. Автор использовал 
имеющиеся инженерные и математические трактовки, объединив их в следующую систему: надёжность автомобильной дороги включает в себя начальную надёжность при нормативных
характеристиках случайных величин, долговечность при изменении случайных величин во времени. Понятие «начальная 
надёжность» в современной литературе не используется, хотя 
имеет вполне логичное обоснование.

Курс лекций состоит из двух частей. Первая часть содер
жит общие сведения математической теории надёжности, основанной на теории вероятностей и математической статистике. 
Обращается особое внимание на точность формулировок научных терминов, которые не только используются в расчётах, но 
и формируют научное мировоззрение. Во второй части представлены расчёты начальной надёжности и долговечности автомобильных дорог с нежёсткой дорожной одеждой.

Форма контроля по данному объёму лекций – экзамен, по
этому студенту следует обратить внимание на вопросы в конце 
каждой лекции и блок-схему (лекция № 9), обобщающие теоретический материал лекций.

Лекция 1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ НАДЁЖНОСТИ 

И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.1. Случайный характер расчётных величин, 

влияющих на прочность и жёсткость
дорожной одежды

В настоящее время расчёт всех элементов автомобильных 

дорог проводится на основе детерминизма (от лат. determino –
определяю), т. е. учения о закономерности и причинной обусловленности явлений и событий. Принято считать, что величины, 
входящие в расчётные формулы, однозначно зависят от каких-то 
факторов и однозначно влияют на другие величины. Например, 
общий модуль упругости условной двухслойной дорожной одежды зависит от модулей упругости нижних слоёв и влияет на модули упругости верхних слоёв. Принимается, что в этой причинноследственной зависимости все величины имеют определённое 
значение, не изменяющееся ни во времени, ни в пространстве. 
Инженерам понятно, что детерминистический характер расчётных 
величин соответствует практике только на уровне среднестатистических значений. Реальная изменчивость расчётных величин 
(нагрузка, геометрические размеры, физические свойства материала и т. п.) учитывается с помощью коэффициентов (коэффициенты перегрузки, условий работы, однородности материала и т. п.). 
Однако величины этих коэффициентов в нормах проектирования 
также имеют усреднённый характер.

Таким образом, в рамках детерминистического расчёта ис
тинный характер изменчивости расчётных величин остаётся 
не учтённым. Практика строительства и эксплуатации автомобильных дорог показывает, что в большинстве случаев детерминистический подход в проектировании конструкций оправдан, 
если дорога имеет практически неизменные нагрузки и условия 
работы. Если дорога подвергается многим сочетаниям нагрузок

и условий работы, то её расчёт следует производить по методике, учитывающей случайные изменения расчётных величин. Эта 
методика называется «теория надёжности» и основана на математическом аппарате теории вероятностей.

Проектировочный расчёт по теории надёжности приводит 

к большему расходу материала по сравнению с детерминистическим расчётом по предельным состояниям. Но этот перерасход 
материала является условным, он теоретически обоснован и является гарантией повышенной надёжности дороги.

1.2. Основные понятия теории надёжности [3]

Теория надёжности автомобильных дорог – наука, изучаю
щая закономерности безотказной работы автомобильных дорог.

Основные вопросы, которые изучает теория надёжности:
1) критерии надёжности технических систем;
2) методы анализа надёжности в процессе проектирования 

и эксплуатации технических систем;

3) способы обеспечения и повышения надёжности техни
ческих систем.

Надёжность автомобильной дороги – это способность 

удовлетворять всем условиям прочности дорожной одежды 
в любой момент эксплуатации при случайных величинах нагрузок, сопротивлений материалов и геометрических размеров.

Совместно с понятием надёжности используется обратное 

понятие – отказ. Отказ – это событие, при котором параметры 
качества технического устройства выходят за допускаемые пределы (происходит нарушение условий прочности и/или жёстко-
сти), вследствие чего техническое устройство перестаёт отвечать 
своим эксплуатационным требованиям.

В теории надёжности используются следующие термины.
Элемент – объект с определёнными свойствами, имеющий 

показатель надёжности. Внутреннее строение элемента несуще

ственно. В автомобильных дорогах под элементом имеется в виду участок дороги или условие прочности по определённому показателю и т. п.

Система – это совокупность связанных между собой эле
ментов. Свойства системы отличаются от свойств составляющих 
её элементов.

Структура системы – схема взаимосвязей элементов. Со
единение элементов может быть последовательным, параллельным, смешанным.

Процесс – зависимость состояния системы от изменения 

конкретного параметра. Если этим параметром является «время», то процесс называется динамикой системы.

Предельное состояние – достижение параметром системы 

недопускаемого значения. Для автомобильных дорог сформулированы предельные состояния по каждому условию прочности 
жёстких и нежёстких одежд.

Технические объекты при достижении предельного состо
яния разделяются на восстанавливаемые и невосстанавливаемые. В теории надёжности автомобильных дорог рассматриваются невосстанавливаемые объекты, т. к. обычный ремонт дорог 
не связан с полной заменой дорожной одежды.

Понятия надёжность и отказ имеют численные характе
ристики, которые используются в теории вероятностей.

1.3. Основные понятия теории вероятностей [1]

Теория вероятностей – это наука о массовых случайных 

событиях. Основным событием в теории надёжности автомобильных дорог является выполнение условий прочности и трещиностойкости.

Событие называется достоверным, если оно обязательно 

происходит при выполнении определённых условий.

Событие называется невозможным, если оно заведомо 

не может произойти при выполнении определённых условий.

Событие называется случайным, если при выполнении 

определённых условий оно может произойти или не произойти.

Случайность события объясняется тем, что некоторые усло
вия, влияющие на исход испытания, не известны. Недостаток информации обусловлен или принципиальной непредсказуемостью 
на данном уровне развития науки, или большими затратами материальных средств и времени для проведения дополнительных исследований. Случайные события можно анализировать и предсказывать их осуществление только при многократном повторении 
испытаний. Множественность испытаний компенсирует недостаток теоретической информации, хотя и не в полной мере.

Анализ случайных событий основан на двух исходных по
нятиях: испытание и элементарный исход.

Испытание – это комплекс условий и действий, направлен
ных на достижение определённой цели.

Элементарный исход – это простейший результат испы
тания. При однократном проведении испытания реализуется 
только один из возможных элементарных исходов. Элементарные исходы не делятся на более простые в рамках принятых 
условий испытания.

Если при каждом испытании два события либо наступают, 

либо не наступают, то они называются равносильными событиями. Если два события не могут произойти одновременно, они 
называются несовместимыми событиями. Если два события могут произойти одновременно, они называются совместимыми 
событиями. Если два события имеют одинаковые возможности 
для реализации, они называются равновозможными событиями.

Пример 1.1. Рассматривается ферма (рис. 1.1) при стати
ческой нагрузке. Испытанием является однократная нагрузка на 
ферму, элементарным исходом является значение продольной 
силы в конкретном стержне.

Реальное значение продольной силы в стержне фермы 

не может быть точным расчётным значением из-за отклонений 
геометрических параметров и нагрузки от проектных величин. 

Поэтому значение продольной силы является случайной величиной: расчётное значение продольной силы может быть, а может 
и не быть.

Рис. 1.1. Расчётная схема фермы

Возможны следующие варианты событий:
1. Продольные силы в стержнях 3, 11 равны нулю во всех 

испытаниях – достоверное событие.

2. Растягивающие продольные силы в стержнях 4, 8 – не
возможное событие.

3. Конкретные значения продольных сил в стержнях при од
нократном испытании – совместимые и равновозможные события.

4. Нарушение условия прочности в стержне 2 и потеря 

устойчивости стержня 1 – несовместимые события.

1.4. Вероятность событий

В теории вероятностей определение характеристик случай
ных величин разделяется на две группы. В первую группу входят 
предельные характеристики, которые соответствуют неограниченно большому числу испытаний. Во вторую группу входят ха
F1
F2
F3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

d
d
d
d

d

рактеристики, которые определяются в результате конечного числа испытаний (экспериментов). Характеристики второй группы 
называются статистическими характеристиками. При неограниченно возрастающем числе испытаний статистические характеристики стремятся к своим предельным характеристикам. Это 
стремление доказывается соответствующими теоремами.

Смысл разделения характеристик на две группы виден на 

примере самой главной характеристики теории вероятностей –
вероятности события.

Классическое определение вероятности. Вероятность 

события – это численная мера объективной возможности его 
появления [1]. Вероятность Р(А) события А равна отношению 
числа случаев М, благоприятствующих событию А, к общему 
числу всех возможных исходов испытаний N [1]:

( )
M
P A
= N
.
(1.1)

Предполагается, что все события –
равновозможные 

и несовместимые.

Статистическое определение вероятности. Статистиче
ская (относительная) вероятность Р*(А) события А равна отношению числа случаев т, в которых событие А наступило, к общему числу проведённых испытаний (m
 n
):

*( )
m
P
A
= n
.
(1.2)

Сравнение формулировок вероятностей по выражениям 

(1.1) и (1.2) показывает, что вероятность случайного события
Р(A) – это возможная величина, равная пределу, к которому 
стремится относительная частота события А при неограниченном увеличении числа испытаний п, т. е.

*( )
( )
P
A
→ P A
.
(1.3)

Обозначение буквой Р принято от французского слова 

probabilité – вероятность.

Практическое вычисление вероятности по формуле (1.2) 

сводится к подсчёту отношения m/n при достаточно большом 
числе испытаний n.

Таким образом, практические расчёты теории вероятно
стей производятся на уровне статистических характеристик, 
ограниченных конечным числом испытаний. Но переход к предельным характеристикам позволяет  формулировать объективные свойства случайных событий. Например, на уровне понятия 
«вероятность» можно утверждать, что статистическая вероятность – это сама по себе случайная величина, а вероятность 
(предельная вероятность) – это достоверная величина, являющаяся объективной характеристикой конкретного явления.

Пример 1.2. В лаборатории проведено 50 испытаний на 

растяжение образца из малоуглеродистой стали. Зарегистрировано 47 значений предела текучести величиной 250 МПа. Какова 
вероятность этой величины предела текучести?

По формуле (1.2) получается

*
47
( )
0,94
50

m
P
A
= n
=
=
.

Пример 1.3. Какова вероятность нарушения прочности 

стержней фермы (событие А), рассмотренной в примере 1.1?

Решение. Сжатые стержни рассчитываются на устойчи
вость, поэтому элементарный исход – это нарушение прочности 
растянутого стержня с максимальной продольной силой, т. е. событию А соответствует один исход ( т = 1). На растяжение работает четыре стержня нижнего пояса. Следовательно, число испытаний равно п = 4, т. е. возможны 4 варианта появления максимальной продольной силы в различных стержнях. Все 
случайные события являются равновозможными. Тогда вероятность события А равна

1
( )
0,25
4

m
P A
= n
=
=
.