Рынок как система обслуживания случайных потоков

Рынок как система обслуживания случайных
потоков
2-е издание, исправленное
Берлин А.Н.
Национальный Открытый Университет “ИНТУИТ”

Рынок как система обслуживания случайных потоков/ А.Н. Берлин - М.: Национальный Открытый
Университет “ИНТУИТ”, 2016
В курсе рынок рассматривается, как система обслуживающая случайные потоки.
Это позволяет математически определить основные экономические понятия – спрос, предложение,
товар, склонность к потреблению и др. Математически описать связь между этими понятиями. И что
самое главное получать на основании заданных исходных данных числовые результаты. Например,
вероятности продажи заданной партии товаров, находить моменты перепроизводства (вероятные
точки начал кризиса) и другие важные данные. Курс предназначается специалистам, занимающихся
анализом рынка, работникам банка, предоставляющим кредиты, для того чтобы рассматривать
перспективы бизнес проектов и людям занимающимся приложением математических методов к
экономике.
(c) ООО “ИНТУИТ.РУ”, 2016-2016
(c) Берлин А.Н., 2016-2016

Математическая модель рынка
Введение
Название этого курса неслучайное. Вначале автор поставил цель расмотреть
применение раздела теории вероятностей - теории массового обслуживания к решению
одного из основных вопросов экономики математическому описанию
функционирования рынка.
Применение теории массового обслуживания в экономике известно. Оно в основном
касается таких областей, как расчет рабочих мест, например, касс или число
ремонтных бригад.
Теория массового обслуживания применяется, в частности, в розничной торговле при
анализе количества обслуживаемых покупателей и продолжительности их
обслуживания (при условии высокого качества их обслуживания). На эти показатели
оказывают влияние различные факторы (cлучайные величины). Они взаимодействуют
между собой в условиях процесса обслуживания покупателей, носящего случайный
характер.
Работ по применению аналогичных результатов непосредственно для расчета
экономических процессов, например, исследованию спроса и предложения автор не
встречал.
Подробное рассмотрение вопросов применения методов теории массового
обслуживания для исследования экономичесих процессов (например, потоков поставки
и приобретения товаров) показало, что наиболее перспективным является направление
рассмотрения рынка, как системы обслуживающей случайные потоки.
Это позволяет математически определить основные экономические понятия - спрос,
предложение, товар, склонность к потреблению и др. Математически описать связь
между этими понятиями. И что самое главное получать на основании заданных
исходных данных числовые результаты. Например, вероятности продажи заданной
партии товаров, находить моменты перепроизводства (вероятные точки начал кризиса)
и другие важные данные.
Такой подход позволяет получить очень интересные результаты.
Вначале перечислим эти результаты:
представлена математическая модель рынка;
на основе этой модели, показано, что расчеты параметров рынка можно проводить
по формулам теории массового обслуживания, в частности по формулам Эрланга,
Энгсета и др;
для этого определена универсальная математическая характеристика товара -
относительное потребление и потери (доля непроданных товаров);
согласно формуле Эрланга показана зависимость между спросом и предложением,
а также величиной потерь (величиной непроданных товаров);

расчеты по формуле Эрланга показывают, что основное влияние на спрос
оказывает предложение (величина поставки), при росте предложения
увеличиваются потери ( доля непроданных товаров), поэтому наращивание
предложения становится нецелесообразным. И как следствие, в зависимости от
себестоимости падают доходы;
цена товара влияет на спрос только на начальном этапе, а далее на этапе
насыщенного рынка, она играет роль, фактора конкурентной борьбы.
Такой подход позволяет:
1. проводить оценку перспектив различных бизнесов,
2. оценивать величину устанавливаемой цены,
3. определять возможные моменты кризисов и их периодичность (циклы
Кондратьева) [20].
Сразу хотелось бы предупредить, что математика не дает экономических прогнозов.
Один из великих инвесторов 21-22 века Уоррен Баффет, говорил: “Я не делаю
прогнозы, я даю оценки. Оценка не то, что прогноз”. ([17], стр.21, стр.23).
Поясним - это высказывание.
Предположим вам надо проехать на автомобиле из Петербурга в Москву. И вы
обратились к математику.
Он нашел соответствующую формулу и сказал, что если вы будете двигаться
непрерывно и равномерно без ускорений со скоростью 60 км/час, то расстояние от
Петербурга до Москвы - 600 км вы преодолеете за 10 часов.
Что дальше? Это прогноз? Нет - это оценка. Дальнейшее зависит от Вас. Вы можете
поехать (равномерно, без остановок), можете полететь на самолёте (опять математика
Вам позволит оценить время) или вовсе отказаться от поездки. У вас еще масса
вариантов.
Вывод отсюда парадоксальный, что экономика - это политика. А математика может
только сказать, что будет при принятых Вами решениях.
Можно также сказать, что экономика - это психология. Например, известен
“очевидный” экономический закон, который широко используется для анализа
экономических процессов.
” При увеличении цены на товар спрос падает”.
Однако существует широко известный эффект - ажиотажного спроса. Известно, что
при повышении цен на предметы первой необходимости появляется ажиотажный
спрос. Люди закупают продукты “про запас”. Как выражаются экономисты, ресурсы
перемещаются из зоны потребления в зону накопления.
Известно, что когда растет цена валюты - это повышает спрос на сопрягающиеся

валюты .
Однако математика позволяет определить граничные значения при заданных
параметрах (как в нашем примере при заданной скорости и выполнении указанных
условий быстрее не доедешь).
Так что результаты, приведенные в курсе надо рассматривать как некий инструмент,
позволяющий специалисту по экономике проводить анализ экономических процессов в
определённых исследователем обстоятельствах.
В то же время математические доказательства теории обслуживания случайных
потоков показывают, что некоторые постулаты классической теории применимы не к
общему случаю, а только к особым случаям.
Например, роль цены меняется в зависимости от соотношения спроса и предложения.
Математика позволяет понять, что снижение цены приводит к повышению спроса
только в том, случае, когда:
1. увеличится потребление (когда, например, из-за отсутствия материальных средств
товары не потреблялись в желаемых количествах);
2. увеличится число потребителей (когда были группы, которые воздерживались от
покупки этого товара, например, опять же из-за низкого уровня дохода).
3. имели место оба фактора.
Но очень много случаев, когда при снижении цены этого увеличения в необходимом
размере не происходит (например, при продаже нефти), это введет к кризису
перепроизводства.
Анализ случайных потоков покупок и продаж позволяет понять суть и время периодов
кризисных циклов (из которых наиболее известны Кондратьевские циклы [19]).
Одна из серьёзных проблем при анализе экономических процессов (отмеченная еще
Кейнсом [15]) - это термин “товар”.
Под этим понимается всё, что продаётся на рынке от хлеба до брильянтов. Товары
обладают разными характеристиками, что затрудняет унифицированный анализ спроса
и предложения.
В курсе введен параметр - относительное потребление. Просто говоря это определение,
сводит товар к численной характеристике “Сколько единиц товара потребитель хочет
приобрести и сколько может”. Введение этой характеристики позоляет, не углубляясь в
потребительские особенности товара, использовать математичекие методы для анализа
процессов продажи и покупки товаров.
Представление рынка, как системы обслуживания случайных потоков позволяет
провести новую классификацию экономических систем и отметить многие общие
моменты между участниками каждой группы.
В заключение надо сказать, что в курсе за основу изложения приняты результаты,

полученные моим учителем Борисом Самойловичем Лившицем [4] и недавно
скончавшимся его лучшим учеником Яковом Владимировичем Фидлиным. [5]
Их книга Лившиц Б. С., Фидлин Я. В., Харкевич А. Д. Теория телеграфных и
телефонных сообщений. М.: Связь, 1971. до сих пор образец по содержанию и
строгости и четкости математических доказательств.
Очень большие трудности вызывал у автора вопрос как подробно приводить
математические доказательства. Как показал опыт - математические аспекты теории
обслуживания случайных потоков известны далеко не всем. Поэтому в курс включены
сведения, позволяющие читателю получить необходимые сведения, не тратя массу
времени на обращения к первоисточникам. Для корректности в курсе есть много
ссылок к первоисточникам.
Для тех, кто активно заинтересуется вопросам применения теории обслуживания
случайных потоков, в приложении приведены отдельно книги по теории массового
облуживания на русском и английском языке.
Список литературы составлен по разделам:
1. Теория вероятностей.
2. Теория массового обслуживания
3. Экономика
4. Справочные материалы из Интернета
Кроме этого, для изучения теории массового облуживания можно использовать один
из следующих источников [6-12] и [24].
При чтении курса следует обратить внимание на задачи и их решение. Это облегчает
понимание того, как теоретические результаты применяются на практике
Все вопросы и замечания можно сообщать прямо автору по e-mail адресу alexandrberlin@yandex,ru.
Список обозначений
 - относительное (удельное) потребление. Предложенная нагрузка
 - интенсивность нагрузки, поступающей от одного источника
 - число поступивших заявок
 обслуженных заявок
 потерянных заявок
 - средняя длина очереди или среднее число задержанных партий товаров

 - среднее число заявок от одного потребителя в единицу времени
от одной группы индивидуальных потребителей
 - cреднее число заявок от одного потребителя в единицу времени
от - посредников (например, агентства по покупке и продаже квартир)
 - вероятность того, что в произвольный момент
времени стационарного режима в полнодоступной группе ёмкостью v
потребителей, на которую поступает интенсивность партий товаров  , создаваемая
простейшим потоком товаров, занято i потребителей
 - табличные числовые значения для первой формулы Эрланга 
- табличные числовые значения для второй формулы Эрланга
 - вероятность того, что время ожидания больше нуля - то есть вероятность
очереди
 - вероятность ожидания задержанного товара
свыше времени t
 - вероятность того, что длина очереди превышает заданную величину r
 - максимальное потребление
 - реальное потребление.
 - потери по числу поступивших заявок на поставку товара
 - потери по объему товара
 - потери по времени реализации
 - cредняя длительность потребления .
 - средняя длина очереди
 - величина (объем) поступившего товара
 - величина обслуженного товара
 - потерянного товара
 - обслуженное предложение.

 - обслуженный рынком спрос за промежуток времени 
 
 -
поступающее предложение товаров за промежуток времени 
 - поступающий на рынок спрос за промежуток времени 
- потерянный рынком спрос в течение промежутка времени 
 - величина нагрузки за ВНС;
 - величина нагрузки за время наблюдения
 - параметр примитивного потока группы партий в свободном состоянии (формула
Энгсета).
 - параметр показательного закона распределения длительности потребления.
 - пропускная способность групп потребителей
 - текущее время ожидания
 - среднее время ожидания по отношению ко всем поступившим вызовам
 - среднее время ожидания по отношению только к задержанным вызовам
 - параметр симметричного потока.
 - вероятность отсутствия товаров на промежутке времени длиной  (Поток
Пальма).
1. Математическая модель рынка
1.1. Определения
Для математической оценки процессов, происходящих в экономике необходимо
создать модель, которая позволила бы отразить их в математическом виде и обеспечить
количественный расчет, анализ и оценку возможного поведения системы Предлагаемая
модель показана на рис. 1.1.

Рис. 1.1.  Математическая модель рынка
Рынок содержит подсистемы, выполняющие следующие задачи.
Система производства - порождает случайный поток товаров (в общем случае
отличающихся друг от друга). Под товаром понимается, любое изделие или услуга,
предлагаемая для продажи, в которой имеется потребность, (в дальнейшем будет
показано, как определить потребность в числовом виде). Это могут быть предметы
питания, например, молоко и другие продукты питания, автомобили, дома, услуги по
уборке дома, акции, строительные фирмы, предлагающие услуги по строительству
домов и т.д.
Поток поступает в систему распределения.
Система распределения, может обслужить заказ немедленно или с какой-то задержкой.
Задержка может быть двух типов:
отказ в приёме товара из-за отсутствия спроса;
или установка на ожидание реализации (накопление непроданных товаров)
Возможны два типа систем распределения.
Первые из них ставят задачу максимально быстро реализовать товар без всяких
дополнительных условий. В теории массового обслуживания такая система
распределения заявок на обслуживание называется полнодоступной, поскольку
обеспечивает равный доступ к системе потребления и при расчётах поведения рынка -
может не учитываться.
Системы второго типа распределяют товары, учитывая заданные приоритеты и
ограничения для отдельных потребителей или систем потребления. Например, продажа
табака, алкоголя, оружия … Системы этого типа называются неполнодоступными.
Если заказ принят, то система распределения пытается отдать его потребителям в
систему потребления.
Система потребления обслуживает поток товаров. Это заключатся в том, что