Проявление автоколебательных процессов. Особенности строения и работы шарикоподшипников

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 

высшего образования 

«Томский государственный архитектурно-строительный университет» 

 
 
 
 

 
 
 

ПРОЯВЛЕНИЕ  

АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ.  
ОСОБЕННОСТИ СТРОЕНИЯ И РАБОТЫ 

ШАРИКОПОДШИПНИКОВ 

 
 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Томск 

Издательство ТГАСУ 

2020 

Авторы: В.А. Литвинова, С.В. Мелентьев, А.А. Клопотов, 
Н.М. Кондратьева 

 

УДК 621.822:534.1(075.8)
ББК 34.445.32я73+34.412я73

П849

 

Проявление автоколебательных процессов. Особенности 
строения и работы шарикоподшипников : учебное 
пособие / В.А. Литвинова, С.В. Мелентьев, А.А. Клопотов, 
Н.М. Кондратьева. – Томск : Изд-во Том. гос. архит.-строит. унта, 
2020. – 94 с. – Текст : непосредственный. 

ISBN 978-5-93057-953-6 
 
В учебном пособии рассмотрены основы теории колебаний с учетом 
сил сухого трения. Приведено описание колебательных процессов на примерах 
простых механических систем. Показаны особенности математического 
описания колебательных процессов. Использование основных представлений 
колебательных процессов в условиях сухого трения является составной частью 
дисциплины «Основы триботехники». Кроме того, дано описание проявлений 
вибрации и особенностей устройства подшипников качения. Эти 
данные относятся к дисциплинам «Детали машин и механизмов» и «Теории 
машин и механизмов». 

Учебное пособие предназначено для студентов очной и заочной форм 
обучения на механико-технологическом факультете. 

 

УДК 621.822:534.1(075.8)
ББК 34.445.32я73+34.412я73

 

Рецензенты: 
Ю.А. Абзаев, докт. физ.-мат. наук, профессор кафедры «Высшая 
математика» ТГАСУ; 
Ю.В. Иванов, докт. физ.-мат. наук, профессор кафедры «Нано-
материалы и нанотехнологии» НИ ТПУ. 

 
 
 

ISBN 978-5-93057-953-6
© Томский государственный

архитектурно-строительный
университет, 2020

© Литвинова В.А., Мелентьев С.В.,

Клопотов А.А., Кондратьева Н.М., 2020

П849

ВВЕДЕНИЕ 

Содружество математики, физики и техники очень ярко про-

явилось как в создании различных конструкций и различных технических 
устройств, так и в разработке основ математического аппарата 
теории колебаний. Например, решение задачи о колебаниях 
линейных дискретных систем не возможно без использования основ 
высшей алгебры о квадратичных формах. Здесь необходимо 
отметить, что теория дифференциальных уравнений в частных 
производных и некоторые вопросы интегральных уравнений имеют 
чисто физическую основу, связанную с колебаниями. 

В теории колебаний хорошо развит подход, основанный на 

упрощенной математической трактовке. В результате приходят 
к линейным дифференциальным уравнениям. Однако есть явления, 
которые в теории колебаний невозможно решить только 
при помощи линейных дифференциальных уравнений. Поэтому 
необходимо иметь представления о нелинейных задачах. 

Перечислим основные вопросы, которые будут освещены 

в настоящем учебном пособии. 

1. Основные понятия и терминология теории колебаний 

(специфические термины, как, например, частота, циклическая 
частота, логарифмический декремент и т. п.). 

2. Конструктивные особенности подшипников. 
3. Особенности учета диагностики подшипников на основе 

теории колебаний. 

 

1. ОБЩИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ 

Автоколебательные процессы проявляют себя во многих 

явлениях, и как следствие, они находят применение в технике. 
В качестве наглядных примеров можно привести разные системы 
и устройства: генераторы электромагнитного излучения, лазеры, 
духовые и смычковые инструменты и др. В то же время автоколебания 
могут приводить к негативным явлениям. Например, 
разрушение подвесных мостов из-за крутильных автоколебаний, 
возникших под действием ветровых нагрузок. В этом аспекте, 
наглядно иллюстрирующем разрушающее действие автоколебательных 
процессов, показательной является катастрофа, связанная 
с обрушением висячего моста через реку Такома (США) пролетом 
854 м в 1940 г. (рис. 1). 

 

 

 

Рис. 1. Разрушение Такомского моста 

Ветер дул со скоростью 18,8 м/с, и в какой-то момент про-

лѐт моста внезапно стал совершать крутильные колебания. В результате 
динамические колебания моста в течение 45 мин привели 
к его разрушению. По словам очевидцев, наблюдались 
обычные S-образные колебания, которые внезапно перешли 
в сильные скручивающие колебания: «мост как бы нырял, как 
корабль в бурю». Каждое колебание приводило к появлению нового 
и способствовало развитию более сильного колебания. Это 
продолжалось до тех пор, пока не произошел разрыв тросов 
в кабеле, что привело к обрушению всего пролета. 

На основе знания физических законов и особенностей про-

цессов, происходящих при автоколебаниях, а также анализа других 
катастроф, связанных с раскачиваниями и колебаниями висячих 
мостов, была решена задача по их надежной эксплуатации. 
Для предотвращения этой проблемы в конструкцию висячих мостов 
были введены жесткие балки. 

Другое явление, которое связано с отрицательным дей-

ствием автоколебательных процессов, приводит к «флаттеру», 
вызывающему опасные колебания крыльев самолетов (рис. 2). 

 

 

 

Рис. 2. Амплитуда колебаний крыла 

 
Появление флаттера обусловлено взаимодействием само-

лета и набегающим потоком воздуха, который является источником 
энергии. Величина обратной связи в этом процессе обу-

словлена упругими свойствами самолета и, согласно теории колебаний, 
позволяет описывать это явление как автоколебательное. 
На околозвуковых скоростях на крыльях самолѐта могут 
формироваться скачки уплотнения, как это показано на рис. 3. 

 

 

 
Рис. 3. Схематическое представление потока воздуха (штриховая ли-

ния), обтекающего верхнюю поверхность крыла, которое резко 
замедляется и отрывается от крыла. За точкой отрыва происходит 
скачок плотности и это приводит к воздействию на крыло и его 
деформации. Положение точки, где происходит скачок плотности, 
и деформация крыла взаимно влияют друг на друга, и это создает 
условия для возникновения незатухающих колебаний 

 
Более углубленно принцип действия автоколебательных 

колебаний и роль фрикционных колебаний в них очень удобно 
проследить на примере изучения колебаний маятника Фроуда. 
Способность маятника Фроуда генерировать автоколебания, как 
правило, объясняется наличием отрицательного участка в характеристике 
трения между муфтой маятника и вращающимся подвесом. 
Физика автоколебательных явлений, которые наглядно 
проявляются в простых механических системах, будет более подробно 
описана ниже. 

 

2. КОЛЕБАНИЯ В АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЕ  

(ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР) 

В рамках классической механики закон движения про-

стейшей автономной колебательной системы может быть представлен 
в виде 
 
2
0
0
a
 x

, 
(1) 

где а (
)
a
 x
  ускорение, с которым движется колеблющееся те-

ло в системе; х  величина смещения тела из положения равновесия;   
собственная циклическая частота колебаний системы. 

Описание и анализ свойств колебательных систем (и не толь-

ко автономных) удобно проводить с помощью дифференциальных 
уравнений. В данном случае движение простейшей автономной 
колебательной системы описывается линейным дифференциальным 
уравнением вида 

 
2
0
0
x
 x

. 
(2) 

Эту систему в физике называют гармоническим осцилля-

тором. При определенных упрощающих предположениях в качестве 
примера такой системы можно использовать следующее 
устройство. Это устройство состоит из тела массой m, двух пружин 
и стержня, на который они нанизаны (рис. 4). 

 

 

 
Рис. 4. Схема устройства, создающего горизонтальные гармонические 

колебания упруго закрепленного груза массой m, находящегося на 
стержне 

В этом устройстве, как показано на рис. 4, тело может со-

вершать горизонтальные движения вдоль стержня под действием 
двух пружин. Отклонение тела от положения равновесия и от 
времени графически представлено на рис. 5. 

 

 

 
Рис. 5. Графики гармонических и негармонических колебаний: 

1  гармонические (синусоидальные); 2  ангармонические; 3  ангармонические 
релаксационные; 4  затухающие; 5  квазипериодические; 6  
хаотические 

 
Приведем эти упрощающие условия. Первое – силы, с кото-

рыми действуют пружины на тело, подчиняются закону Гука. То 
есть силы, действующие на тело, пропорциональны его смещению 
х относительно положения равновесия. Второе – в системе при 
движении не действуют силы, т. е. нет трения ни о воздух, 
ни о поддерживающий стержень. Кроме того, сами пружины 
не обладают внутренним трением. Очевидно, что эти предположения 
в реальных условиях не работают, но позволяют наглядно вы-

явить физику рассматриваемого явления. В результате при выполнении 
таких предположений колебания в системе могут быть описаны 
линейным дифференциальным уравнением второго порядка 

 
m
0
x
 kx

, 
(3) 

где k  положительный коэффициент, характеризующий упругость 
пружин. 

На основе предположения, что 
2
0

k

m   , мы получаем ранее 

приведенное уравнение гармонического осциллятора (1). 

Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет вид 

 
0
0
cos
sin
.
x
A
t
B
t

 

 
(4) 

Здесь коэффициенты А и В – постоянные интегрирования 
и определяются начальными условиями; x  скорость, с которой 
движется колеблющееся тело в системе ( x  ). Если t = 0, 
х = х0 и 
0
x
 x
, тогда имеем решение в виде: 

 
0

0
0
0
0
0
0
0
0

0

cos
sin
,
sin
cos
.
x
x
x
t
t
x
x
t
x
t




 





 (5) 

Это решение может быть также записано в виде 

 
0
0
0
cos(
),
cos(
).
x
К
t
x
К
t

 
  
   
(6) 

Здесь коэффициент K и фаза  определяются из выражений 

 

2

2
2
2
0

0

0
0
0

0 0

,

tg
  и  cos
, sin
.

x
K
A
B
x

x
x
x
B
A
x
K
K



 

 
 
  




  
 
 
  







 

Полученные выражения свидетельствуют о том, что зави-

симость смещения от времени представляет собой график «си-

нусоиды» (см. рис. 5). Необходимо знать значения трех параметров, 
которые позволяют описать «синусоидальные» или гармонические 
колебания: К  амплитуда колебаний, характеризующая 
максимальное отклонение от положения равновесия; 
0  угловая частота, показывающая число колебаний за 2 с; 
α  начальная фаза. Здесь важно отметить, что начальная фаза 
играет существенную роль, когда мы имеем дело сразу с несколькими 
процессами. В том случае, когда мы имеем дело 
только с одним «изолированным» процессом, фаза колебаний 
не играет никакой физической роли. 

Это тот частный случай, когда в начальный момент осцил-

лятор находился в состоянии равновесия: х0 = 0 и 
x  0
. Други-

ми словами, когда тело находится в равновесии и начальная 
скорость равна нулю (
x    0
), колебательное движение 

не возникает. 

Амплитуда и фаза гармонического колебательного движе-

ния определяются начальными условиями. Угловая частота 0 

и период процесса Т (
0

2

Т

  
) не зависят от начальных условий 

и определяются параметрами колебательной системы. 

Таким образом, приведенная выше теория позволяет дать 

точное количественное описание движения в системе, определяемое 
уравнением (1). В этом явлении рассматриваемый подход 
позволяет вычислять значения х и x  для каждого момента t, если 
они известны для момента t = 0. Другими словами, применение 
этой теории позволяет адекватно описать переход из исходного 
состояния в новое.