Расчет сечений железобетонных элементов

 
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
 
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 
высшего образования 
«Томский государственный архитектурно-строительный университет» 
 
 
 
 
 
 
Н.К. Ананьева, В.Н. Околичный 
 
 
 
РАСЧЕТ СЕЧЕНИЙ 
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 
 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Томск 
Издательство ТГАСУ 
2020 
 

УДК 624.012.45(075.8) 
ББК 38.53я7 
 
Ананьева, Н.К. Расчет сечений железобетонных элементов : учебное пособие / Н.К. Ананьева, В.Н. Околичный. – 2-е 
изд., перераб. и доп. – Томск : Изд-во Том. гос. архит.-строит. унта, 2020. – 116 c. – Текст : непосредственный. 
ISBN 9-785-93057-916-1 
 
В учебном пособии приводятся теоретические предпосылки 
расчета прочности сечений, а также основные сведения о предварительном напряжении железобетонных конструкций. Даны алгоритмы 
расчета и числовые примеры расчета прочности различных сечений, 
определение потерь предварительного напряжения и необходимых для 
этого геометрических характеристик приведенных сечений. 
Настоящее учебное пособие представляет собой переиздание 
пособия «Расчет прочности сечений железобетонных элементов», выпущенного в 2013 г., с исправлениями и дополнениями. 
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности 08.03.01.01 «Промышленное и гражданское строительство» 
направления 08.03.01 «Строительство», при изучении учебной дисциплины «Железобетонные конструкции». Может быть использовано 
студентами очной и заочной форм обучения.  
 
 
УДК 624.012.45(075.8) 
 
ББК 38.53я7 
 
Рецензенты: 
канд. 
техн. 
наук, 
директор, 
с. н. с. 
ООО 
«Инженерностроительный центр „Стройпроект“» С.Л. Капарулин; 
канд. техн. наук, доцент кафедры железобетонных и каменных 
конструкций ТГАСУ О.Р. Пахмурин.  
 
ISBN 9-785-93057-916-1 
© Томский государственный 
 
 архитектурно-строительный 
 
 университет, 2020 
 
© Ананьева Н.К.,  
Околичный В.Н., 2020 
О51
О51
А64
 

 
ВВЕДЕНИЕ 
 
Учебное пособие предназначено для развития у студентов 
практических навыков расчета и конструирования наиболее 
распространенных сечений железобетонных элементов, а именно прямоугольного и таврового профиля. К конструкциям, имеющим такую форму поперечного сечения, относятся плиты покрытий и перекрытий, ригели, колонны и многие другие конструкции, рассчитываемые как изгибаемые и сжатые. 
Решая подобные задачи, студент уясняет для себя исходные предпосылки расчета железобетонных конструкций, знакомится с материалами, из которых состоит железобетон, овладевает навыками пользования нормативной, технической и учебной литературой. 
Научившись решать простейшие задачи по расчету прочности сечений элементов, студент успешнее осваивает курс железобетонных конструкций и выполняет курсовые проекты. 
Контроль освоения материала студентами осуществляется 
на основе решения индивидуальных контрольных заданий 
(ИКЗ), составленных ЭВМ. 
В учебном пособии приведены алгоритмы решения задач 
и примеры расчета ИКЗ. В конце разделов приведены контрольные вопросы, на которые должны ответить студенты при подготовке к практическим занятиям и при защите ИКЗ. 
Учебное пособие представляет собой переиздание пособия 
«Расчет прочности сечений железобетонных элементов», выпущенного в 2013 г., с исправлениями и дополнениями. Пособие 
дополнено разделом 2 «Определение усилия предварительного 
обжатия для расчетов по второй группе предельных состояний» 
с контрольными вопросами, индивидуальными заданиями 
(ИКЗ 6, ИКЗ 7) и приложением 3. 
 

1. РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ СЕЧЕНИЙ 
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 
 
1.1. Расчет прочности сечений изгибаемых  
       железобетонных элементов.  
Общие положения расчета 
 
Экспериментальными исследованиями установлено, что 
предельное состояние балки по несущей способности характеризуется разрушением в сечении, нормальном или наклонном 
к продольной оси элемента (рис. 1). Разрушение по нормальному сечению вызывается действием изгибающего момента, 
а по наклонному сечению – действием поперечных сил и, реже, 
моментов. Прочность по нормальным и наклонным сечениям 
согласно первой группе предельных состояний рассчитывают 
по стадии III напряженно-деформированного состояния, при 
этом рассматриваются сечения с максимальными действующими расчетными усилиями (рис. 1). Для вывода основных расчетных уравнений используется метод сквозных сечений, при этом 
правая часть балки условно убирается и ее действие заменяется 
действием внутренних усилий. 
При расчете прочности нормальных и наклонных сечений 
должны учитываться условия работы бетона. 
При длительном действии нагрузки разрушение происходит раньше, чем при кратковременном действии нагрузки из-за 
появления микротрещин в бетоне, обусловленных развитием 
неупругих деформаций. Это явление учитывается при расчетах 
конструкций по первой группе предельных состояний коэффициентом условия работы бетона γb1 (гамма b1), на который 
умножаются расчетные сопротивления бетона Rb и Rbt.  
При непродолжительном (кратковременном) действии 
нагрузки γb1 = 1,0. При продолжительном (длительном) действии нагрузки γb1 = 0,9. Таким образом, в расчет вводятся расчетные сопротивления Rb  γb1 и Rbt  γb1. 

 
 
 
Рис. 1. Схема образования трещин (а), расчетная схема (б) изгибаемого элемента (балки):  
1–1 – нормальное сечение; 2–2 – наклонное сечение; 1 – нормальная 
трещина; 2 – наклонная трещина; l0 – расчетный пролет балки (расстояние между центрами опирания); lоп  – длина площадки опирания 
балки; q1  – эквивалентная равномерно распределенная нагрузка 

1.2. Расчет прочности нормальных сечений 
 
В железобетонных, экономично по расходу стали армированных, изгибаемых элементах разрушение нормальных сечений начинается с растянутой арматуры. В переармированных 
элементах разрушение происходит по сжатой зоне бетона. При 
этом напряжения в растянутой арматуре будут ниже предельных, что экономически невыгодно. 
В соответствии с этим различают два расчетных случая: 
1 – когда напряжения в растянутой арматуре достигают 
расчетных сопротивлений σs = Rs, а затем происходит разрушение сжатой зоны бетона, т. е. в бетоне достигаются предельные 
напряжения Rb; 
2 – когда напряжения в сжатом бетоне достигают предельных значений Rb, а напряжения в растянутой арматуре σs < Rs. 
При расчете прочности, чтобы не наступило предельное 
состояние конструкции, изгибающий момент от расчетной 
нагрузки (Мmax) должен быть меньше или равен несущей способности сечения Мult: 
Мmax ≤ Мult. 
Мысленно разрежем элемент по сечению с трещиной в зоне 
действия максимального момента, правую часть удалим, а для 
соблюдения равновесия заменим действие удаленной части внутренними усилиями. Таким образом, получим расчетную схему, 
для которой можно записать условия равновесия для суммы моментов всех усилий относительно какой-либо характерной точки 
и для суммы проекций всех усилий на продольную ось X: 
                                              ∑M = 0, 
 
                                             ∑X = 0.                                           (1.1) 
Исходя из уравнений равновесия определяются внутренние усилия в элементе или необходимое армирование. 
Выведем расчетные формулы для элементов с сечением 
любой формы, симметричной относительно вертикальной оси, 

 
исходя из условий равновесия в предельном состоянии. Рассмотрим элемент прямоугольной формы. В общем случае элемент армируется предварительно напряженной (Asp и A'sp) 
и ненапрягаемой (As и A's) арматурой в растянутой (Asp, As) 
и в сжатой зонах (A'sp, A's) (рис. 2). 
 
 
 
Рис. 2. Расчетная схема прочности нормальных сечений изгибаемых элементов (общий случай армирования):  
Nsp = Rs · γs3 · Asp – усилие в предварительно напряженной растянутой арматуре; Ns = Rs · As – усилие в ненапрягаемой растянутой 
арматуре; N'sp = Rsс · γs3 · A'sp – усилие в предварительно напряженной сжатой арматуре; N'sc = Rsс · A's  – усилие в ненапрягаемой 
сжатой арматуре; Nb = Rb · Abc   равнодействующая усилий в сжатой зоне бетона, где  Abc – площадь сжатой зоны бетона  
 
Согласно расчетной схеме (рис. 2) условия равновесия записываются следующим образом: изгибающий момент от расчетных нагрузок, определяемый методами строительной механики, должен быть меньше или равен сумме моментов внутренних усилий, взятых относительно линии центра тяжести всей 
растянутой арматуры: 
 
Мmax ≤ ∑M0 = Nb  zb +N'sp  zsp + Ns  zs = 
                   = Rb  Ab  zb + Rsc  γs3  A'sp  zsp + Rsc  A's  zs, 

где zb = h0 – 0,5x – плечо внутренней пары сил; zs = h0 – а's – расстояние между равнодействующими усилий в сжатой и растянутой ненапряженной арматуре; zsp = h0 – а'sp – расстояние между 
равнодействующими усилий в сжатой и растянутой напряженной арматуре; h0 = h – a – рабочая высота сечения (расстояние 
от центра тяжести всей растянутой арматуры до сжатой грани 
сечения). 
Высота сжатой зоны бетона x определяется из суммы проекций всех усилий на продольную ось элемента:  
 
Rb  b  x + Rsc 
sA – Rs  γs3  Asp – Rs   As = 0. 
(1.3) 
Прочностные характеристики материалов, из которых проектируется конструкция, определяются по нормативной литературе (Приложение 1).  
Напряжения в растянутой арматуре достигают своих предельных значений (т. е. арматура используется полностью) 
только тогда, когда высота сжатой зоны x не превышает ее граничного значения xR. Следовательно, формулы (1.2) и (1.3) применимы в случае соблюдения условия x ≤ xR. Граничное значение высоты сжатой зоны при расчетах определяется через относительную граничную высоту сжатой зоны ξR (кси R). Этот коэффициент учитывает физико-механические свойства бетона 
и арматуры проектируемой конструкции. 
Значение ξR определяется по эмпирической формуле согласно [8, п. 8.1.6]: 
 
0
,
2
0,8
1
R
R
s el
b
x
h



,  
где εs,el – относительная деформация растянутой арматуры при 
напряжениях, равных Rs; εs,el = Rs/Es; εb2 – относительная деформация сжатого бетона при напряжениях, равных Rb; εb2 = 

 
= 0,0035 – при кратковременном действии нагрузки; при длительном действии нагрузки εb2 зависит от влажности бетона:  
– при влажности w > 75 % εb2 = 0,0042; 
– при влажности w = 40–75 % εb2 = 0,0048; 
– при влажности w < 40 % εb2 = 0,0056. 
При проектировании изгибаемых элементов проверяется 
соблюдение условия ξ  ≤  ξR, где ξ = x/h0 – относительная высота 
сжатой зоны бетона. Если при расчете окажется, что ξ > ξR, 
то в расчетные формулы вместо Rs подставляется напряжение 
в растянутой арматуре σs < Rs, значение которого определяется 
по формулам, представленным в [2, 4], а x = ξR  h0. 
Если соблюдается условие  ≤ R, расчетное сопротивление 
напрягаемой арматуры Rs допускается умножать на коэффициент 
условий работы s3 [6, п. 3.9], определяемый по формуле: 
 
3
γ
1,25
0,25ξ/ξ
1,1;
s
R



 
(1.5) 
если /R < 0,6, можно, не пользуясь формулой (1.5), принимать 
s3 = 1,1. Для элементов без предварительного напряжения арматуры s3 = 1,0. 
 
1.2.1. Расчет элементов прямоугольного профиля  
 с одиночной арматурой 
 
К элементам с одиночной арматурой относятся элементы, 
у которых рабочая (расчетная) арматура располагается только 
в растянутой зоне (рис. 3). 
Элемент может армироваться предварительно напряженной Asp или обычной Аs арматурой, а также при смешанном армировании той и другой арматурой (Asp + Аs). 
Рассмотрим случай армирования элемента обычной арматурой As. Основные расчетные уравнения (1.2, 1.3) для этого 
частного случая запишутся следующим образом: 
 
M ≤ ΣM0 = Rb  b  x(h0 – 0,5x),  
 
Rb  b  x – Rs  Asp = 0.  

 
 
Рис. 3. Расчетная схема элемента с одиночной арматурой 
 
Расчетные формулы (1.6), (1.7) для упрощения расчетов 
можно преобразовать, выразив высоту сжатой зоны x через относительную высоту сжатой зоны ξ, т. е. x = ξ  h0. 
 
 
M ≤ ΣM0 = Rb  b  ξ  h0 (h0  – 0,5ξ  h0) = 
 
= Rb  b  
2
0h  ξ(1 – 0,5ξ) = Rb  b  
2
0h   αm,  
(1.6*) 
    Rb · b · h0 · ξ – Rs · Asp =Rb · b · h0(1– 1
2
m

) – Rs · Asp = 0, (1.7*) 
где  
 
                          αm = ξ(1 – 0,5ξ),  αR = ξR(1 – 0,5ξR). 
(1.8) 
Коэффициент ξ, выраженный через αm, запишется следующим образом: 
 
1
1
2
m


.  
(1.9) 
При расчете элементов с одиночным армированием встречаются задачи трех типов. 
Задача типа 1. Требуется определить расчетную площадь 
сечения и диаметр стержней продольной растянутой арматуры 
Аs изгибаемого элемента прямоугольного профиля.