Расчет сечений железобетонных элементов

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 

высшего образования 

«Томский государственный архитектурно-строительный университет» 

 
 
 
 
 

 

Н.К. Ананьева, В.Н. Околичный 

 
 
 

РАСЧЕТ СЕЧЕНИЙ 

ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 

 
 
 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Томск 

Издательство ТГАСУ 

2020 

 

УДК 624.012.45(075.8) 
ББК 38.53я7 
 

Ананьева, Н.К. Расчет сечений железобетонных элемен
тов : учебное пособие / Н.К. Ананьева, В.Н. Околичный. – 2-е 
изд., перераб. и доп. – Томск : Изд-во Том. гос. архит.-строит. унта, 2020. – 116 c. – Текст : непосредственный. 

ISBN 9-785-93057-916-1 
 
В учебном пособии приводятся теоретические предпосылки 

расчета прочности сечений, а также основные сведения о предварительном напряжении железобетонных конструкций. Даны алгоритмы 
расчета и числовые примеры расчета прочности различных сечений, 
определение потерь предварительного напряжения и необходимых для 
этого геометрических характеристик приведенных сечений. 

Настоящее учебное пособие представляет собой переиздание 

пособия «Расчет прочности сечений железобетонных элементов», выпущенного в 2013 г., с исправлениями и дополнениями. 

Пособие предназначено для студентов, обучающихся по специ
альности 08.03.01.01 «Промышленное и гражданское строительство» 
направления 08.03.01 «Строительство», при изучении учебной дисциплины «Железобетонные конструкции». Может быть использовано 
студентами очной и заочной форм обучения.  

 

 
УДК 624.012.45(075.8) 

 
ББК 38.53я7 

 
Рецензенты: 
канд. 
техн. 
наук, 
директор, 
с. н. с. 
ООО 
«Инженерно
строительный центр „Стройпроект“» С.Л. Капарулин; 
канд. техн. наук, доцент кафедры железобетонных и каменных 
конструкций ТГАСУ О.Р. Пахмурин.  

 

ISBN 9-785-93057-916-1 
© Томский государственный 

 
 архитектурно-строительный 

  
 университет, 2020 

 
© Ананьева Н.К.,  

Околичный В.Н., 2020 

О51
О51
А64

 

ВВЕДЕНИЕ 

 

Учебное пособие предназначено для развития у студентов 

практических навыков расчета и конструирования наиболее 
распространенных сечений железобетонных элементов, а именно прямоугольного и таврового профиля. К конструкциям, имеющим такую форму поперечного сечения, относятся плиты покрытий и перекрытий, ригели, колонны и многие другие конструкции, рассчитываемые как изгибаемые и сжатые. 

Решая подобные задачи, студент уясняет для себя исход
ные предпосылки расчета железобетонных конструкций, знакомится с материалами, из которых состоит железобетон, овладевает навыками пользования нормативной, технической и учебной литературой. 

Научившись решать простейшие задачи по расчету проч
ности сечений элементов, студент успешнее осваивает курс железобетонных конструкций и выполняет курсовые проекты. 

Контроль освоения материала студентами осуществляется 

на основе решения индивидуальных контрольных заданий 
(ИКЗ), составленных ЭВМ. 

В учебном пособии приведены алгоритмы решения задач 

и примеры расчета ИКЗ. В конце разделов приведены контрольные вопросы, на которые должны ответить студенты при подготовке к практическим занятиям и при защите ИКЗ. 

Учебное пособие представляет собой переиздание пособия 

«Расчет прочности сечений железобетонных элементов», выпущенного в 2013 г., с исправлениями и дополнениями. Пособие 
дополнено разделом 2 «Определение усилия предварительного 
обжатия для расчетов по второй группе предельных состояний» 
с контрольными вопросами, индивидуальными заданиями 
(ИКЗ 6, ИКЗ 7) и приложением 3. 

 

1. РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ СЕЧЕНИЙ 
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 

 

1.1. Расчет прочности сечений изгибаемых  
       железобетонных элементов.  

Общие положения расчета 

 

Экспериментальными исследованиями установлено, что 

предельное состояние балки по несущей способности характеризуется разрушением в сечении, нормальном или наклонном 
к продольной оси элемента (рис. 1). Разрушение по нормальному сечению вызывается действием изгибающего момента, 
а по наклонному сечению – действием поперечных сил и, реже, 
моментов. Прочность по нормальным и наклонным сечениям 
согласно первой группе предельных состояний рассчитывают 
по стадии III напряженно-деформированного состояния, при 
этом рассматриваются сечения с максимальными действующими расчетными усилиями (рис. 1). Для вывода основных расчетных уравнений используется метод сквозных сечений, при этом 
правая часть балки условно убирается и ее действие заменяется 
действием внутренних усилий. 

При расчете прочности нормальных и наклонных сечений 

должны учитываться условия работы бетона. 

При длительном действии нагрузки разрушение происхо
дит раньше, чем при кратковременном действии нагрузки из-за 
появления микротрещин в бетоне, обусловленных развитием 
неупругих деформаций. Это явление учитывается при расчетах 
конструкций по первой группе предельных состояний коэффициентом условия работы бетона γb1 (гамма b1), на который 
умножаются расчетные сопротивления бетона Rb и Rbt.  

При непродолжительном (кратковременном) действии 

нагрузки γb1 = 1,0. При продолжительном (длительном) действии нагрузки γb1 = 0,9. Таким образом, в расчет вводятся расчетные сопротивления Rb  γb1 и Rbt  γb1. 

Рис. 1. Схема образования трещин (а), расчетная схема (б) изги
баемого элемента (балки):  
1–1 – нормальное сечение; 2–2 – наклонное сечение; 1 – нормальная 
трещина; 2 – наклонная трещина; l0 – расчетный пролет балки (расстояние между центрами опирания); lоп  – длина площадки опирания 
балки; q1  – эквивалентная равномерно распределенная нагрузка 

1.2. Расчет прочности нормальных сечений 

 

В железобетонных, экономично по расходу стали армиро
ванных, изгибаемых элементах разрушение нормальных сечений начинается с растянутой арматуры. В переармированных 
элементах разрушение происходит по сжатой зоне бетона. При 
этом напряжения в растянутой арматуре будут ниже предельных, что экономически невыгодно. 

В соответствии с этим различают два расчетных случая: 
1 – когда напряжения в растянутой арматуре достигают 

расчетных сопротивлений σs = Rs, а затем происходит разрушение сжатой зоны бетона, т. е. в бетоне достигаются предельные 
напряжения Rb; 

2 – когда напряжения в сжатом бетоне достигают предель
ных значений Rb, а напряжения в растянутой арматуре σs < Rs. 

При расчете прочности, чтобы не наступило предельное 

состояние конструкции, изгибающий момент от расчетной 
нагрузки (Мmax) должен быть меньше или равен несущей способности сечения Мult: 

Мmax ≤ Мult. 

Мысленно разрежем элемент по сечению с трещиной в зоне 

действия максимального момента, правую часть удалим, а для 
соблюдения равновесия заменим действие удаленной части внутренними усилиями. Таким образом, получим расчетную схему, 
для которой можно записать условия равновесия для суммы моментов всех усилий относительно какой-либо характерной точки 
и для суммы проекций всех усилий на продольную ось X: 
                                              ∑M = 0, 
 

                                             ∑X = 0.                                           (1.1) 

Исходя из уравнений равновесия определяются внутрен
ние усилия в элементе или необходимое армирование. 

Выведем расчетные формулы для элементов с сечением 

любой формы, симметричной относительно вертикальной оси, 

исходя из условий равновесия в предельном состоянии. Рассмотрим элемент прямоугольной формы. В общем случае элемент армируется предварительно напряженной (Asp и A'sp) 
и ненапрягаемой (As и A's) арматурой в растянутой (Asp, As) 
и в сжатой зонах (A'sp, A's) (рис. 2). 

 

 

 

Рис. 2. Расчетная схема прочности нормальных сечений изгибае
мых элементов (общий случай армирования):  
Nsp = Rs · γs3 · Asp – усилие в предварительно напряженной растянутой арматуре; Ns = Rs · As – усилие в ненапрягаемой растянутой 
арматуре; N'sp = Rsс · γs3 · A'sp – усилие в предварительно напряженной сжатой арматуре; N'sc = Rsс · A's  – усилие в ненапрягаемой 
сжатой арматуре; Nb = Rb · Abc   равнодействующая усилий в сжатой зоне бетона, где  Abc – площадь сжатой зоны бетона  

 
Согласно расчетной схеме (рис. 2) условия равновесия за
писываются следующим образом: изгибающий момент от расчетных нагрузок, определяемый методами строительной механики, должен быть меньше или равен сумме моментов внутренних усилий, взятых относительно линии центра тяжести всей 
растянутой арматуры: 

 

Мmax ≤ ∑M0 = Nb  zb +N'sp  zsp + Ns  zs = 

                   = Rb  Ab  zb + Rsc  γs3  A'sp  zsp + Rsc  A's  zs, 
(1.2) 

где zb = h0 – 0,5x – плечо внутренней пары сил; zs = h0 – а's – расстояние между равнодействующими усилий в сжатой и растянутой ненапряженной арматуре; zsp = h0 – а'sp – расстояние между 
равнодействующими усилий в сжатой и растянутой напряженной арматуре; h0 = h – a – рабочая высота сечения (расстояние 
от центра тяжести всей растянутой арматуры до сжатой грани 
сечения). 

Высота сжатой зоны бетона x определяется из суммы про
екций всех усилий на продольную ось элемента:  

 
Rb  b  x + Rsc 
sA  – Rs  γs3  Asp – Rs   As = 0. 
(1.3) 

Прочностные характеристики материалов, из которых про
ектируется конструкция, определяются по нормативной литературе (Приложение 1).  

Напряжения в растянутой арматуре достигают своих пре
дельных значений (т. е. арматура используется полностью) 
только тогда, когда высота сжатой зоны x не превышает ее граничного значения xR. Следовательно, формулы (1.2) и (1.3) применимы в случае соблюдения условия x ≤ xR. Граничное значение высоты сжатой зоны при расчетах определяется через относительную граничную высоту сжатой зоны ξR (кси R). Этот коэффициент учитывает физико-механические свойства бетона 
и арматуры проектируемой конструкции. 

Значение ξR определяется по эмпирической формуле со
гласно [8, п. 8.1.6]: 

 

0
,
2

0,8

1

R

R

s el
b

x
  h
  

,  
(1.4) 

где εs,el – относительная деформация растянутой арматуры при 
напряжениях, равных Rs; εs,el = Rs/Es; εb2 – относительная деформация сжатого бетона при напряжениях, равных Rb; εb2 = 

= 0,0035 – при кратковременном действии нагрузки; при длительном действии нагрузки εb2 зависит от влажности бетона:  

– при влажности w > 75 % εb2 = 0,0042; 
– при влажности w = 40–75 % εb2 = 0,0048; 
– при влажности w < 40 % εb2 = 0,0056. 
При проектировании изгибаемых элементов проверяется 

соблюдение условия ξ  ≤  ξR, где ξ = x/h0 – относительная высота 
сжатой зоны бетона. Если при расчете окажется, что ξ > ξR, 
то в расчетные формулы вместо Rs подставляется напряжение 
в растянутой арматуре σs < Rs, значение которого определяется 
по формулам, представленным в [2, 4], а x = ξR  h0. 

Если соблюдается условие  ≤ R, расчетное сопротивление 

напрягаемой арматуры Rs допускается умножать на коэффициент 
условий работы s3 [6, п. 3.9], определяемый по формуле: 

 
γ 3
1,25
0,25ξ/ξ
1,1;
s
R



 
(1.5) 

если /R < 0,6, можно, не пользуясь формулой (1.5), принимать 
s3 = 1,1. Для элементов без предварительного напряжения арматуры s3 = 1,0. 
 

1.2.1. Расчет элементов прямоугольного профиля  

 с одиночной арматурой 

 
К элементам с одиночной арматурой относятся элементы, 

у которых рабочая (расчетная) арматура располагается только 
в растянутой зоне (рис. 3). 

Элемент может армироваться предварительно напряжен
ной Asp или обычной Аs арматурой, а также при смешанном армировании той и другой арматурой (Asp + Аs). 

Рассмотрим случай армирования элемента обычной арма
турой As. Основные расчетные уравнения (1.2, 1.3) для этого 
частного случая запишутся следующим образом: 

 
M ≤ ΣM0 = Rb  b  x(h0 – 0,5x),  
(1.6) 

 
Rb  b  x – Rs  Asp = 0.  
(1.7) 

Рис. 3. Расчетная схема элемента с одиночной арматурой 

 

Расчетные формулы (1.6), (1.7) для упрощения расчетов 

можно преобразовать, выразив высоту сжатой зоны x через относительную высоту сжатой зоны ξ, т. е. x = ξ  h0. 

 

 
M ≤ ΣM0 = Rb  b  ξ  h0 (h0  – 0,5ξ  h0) = 

 
= Rb  b  
2
0h  ξ(1 – 0,5ξ) = Rb  b  
2
0h   αm,  
(1.6*) 

    Rb · b · h0 · ξ – Rs · Asp =Rb · b · h0(1– 1
2
 m
) – Rs · Asp = 0, (1.7*) 

где  
 

                          αm = ξ(1 – 0,5ξ),  αR = ξR(1 – 0,5ξR). 
(1.8) 

Коэффициент ξ, выраженный через αm, запишется следу
ющим образом: 

 
1
1
2
m
  
 
.  
(1.9) 

При расчете элементов с одиночным армированием встре
чаются задачи трех типов. 

Задача типа 1. Требуется определить расчетную площадь 

сечения и диаметр стержней продольной растянутой арматуры 
Аs изгибаемого элемента прямоугольного профиля.