Расчет статически определимых ферм

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Томский государственный архитектурно-строительный университет»

РАСЧЕТ 

СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ

Учебное пособие

Томск

Издательство ТГАСУ

2020

Авторы: Д.Н. Песцов, С.А. Баранникова, А.П. Малиновский, 

В.И. Липкин

УДК 624.072.2.04 (075.8)
ББК 38.112.2Я73

Р24

Расчет статически определимых ферм : учебное пособие / 

Д.Н. Песцов, С.А. Баранникова, А.П. Малиновский, В.И. Липкин. – Томск : Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та, 2020. –
132 с. – Текст: непосредственный.

ISBN 978-5-93057-932-1

В учебном пособии содержится теоретический и практический мате
риал по расчету статически определимых ферм на постоянную и временную 
нагрузки. Дается классификация ферм, статический и кинематический анализ, 
аналитические, графические и матричные методы расчета, порядок построения линий влияния. Отдельная глава посвящена расчету шпренгельных ферм, 
одному из наиболее важных и трудно усваиваемых разделов учебной дисциплины. Приводятся примеры расчета, варианты расчетно-графических работ, 
задачи для самостоятельной работы и вопросы для самоконтроля.

Учебное пособие предназначено для студентов дневной и заочной форм

обучения, обучающихся по направлению 08.03.01 «Строительство» и специальности 08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений» и изучающих 
строительную механику.

УДК 624.072.2.04 (075.8)
ББК 38.112.2Я73

Рецензенты:
Л.Е. Путеева, канд. техн. наук, доцент кафедры «Строительная 
механика» ТГАСУ;
В.М. Бродский, канд. техн. наук, доцент Северского технологического института, филиала Национального исследовательского 
центра «МИФИ».

ISBN 978-5-93057-932-1
© Томский государственный

архитектурно-строительный
университет, 2020

© Песцов Д.Н., Баранникова С.А.,

Малиновский А.П., Липкин В.И., 2020

Р24

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие..................................................................................... 5

1. Фермы. Общие сведения ........................................................... 6

2. Классификация ферм............................................................... 14

3. Расчет статически определимых плоских ферм................. 18

3.1. Статический и кинематический анализ ............................. 18
3.2. Определение опорных реакций .......................................... 21
3.3. Определение усилий в стержнях ферм.............................. 22

3.3.1. Метод вырезания узлов.............................................. 23
3.3.2. Способ моментной точки (Риттера) ......................... 26
3.3.3. Способ проекций........................................................ 27
3.3.4. Способ замкнутого сечения ...................................... 28
3.3.5. Способ замены стержней........................................... 30
3.3.6. Способ совместных сечений ..................................... 33
3.3.7. Графический способ определения усилий............... 34

4. Построение линий влияния опорных реакций 
и линий влияния усилий в стержнях ферм ............................. 40

5. Определение продольных усилий в стержнях ферм 
от постоянной и временной нагрузок по линиям влияния .. 46

6. Шпренгельные фермы............................................................. 49

7. Расчета статически определимых ферм в матричной 
форме. Матрица влияния............................................................ 58

8. Варианты расчетно-графических работ для студентов,
обучающихся по направлению 08.03.01 «Строительство» 
(бакалавриат) ................................................................................ 63

9. Варианты расчетно-графических работ для студентов, 
обучающихся по направлению 08.05.01 (специалитет)......... 72

10. Пример расчета фермы ......................................................... 82

10.1. Определение усилий.......................................................... 82
10.2. Построение линий влияния............................................... 86

11. Пример расчета шпренгельной фермы.............................. 97

11.1. Определение усилий в стержнях фермы ......................... 97
11.2. Построение линий влияния............................................. 105
11.3. Определение наиболее невыгодного положения 
временной нагрузки.................................................................. 122

Вопросы для самоконтроля ...................................................... 127

Список рекомендуемой литературы....................................... 130

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие предназначено для студентов, обучаю
щихся по направлению 08.03.01 «Строительство» и по специальности 08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений», очной и заочной форм обучения, изучающих дисциплину 
«Строительная механика».

Изучение материала, изложенного в пособии, основывается 

на знаниях, полученных студентами при изучении учебных дисциплин теоретической механики, сопротивления материалов 
и инженерной графики. В пособии уделено внимание историческому аспекту развития теории расчета и совершенствованию 
конструктивных форм статически определимых ферм, отмечается существенный вклад российских ученых.

Учебное пособие содержит теоретические сведения, в кото
рых рассмотрены вопросы классификации ферм, их статического 
и кинематического анализа, аналитического, графического и матричного методов определения усилий в стержнях фермы. Одним 
из наиболее трудных вопросов, возникающих у студентов, является расчет ферм со сложной решеткой, в том числе шпренгельных ферм, получивших широкое распространение на практике. 
Этот раздел в пособии отражен достаточно подробно с методическими указаниями по применению приемов и методов расчета 
и приложением примеров решения конкретных задач. Временная 
нагрузка, действующая на фермы, вносит свою специфику при 
расчете ферм и определении расчетных значений продольных сил 
в стержнях фермы, поэтому вопросы построения линий влияния 
и их загружения рассмотрены достаточно подробно.

Выполнение индивидуальных расчетно-графических работ 

и самостоятельная подготовка к ответам на вопросы для итоговой 
аттестации с использованием списка рекомендуемой литературы 
позволят студентам закрепить теоретические знания.

1. ФЕРМЫ. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Ферма (фр. ferme, от лат. firmus «прочный») – в строитель
ной механике система, состоящая из прямолинейных стержней, 
соединённых по концам в узлах, нагруженная в узлах сосредоточенными силами, остающаяся геометрически неизменяемой после замены её жёстких узлов шарнирными (рис. 1).

Рис. 1

Фермы применяют при возведении строительных больше
пролётных конструкций (мостов) (рис. 2, а), в перекрытиях и покрытиях промышленных и гражданских зданий (рис. 2, б), опорах 
линий электропередачи (рис. 2, в), объектах связи, телевидения 
и радиовещания (башни, мачты), транспортерных галереях, гидротехнических затворах (рис. 2, г), грузоподъемных кранах и при 
возведении небольших лёгких строительных и декоративных 
конструкций: павильонов, сценических конструкций (рис. 2, д),
тентов и подиумов, в конструкциях вертолетов (рис. 2, е), самолетов (рис. 2, ж) и т. д.

Несущий кузов автомобиля (рис. 3, а) (кроме открытых кузо
вов, работающих как простая балка), фюзеляж самолёта или вертолета (рис. 3, б), корпус корабля (рис. 3, в), автобуса или тепловоза, шпренгель вагонной рамы (рис. 3, г) с точки зрения строительной механики являются фермами (даже если у них отсутствует 
как таковой каркас – ферменную конструкцию в этом случае образуют подкрепляющие обшивку выштамповки и усилители), 
в связи с чем в их расчётах на прочность применяются соответствующие методики.

Рис. 2

а

б

г

в

д

е
ж

Рис. 3

В современном строительстве фермы находят широкое при
менение. Они позволяют решить не только вопрос конструктивного решения несущих конструкций, но, что очень важно, снизить расход конструкционного материала и уменьшить вес несущих конструкций при перекрытии больших пролётов.

В современном строительстве фермы находят широкое при
менение. Целью применения ферм является уменьшение расхода 
материала и облегчение конструкции при перекрытии больших 
пролётов.

До 1850 г. не существовало теории расчёта ферм. В 1844 г.

Д.И. Журавский (русский ученый и инженер, специалист в области мостостроения и строительной механики) начал изучать 
свойства мостов с решётчатыми фермами системы Гау (проект 
американского инженера Гау).

На рис. 4, а изображена ферма Гау − Журавского с ездой 

поверху, на рис. 4, б − ферма Гау − Журавского с ездой понизу.

На рис. 4, в, г изображена решётчатая ферма инженера 

В. Гау, в которой вместо деревянных стоек включены металлические тяжи.

а
б

в
г

На рис. 4, д показана фотография моста системы Гау с до
работками Д.И. Журавского через Обводной канал в г. Санкт-Петербурге.

Рис. 4

В 1850 г. Д.И. Журавским был предложен один из первых 

методов научно обоснованного расчёта мостовых ферм, а к 1856 г.
разработана теория расчёта раскосных ферм. С тех пор теория расчета ферм постоянно развивается.

а

б

в
г

д

Д.И. Журавский (рис. 5) (17 де
кабря 1821 – 18 ноября 1891).

Строитель знаменитого Веребь
инского моста и Николаевской железной дороги (в настоящее время – Октябрьская железная дорога).

Лауреат Демидовской премии

Петербургской академии наук (1855).

Нормальные напряжения при из
гибе балки, перекрывающей пролёт, 
достигают максимальных значений 
в верхних и нижних точках сечения, 
а в нейтральном слое нормальные напряжения равны нулю (рис. 6, а). Ос
новной объем материала в связи с этим необходимо сосредоточивать в наиболее напряженных зонах. Это достигается путем применения балок двутаврового поперечного сечения (рис. 6, б). При 
увеличении пролета балки и с ростом нагрузок высоту сечения 
балки приходится увеличивать. В целях экономии материала стенку 
двутавра облегчают отверстиями (рис. 6, в). При дальнейшем росте 
пролётов и нагрузок стенку балки заменяют системой стержней –
решёткой, в результате чего и образуется ферма (рис. 6, г).

Когда стержни воспринимают исключительно продольные 

силы, их материал работает наиболее рационально (так как
напряжения распределены равномерно по площади сечения). Это 
приводит к облегчению веса конструкции, что, в свою очередь,
уменьшает нагрузку и конструктивные размеры поперечных сечений. Поэтому при одинаковой нагрузке и одинаковом пролете 
ферма получается более легкой, чем балка сплошного сечения из 
того же материала. При больших пролетах и большой нагрузке
балки сплошного сечения практически не применяются.

Если оси всех стержней фермы расположены в одной плос
кости и в той же плоскости действует нагрузка, то ферму называют плоской. Места соединения стержней называют узлами 

Рис. 5

фермы. Оси стержней, соединяемых в одном узле, пересекаются 
в точке, называемой центром узла.

Рис. 6

а
б

в
г

Расстояние между соседними узлами (по горизонтали) 

называют длиной панели фермы, а расстояние между опорными 
узлами – пролетом фермы (рис. 7).

Рис. 7

Стержни, ограничивающие контур фермы сверху, состав
ляют верхний пояс, а снизу – нижний пояс.

Стержни, соединяющие пояса, образуют решетку. Верти
кальные стержни называют стойками, а наклонные − раскосами. 
Совокупность стоек и раскосов образует решетку фермы.

Фактически стержни ферм обычно имеют между собой 

не шарнирное, а жесткое соединение. В расчетных схемах ферм 
в узлах принято шарнирное соединение стержней. Точные расчеты показывают, что при жестком соединении стержней в узле 
в стержнях возникают дополнительные напряжения от изгибающих моментов, однако они, как правило, невелики и ими в большинстве случаев можно пренебречь.

Для тех случаев, когда этого сделать нельзя (например, в же
лезобетонных фермах), их рассчитывают с применением методов, 
учитывающих жесткое соединение стержней в узлах фермы.

Узловая передача нагрузки реализуется через вспомога
тельные конструктивные элементы (например, плиты покрытия, 
плиты проезжей части), опирающиеся в узлы фермы (рис. 8, а и б) 
или по настилам через вспомогательные балки (рис. 8, в).

Верхний пояс

Нижний пояс

Стойки
Раскосы

h - высота фермы

d - длина панели

Панель фермы

l -  пролет фермы