Математика. Базовый уровень. В 2 частях. Часть 2

А. П. Карп
А. Л. Вернер

МАТЕМАТИКА

В двух частях
Часть 2

Москва
«Просвещение»
2024

Учебное пособие  
для образовательных организаций,  
реализующих образовательные программы 
среднего профессионального образования

БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ 

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

УДК 377.167.1:51+51(075.32) 
12+
ББК 22.1я723
 
К26

Серия «Учебник СПО» основана в 2023 году.

Карп, Александр Поэлевич.
К26  
Математика : базовый уровень : учебное пособие для образовательных организаций, реализующих образовательные программы среднего профессионального образования : в 2 частях / 
А. П. Карп, А. Л. Вернер. — Москва : Просвещение, 2024. — 
(Учебник СПО).
 
 
ISBN 978-5-09-108509-9.
 
 
Ч. 2. — 255, [1] с. : ил.
 
 
ISBN 978-5-09-108511-2.
Данное учебное пособие разработано в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта среднего общего образования в редакции Приказа Министерства просвещения Российской Федерации № 732 от 12.08.2022 г., требованиями Федеральной образовательной программы среднего общего образования, утверждённой Приказом Министерства 
просвещения Российской Федерации № 371 от 18.05.2023 г. и предназначено 
для реализации образовательных программ среднего профессионального образования, реализуемых на базе основного общего образования или интегрированных с образовательными программами основного общего и среднего общего образования, при освоении учебных предметов, курсов, дисциплин (модулей) основного общего образования и (или) среднего общего образования.
Особенностью учебного пособия является отсутствие традиционного деления на алгебру и начала математического анализа и геометрию. Курс построен 
так, чтобы подчёркивать единство подходов и методов и не допускать «ликвидации» одного из предметов на длительный срок. Материал учебного пособия 
разделён на три уровня: обязательный для всех учащихся, более сложный и 
наиболее трудный.
УДК 377.167.1:51+51(075.32)
ББК 22.1я723

ISBN 978-5-09-108511-2 (ч. 2)
ISBN 978-5-09-108509-9
© АО «Издательство «Просвещение», 2024
© Художественное оформление.
 
АО «Издательство «Просвещение», 2024
 
Все права защищены

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Дорогие друзья!

Перед вами учебное пособие по математике, в котором есть и разделы, посвящённые алгебре и началам 
математического анализа, и разделы, в которых речь 
идёт преимущественно о геометрии или дискретной 
математике. Немалое внимание при этом уделяется связям между разными разделами курса. 
Математика давно стала нужной всем — без неё ни 
в политических или экономических новостях не разберёшься, ни лучшее решение по собственному семейному 
бюджету не примешь. Это учебное пособие написано 
для того, чтобы дать возможность лучше познакомиться 
с математикой, обходя слишком трудоёмкие детали. 
Учебное пособие соответствует базовому уровню требований, но использоваться может в различных условиях: оно построено так, чтобы дать материал и тем, кто 
хочет ограничиться изучением основ курса, и тем, кто 
хочет узнать о математике побольше. 
Кроме текста для изучения на занятиях и домашней 
работы, учебное пособие содержит рубрику под названием «Прочитайте сами», адресованную тем из вас, кто 
интересуется историей науки.
В конце каждого раздела приводится рубрика 
«Подведём итоги», в которой содержатся вопросы по 
изученному материалу, задания для самопроверки 
«Проверьте себя!» и «Упражнения к разделу».

Желаем вам успехов в освоении современного
учебного курса!

ВВЕДЕНИЕ

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

РАБОТАЕМ С УЧЕБНЫМ ПОСОБИЕМ

Кроме обязательного для всех учащихся материала, в основной текст учебного пособия добавлен материал ещё двух 
уровней:
 
 более сложный материал;

 наиболее трудный материал. Звёздочкой отмечены также 
пункты и параграфы, которые вы можете изучать самостоятельно.

Основной текст сопровождают рубрики, которые помогут 
вам глубже понять материал и расширить свой кругозор.

«ВНИМАНИЕ!» Важные понятия и утверждения, которые желательно запомнить.

«В ФОКУСЕ». Важная деталь, на которую следует обратить 
внимание.

«МАтЕМАтИчЕСКИй блОКНОт». Небольшие фрагменты текста, содержащие некоторую дополнительную информацию 
или исторические справки.

«СПрАВКА». Полезный справочный материал из курса математики.

«ЗАПИСыВАЕМ рЕшЕНИЕ». Некоторые примеры оформления 
решений.

Упражнения, которыми заканчивается каждый пункт учебного пособия, также разделены на три уровня:

номера обязательных упражнений для выполнения всеми 
учащимися;

номера более сложных упражнений;

номера сравнительно трудных упражнений, не обязательных 
для выполнения всеми учащимися.

*

12

15

16*

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

РАзДЕл 7
элЕмЕНты 
матЕматИчЕского 
аНалИза

зНаЕтЕ лИ Вы, что...

Один 
из 
создателей 
(наряду 
с 
И. Ньютоном) математического анализа Г. лейбниц писал о сформулированных им определениях и ут- 
верждениях: «Они не выдерживают 
строгой критики, но тем не менее 
находят большое применение в вы- 
числениях и для уяснения общих 
понятий».

чтО тАКОЕ ПрОИЗВОдНАя

ВычИСлЕНИЕ 
ПрОИЗВОдНых

ПрИМЕНЕНИЕ 
ПрОИЗВОдНОй

Прочитайте сами

Подведём итоги

Упражнения к разделу

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

1

Вы поВторИтЕ

 Как можно задать линейную 
функцию.

 Каков 
геометрический 
смысл 
углового коэффициента прямой.

В предыдущие годы обучения вам приходилось встречаться с линейной функцией во многих задачах. Очень полезна она нам будет и в этом году. Повторим её определение 
и некоторые свойства.

 ОПРЕДЕлЕНИЕ лИНЕйНОй фУНкцИИ И Её СВОйСТВА  

График линейной функции — прямая. Наоборот, 
любая невертикальная прямая является графиком какойто линейной функции. На рисунке 7.1 построены графики нескольких линейных функций:
у = 2х, у = 3х + 1, y = 1 – x,
y = –2x – 1, y = 3, y = –2.
Чтобы построить график линейной функции, достаточно найти значения этой функции при двух значениях 
аргумента, отметить две соответствующие точки координатной плоскости и провести через них прямую.
По формуле легко судить, проходит ли график 
задаваемой ею функции через ту или иную точку. 
Например, график функции у = 2х, очевидно, проходит через точку (0; 0), ибо эта функция при х = 0 
принимает значение 0. График же функции у = 1 – х 
через начало координат не проходит, так как значение 
этой функции при х = 0 равно 1, а не 0.
Число а называют угловым коэффициентом прямой у = ах + b.
Если угловой коэффициент положителен, то прямая слева направо идёт вверх, т. е. соответствующая 
функция является возрастающей на всей числовой оси 
(рис. 7.1, a).
Если угловой коэффициент отрицателен, то прямая 
слева направо идёт вниз, т. е. соответствующая функция 
является убывающей на всей числовой оси (рис. 7.1, б).
Если угловой коэффициент равен нулю, то прямая 
параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, соответствующая функция является на всей числовой оси 
постоянной (рис. 7.1, в).
Число b является значением линейной функции 
у = ах + b при x = 0. Поэтому прямая, являющаяся 
графиком этой функции, пересекает ось ординат  
в точке (0; b).

поВторИм лИНЕйНую 
фуНкцИю

 что такоЕ проИзВоДНая

Рис. 7.1

Линейной называется функция, задаваемая формулой y =  ax + b, где a и b — числа.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

СПОСОБЫ зАДАНИя лИНЕйНОй фУНкцИИ  Чтобы задать 
линейную функцию, достаточно указать угловой коэффициент соответствующей прямой и какую-либо точку, 
через которую она проходит.
Пример 1. Напишем уравнение прямой с угловым 
коэффициентом а, проходящей через точку (x0; у0):
а) при х0 = 1, у0 = 1; б) в общем виде.
а) Искомое уравнение имеет вид у = ах + b.
Данная прямая проходит через точку с координатами (1; 1), это означает, что выполнено равенство 
1 = а · 1 + b, т. е. b = 1 – а. Подставим значение b в 
исходную формулу: у = ах + 1 – а, получаем искомое 
уравнение. Перегруппировав и вынеся общий множитель а за скобки, уравнение можно записать и несколько по-другому: у = 1 + а (х – 1).
б) Рассуждаем точно так же. Ищем уравнение вида 
у = ах + b, зная, что выполняется равенство у0 = ах0 + b. 
Имеем равенство b = y0 – ax0. Подставив значение b в 
исходную формулу, получим у = ах + у0 – ах0 — это и 
есть искомое уравнение. Перегруппировав и вынеся 
общий множитель а за скобки, уравнение можно записать и несколько по-другому: y = y0 + а (х – х0).
Этой формой уравнения прямой, заданной угловым 
коэффициентом a и точкой с координатами (x0; y0), 
через которую она проходит, мы будем в дальнейшем 
часто 
пользоваться. 
Заметим 
ещё, 
что 
любая 
невертикальная прямая, проходящая через точку с 
координатами (x0; y0), может быть задана уравнением 
вида
y = y0 + a(x – x0)
при каком-то значении a (или, что то же самое, уравнением вида y = ax + y0 – ax0).
Прямая может быть задана и двумя точками. 
Пример 2. Напишем уравнение прямой, проходящей через точки с координатами:
а) (1; 1), (2; 3);
б) (х0; у0), (х1; у1) при условии, что х0  х1.
а) Ясно, что искомая прямая не является вертикальной (1  2), поэтому уравнение прямой имеет вид 
у = ах + b. Запишем равенства, означающие, что прямая проходит через данные точки:

1
3
2
=
+

=
+
a
b
a
b
,
.
мно

Отсюда получаем а = 2. Подставив найденное значение а в любое из двух записанных для а и b 
равенств, находим b = –1. Искомое уравнение имеет 
вид у = 2х – 1.
б) Рассуждая точно так же, как выше, ищем уравнение вида y = ах + b, причём должны выполняться 

равенства y
ax
b

y
ax
b

0
0

1
1
=
+
=
+
,
.

мно

Вертикальная прямая задаётся уравнением вида х = а. 
Разумеется, это уравнение 
не задаёт функцию.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Решая эту систему уравнений, находим, что

 a
b
y
y

x
x

y x
y x

x
x
=
=
1 –
0

1
0

0
1
1
0

1
0
–

–

–
,
.

Искомое уравнение имеет вид

 ГЕОМЕТРИЧЕСкИй СМЫСл УГлОВОГО кОэффИцИЕНТА ПРяМОй  Для любой прямой у = ах + b можно взять на 
ней две точки с координатами (х0; у0) и (х1; у1) и переписать уравнение прямой так, как показано выше, 
в частности выразить угловой коэффициент в виде 

a

y
y

x
x
=

1
0

1
0

–

–
.

Это даёт возможность прояснить его геометрический смысл.
На рисунке 7.2 изображены прямые и на каждой 
отмечены точки А и В с координатами (х0; у0) и (х1; у1) 
и углы, образованные этими прямыми с положительным направлением оси абсцисс (их называют углами 
наклона прямых к оси абсцисс). Видно, что разности 
у1 – у0 и х1 – х0 выражают длины катетов прямоугольных треугольников ABC или противоположные им 
величины, а отношение 

y
y

x
x

1
0

1
0

–

–
 равно тангенсу угла 

наклона прямой к оси абсцисс.

Пример 3. Напишем уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (1; 2) и наклонённой 
к оси абсцисс под углом, равным 45°.
Угловой коэффициент данной прямой равен tg 45°, 
т. е. 1. Используя выведенную в примере 1 формулу уравнения прямой, получаем
у = 2 + (х – 1), т. е. у = x + 1.
Отметим, что две различные невертикальные прямые параллельны тогда и только тогда, когда их 
угловые коэффициенты равны. В этом случае, очевидно, равны углы наклона этих прямых к оси абсцисс.
Пример 4. Напишем уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (2; 4) и параллельной 
прямой у = 1 – 3х.
Угловой коэффициент искомой прямой равен –3. 
Используя выведенное ранее уравнение, записываем:
y = 4 – 3(x – 2), т. е. y = –3x + 10.

Воп ро сы И за Да НИя

 Какая функция называется линейной?

 Какое число называют угловым 
коэффициентом прямой у = ах + b?

 Каков 
геометрический 
смысл 
углового коэффициента прямой?

 Как написать уравнение прямой, 
зная: а) её угловой коэффициент и 
координаты одной точки, через 
которую проходит данная прямая; 
б) координаты двух точек, через 
которые проходит данная прямая?

Рис. 7.2

Угловой 
коэффициент 
прямой 
равен тангенсу угла её наклона к 
оси абсцисс (для самой оси абсцисс 
или прямых, параллельных ей, угол наклона считают равным нулю).

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

упражНЕНИя

Постройте график функции:
а) y = 3x; 
б) y = 2 – 4x; 
в) y = 3;

г) y = – 1

2
x + 1
; 
д) y = 0,5x – 2; 
е) y
x
= –
–
.
1
3
2
3

Укажите, графики каких из следующих функций проходят через точку (0; 3); 
через точку (2; –1): 
а) у = 5х – 2; 
б) у = –3х + 3; 
в) у = 4х – 9;
г) у = –2х + 3; 
д) у = 3х + 2; 
е) у = –х + 1.

Укажите, какие из следующих функций являются возрастающими, какие — 
убывающими: 
а) у = 6х + 7; 
б) у = –2,96х + 3; 
в) y
x
=
+
2
7;

г) у = –πx + 4; 
д) у = 0,4х + 0,8; 
е) y
x
= 1

7
.

Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через 
точку А, если: 
а) А (0; 3), k = 1; 
б) А (1; 2), k = –1; 
в) А (2; –1), k = 3; 
г) А (2; 0,5), k = –2,5.

Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А и В, если:
а) А (0; 0), В (1; 1); 
б) А (2; –1), В (1; 3); 
в) А (–1; –1), В (2; 1).

На рисунке 7.3 изображены графики линейных функций. Для каждого из них 
определите соответствующий угловой коэффициент.

На рисунке 7.4 изображены графики линейных 
функций. Задайте каждую из функций формулой.

Прямая наклонена к оси абсцисс под углом 135° 
и проходит через точку (1; –1). Запишите уравнение, задающее эту прямую.

Напишите уравнение прямой, проходящей через 
точку (1; 2) и параллельной:
а) оси абсцисс;
б) прямой у = 4х;
в) прямой у = –5х + 3.

1

2

3

4

7

5

8

6

9

Рис. 7.3

Рис. 7.4

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

2

Вы уз На Е тЕ

 Какая задача приводит к определению касательной.

 Какая прямая называется касательной к графику функции y = x2.

 Какая прямая называется касательной к графику функции y = x3.

В этом пункте вы начнёте знакомиться с одним из ключевых понятий математического анализа — касательной к графику функции.

 ПОСТАНОВкА ПРОБлЕМЫ  График функции f(x) = x2 давно 
вам знаком и сравнительно прост. Тем не менее понятно, что есть и более простая линия — прямая: рисовать 
её гораздо проще. Уравнение прямой имеет вид
у = аx + b,
по такой формуле легче считать значения функции. 
Можно назвать и другие задачи, которые легче решаются для линейной функции, чем для квадратичной.
Хотелось бы научиться хоть на маленьком кусочке 
заменять кривую отрезком прямой, мало от неё отличающейся, — это, как мы увидим, будет полезно для 
приближённых вычислений и во многих других ситуациях. Мы уже не раз пытались моделировать различные процессы с помощью линейных функций, оговаривая, что на самом деле рассматриваемый процесс, 
наверное, идёт сложнее, но линейная функция помогает создать самое простое (хотя, разумеется, лишь приближённое) его описание.
Подобные рассуждения вам, вероятно, приходилось 
применять и в другой ситуации — для приближённого 
определения площади криволинейной фигуры. Для этого 
криволинейную фигуру заменяют «близким» к ней многоугольником, т. е. заменяют кусочки ограничивающей 
фигуру кривой отрезками прямой (рис. 7.5).
Попробуем применить эту идею при рассмотрении 
параболы y = x2. Но какой прямой заменять нашу 
кривую?
Попытаемся сначала заменить рассматриваемую 
кривую прямой вблизи, например, её точки (1; 1). 
Чтобы подчеркнуть, что число х близко к 1, запишем 
его следующим образом: х = 1 + t — и число t будем 
считать «маленьким». Представить число х таким 
образом можно всегда. Например, если х = 1,12, то 
t = 0,12, а если х = 0,97, то t = –0,03. Вообще
t = х – 1.
Теперь запишем равенства:
х2 = (1 + t)2 = 1 + 2t + t2. 
Заметим, что если число t «маленькое» по абсолютной величине, то число t2 «очень маленькое». Например, 
если t = 0,1, то t2 = 0,01, а если t = –0,01, то 
t2 = 0,0001. В таких случаях говорят, что величина 
t2 — малая более высокого порядка, чем t. Отбросим 
эту величину и запишем приближённое равенство:
(1 + t)2  1 + 2t.

касатЕльНыЕ к графИкам 
фуНкцИИ у = x2 И у = x3

Рис. 7.5

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.