Теоретическая механика. Динамика

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 

высшего образования 

«Томский государственный архитектурно-строительный университет» 

 
 
 
 

Т.А. Ковалевская, Е.В. Комарь, Н.А. Еньшина  

 

 

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. ДИНАМИКА 

 

Электронное учебное пособие  

 

 

 
 
 
 

Рекомендовано Учебно-методическим советом ТГАСУ 

в качестве учебного пособия для студентов 

всех направлений по программам бакалавриата 

и магистратуры очной формы обучения 

 

 
 
 

 

Томск 

Издательство ТГАСУ 

2019 

УДК 531.1(075) 
ББК 22.31я7 

            Серия «Учебники ТГАСУ» основана в 2013 году 

Ковалевская, Т.А. Теоретическая механика. Динамика 

[Электронный ресурс] : электронное учебное пособие / 
Т.А. Ковалевская, 
Е.В. 
Комарь, 
Н.А. Еньшина; 
Томский 

государственный архитектурно-строительный университет.  – 
2-е изд., испр. – Томск : Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та, 
2019. – (Серия «Учебники ТГАСУ»). – 1 электрон. диск (CDR) : 12 см; в контейнере 14×12,5 см. – Систем. требования: PC 
не ниже класса Pentium; 1 Гб RAM; свободное место на HDD 
9 Мб; Windows XP/Vista/7/8/10; Adobe Acrobat Reader; дисковод 
CD-ROM 2-х и выше; клавиатура; мышь. – Загл. с этикетки 
диска. – № гос. регистрации. – ISBN 978-5-93057-887-4. – Текст. 
Изображение. 
 

Настоящее электронное издание представляет собой учебное 

пособие, включающее в себя курс лекций по разделу теоретической 
механики «Динамика». В издании изложены основы динамики точки 
и 
механической 
системы. 
Освещение 
теории 
сопровождается 

примерами подробного решения типовых задач по всем основным 
темам с рекомендациями задач для самостоятельного решения. 

Учебное 
пособие 
соответствует 
государственному 

образовательному стандарту дисциплины «Теоретическая механика» 
и предназначено для студентов первого и второго курсов всех 
направлений (профилей). 

 

Рецензенты: 
А.М. Бубенчиков, докт. физ.-мат. наук, профессор ТГУ; 
А.А. Глазунов, докт. физ.-мат. наук, директор НИИ ПММ; 
О.И. Данейко, канд. физ.-мат. наук, доцент ТГАСУ. 

 

© Томский государственный 

 архитектурно-строительный 
 университет 

© Ковалевская Т.А., Комарь Е.В.,  

                                                                  Еньшина Н.А., 2019 

К 56

ISBN 978-5-93057-887-4

ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ 

 
Динамикой называется раздел теоретической механики, 

в котором изучаются законы движения материальных тел 
в зависимости от действующих на них сил. 

Движение материальных тел с геометрической точки зре
ния, вне связи с силами, определяющими это движение, было 
рассмотрено в кинематике [1]. В отличие от кинематики, динамика изучает движение тел под действием сил с учётом массы 
самих материальных тел. 

Понятие силы как меры механического взаимодействия 

материальных тел было введено в статике [2]. При этом все силы в статике считались постоянными величинами. Между тем 
на движущиеся тела, наряду с постоянными силами (например, 
силу тяжести считают величиной постоянной), действуют силы 
переменные, модули и направления которых при движении тела 
изменяются. Переменные силы могут определённым образом 
зависеть от времени, положения тела или его скорости. Например, сила тяги электровоза зависит от времени и изменяется при 
постепенном включении реостата; от положения тела зависит 
ньютонова сила тяготения, а также сила упругости пружины; 
от скорости движения зависят, например, силы сопротивления 
среды и т. д. 

Кроме того, в классической механике различают дально
действующие силы, например, силы всемирного тяготения, 
электрические и магнитные силы, и близкодействующие (контактные) силы – реакции связей, поверхностные силы, создаваемые средой, окружающей тело. 

Необходимо отметить, что в классической механике 

обычно не рассматривается природа и происхождение сил, 
а изучается только их действие на движущиеся тела.  

Развитие динамики начинается в XV–XVI столетиях 

в странах Западной и Центральной Европы в связи с бурным 
развитием производительных сил общества. Главная заслуга 

в создании основ динамики принадлежит гениальным исследователям Галилео Галилею (1564–1642) и Исааку Ньютону (1643–
1727). В сочинении Ньютона «Математические начала натуральной философии», изданном в 1687 г., были изложены основные 
законы классической механики (законы Ньютона). 

В XVIII в. начинается интенсивное развитие аналитиче
ских методов механики, основанных на применении дифференциального исчисления. Эти методы были разработаны великим 
математиком и механиком Л. Эйлером (1707–1783), выдающимися французскими учёными Ж. Даламбером (1717–1783) 
и Ж. Лагранжем (1736–1813). В настоящее время аналитические 
методы решения задач являются в динамике основными. 

Изучение динамики начнём с задач о движении таких тел, 

размерами которых в условиях данной задачи можно пренебречь. Такие тела называются материальными точками. 
В классической механике все тела рассматриваются как совокупности взаимодействующих материальных точек. Движение 
материальной точки будем рассматривать как изменение её положения в пространстве, не интересуясь её вращением и деформацией. Практически материальной точкой можно считать 
тело в тех случаях, когда проходимые им расстояния очень велики по сравнению с его размерами. Другой пример – поступательно движущееся тело можно рассматривать как материальную точку с массой, равной массе этого тела. Кроме того, материальными точками можно считать частицы, на которые будем 
мысленно разбивать любое тело при определении тех или иных 
динамических характеристик. Поэтому курс динамики разделим 
на динамику точки и динамику системы материальных точек. 
 
 
 
 
 

1. ДИНАМИКА ТОЧКИ 

 

1.1. Основные законы динамики 

 

Древние учёные имели смутное представление о законах 

движения. Аристотель (384–322 гг. до н. э.) не знал ещё закона 
инерции и считал, что с прекращением действия силы тела прекращают двигаться. И только Галилей открыл один из основных 
законов движения, устанавливающий, что всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешние силы не выведут его из этого 
состояния. Галилей использовал этот закон для объяснения различных явлений, хотя универсальной формулировки он ему 
не дал. Только гениальный Ньютон в своем трактате «Математические начала натуральной философии» сформулировал этот 
закон применительно к материальной точке. 

Первый закон Ньютона (закон инерции) 
Изолированная от внешних воздействий материальная 

точка сохраняет своё состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействия со стороны других тел не заставят её изменить это состояние. 

Все системы отсчёта, по отношению к которым выполня
ется закон инерции, называются инерциальными. Опытным путём установлено, что весьма близкой к инерциальной является 
система отсчёта, начало которой находится в центре Солнца, 
а оси направлены на так называемые «неподвижные» звёзды. 
Эта система называется гелиоцентрической. При решении 
большинства технических задач инерциальной можно считать 
систему отсчёта, жёстко связанную с Землей. 

Второй закон Ньютона (основной закон динамики) 
Ускорение материальной точки пропорционально прило
женной силе и имеет одинаковое с ней направление, или другая 
формулировка закона: произведение массы материальной точки на ускорение, которое она получает под действием данной 

силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.  

Математически этот закон выражается таким векторным 

равенством: 

                               
m
a  F
,          

или  
F.
ma

 
(1.1) 

Здесь m  – масса материальной точки; a  – её ускорение; F  – 
сила, приложенная к данной точке. 

Из равенства (1.1) видно, что чем больше масса матери
альной точки, тем меньше её ускорение. По Эйлеру, массой 
тела называется «величина заключённой в теле инерции, вследствие которой тело стремится сохранить своё состояние 
и противодействовать всякому его изменению» [13]. 

Ньютон определил массу как количество вещества в теле, 

что вполне отвечает современному представлению о строении 
физической материи. 

Следовательно, с одной стороны, масса тела определяет
ся как мера его инертности. С другой стороны, как известно, 
термин «масса» употребляется как способность тела создавать поле тяготения и испытывать действие силы в этом 
поле (тяготеющая или гравитационная масса). Значит, инертность и способность создавать поле тяготения представляют 
два различных свойства массы, которые всегда существуют 
совместно. 

В классической механике масса движущегося тела прини
мается равной массе покоящегося тела, то есть масса рассматривается как постоянная величина, являющаяся мерой 
инертности тела и его гравитационных свойств. 

При свободном падении на Землю в пустоте тело массой 

m  движется под действием силы тяжести G  с ускорением свободного падения .
g   

Поэтому на основании второго закона Ньютона можно за
писать: 
                                               
G,
mg

 
(1.2) 

или в скалярной форме 
g
m  G
, то есть масса материального 

тела равна его силе тяжести, делённой на ускорение свободного падения в данном месте земной поверхности. Так как ускорение свободного падения различается в зависимости от местности, то, в отличие от массы, его сила тяжести не является величиной постоянной. 

Третий закон Ньютона (закон равенства действия 

и противодействия) 

Всякому 
действию 
всегда 
соответствует 
равное 

и противоположно направленное противодействие, другими 
словами – действия двух тел друг на друга всегда равны 
по величине и направлены по одной прямой в противоположные 
стороны. 

Дадим некоторое разъяснение этому закону. Сила, пред
ставляющая воздействие одного тела (нескольких тел) на рассматриваемое точечное тело, именуется по Ньютону действием. И обратно, сумма сил, характеризующих воздействие этого точечного тела на все сторонние – противодействием. Постулирование равенства и противоположной 
направленности по одной прямой действия и противодействия всегда и при всех обстоятельствах движения, а также 
равновесия тел в классической механике и составляет содержание третьего закона Ньютона. 

Отсюда следует, что силы в механике Ньютона встреча
ются лишь попарно, с точностью до знака, векторно равные 
друг другу, приложенные, однако, к разным, но взаимодействующим телам, следовательно, силы действия и противодействия не являются уравновешенной системой сил. 

Если действие представляет собой произвольную систему 

сил, приложенных к абсолютно твёрдому телу, то, пользуясь 
методами геометрической статики, можно заменить эту систему 
эквивалентной ей динамой [2]. Очевидно, что противодействие 
в данном случае будет эквивалентно такой же динаме, но уже 
противоположного знака. 

В случае контактного взаимодействия (близкодействие), 

например, одно тело давит на другое, соприкасаясь с ним по некоторой части поверхности или, что допускается для абсолютно 
твёрдых тел, в одной или нескольких точках. Если считать действием силу давления на первое тело со стороны второго, 
то противодействием будет сила, развиваемая первым телом 
и приложенная уже ко второму. 

Наряду с контактным взаимодействием (близкодей
ствие) в классической механике рассматривается и взаимодействие тел на расстоянии – дальнодействие. Примерами 
дальнодействия являются и всемирное тяготение, и взаимодействие зарядов и электрических токов. Например, силу F  – 
меру притяжения первого тела ко второму можно посчитать 
действием, а силу F  – тяготения второго тела к первому – 
противодействием. Сила F  (действие) приложена к первому 
телу, а сила F  (противодействие) ко второму, причём 

F .
F
  
 Разумеется, в зависимости от точки зрения исследо
вателя наименование действия и противодействия можно менять местами. 

Четвёртый закон динамики (закон независимости дей
ствия сил) 

Несколько одновременно действующих на материальную 

точку сил сообщают ей ускорение, равное векторной сумме 
тех ускорений, которые сообщила бы этой точке каждая из 
сил в отдельности. 

Этот закон не был сформулирован Ньютоном как отдель
ный закон механики, но он содержится в сделанном им обобщении правила параллелограмма сил. 

Пусть под действием системы сил 
Fn 
F F
,...,
,
2
1
 точка при
обрела ускорение a  (рис. 1.1, а), а под действием каждой из сил 
в отдельности – ускорения 
na
a a
,...,
,
2
1
. 

 

 

 
 
 
 
 
 
 

 
 

В соответствии с законом независимости действия сил 

можно записать: 

na
a
a
a




...
2
1
. 
(1.3) 

Векторное равенство (1.3) показано на рис. 1.1, б. 

Умножая последнее векторное равенство на массу матери
альной точки, получим 

.
...
2
1
m na
ma
ma
ma




 
(1.4) 

Согласно второму закону Ньютона:  

    
1
1
2
2 ...
.
n
n
ma
F , ma
F , , ma
F



 
(1.5) 

Подставив значения (1.5) в уравнение (1.4), получим 

                              
 




i
n
F
F
F
F
ma
...
2
1
. 
(1.6) 

Это равенство называется основным уравнением динамики 
точки в случае действия нескольких сил. Как известно из ста
Рис. 1.1

1F

2a
М

R

a

n
F

na

2
F

1а

а
б

2a
a

na

1а

тики [2], система сил 
Fn 
F ,F
2 ,...,
1
, приложенная к одной точке, 

представляет собой систему сходящихся сил, которую можно заменить эквивалентной ей силой – равнодействующей 
:
R  

                                                
.
 
iF
R
 
(1.7) 

Тогда равенство (1.6) можно записать так: 

                                                 
R.
ma

 
(1.8) 

Рис. 1.1, б демонстрирует полученное равенство (1.8). 
Итак, сформулированы основные законы динамики – за
коны Галилея–Ньютона, которые лежат в основе классической 
механики. У современного человека могут возникнуть сомнения: «Нет ли элементов ретроградства при изучении теоретической механики?». Для ответа на этот вопрос можно привести 
слова гениального Анри Пуанкаре (1909 г.), которые актуальны 
и теперь: «Классическая механика будет и в будущем так же 
необходима, как и теперь, и тот, кто не будет знать её основательно, не будет в состоянии понять и новую механику» [11]. 
А вот мнение Альберта Эйнштейна: «…не следует думать, что 
великое творение Ньютона можно реально ниспровергнуть этой 
(теорией относительности) или какой-нибудь другой теорией. 
Его ясные и всеобъемлющие идеи навсегда сохранят свое уникальное значение как фундамента, на котором построено здание 
современной физики» [14]. 
 

Вопросы для самоконтроля 
1. Сформулируйте основные законы динамики. 
2. Какое уравнение называется основным уравнением ди
намики? 

3. Что называется массой тела? 
4. Зависит ли сила тяжести тела от его местонахождения 

на Земле? 

5. Какую систему отсчёта называют инерциальной?