Математика

Г.С. ЖУКОВА
Л.Р. БОРИСОВА
МАТЕМАТИКА 
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Под редакцией Г.С. Жуковой
Москва
ИНФРА-М
2024

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
 
Ж86
А в т о р ы:
Жукова Г.С., доктор физико-математических наук, профессор, профессор Департамента анализа данных и машинного обучения Финансового университета при Правительстве Российской Федерации;
Борисова Л.Р., кандидат физико-математических наук, доцент, доцент Департамента математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации
Р е ц е н з е н т ы:
Бободжанов А.А., доктор физико-математических наук, профессор, профессор Национального исследовательского университета 
«Московский энергетический институт»;
Феклин В.Г., кандидат физико-математических наук, доцент, декан Факультета информационных технологий и анализа больших 
данных Финансового университета при Правительстве Российской 
Федерации
Жукова Г.С.
Ж86  
Математика  : учебное пособие / Г.С. Жукова, Л.Р. Борисова ; 
под ред. Г.С. Жуковой. — Москва : ИНФРА-М, 2024. — 543 с. — 
(Высшее образование). — DOI 10.12737/2082652.
ISBN 978-5-16-019002-0 (print)
ISBN 978-5-16-111802-3 (online)
Учебное пособие содержит системное изложение теоретического материала, позволяющего овладеть основными приемами и методами исследования широкого круга практических задач. По каждой обсуждаемой теме 
предложено с подробным анализом и решением большое число примеров 
и задач, разработанных в соответствии с рабочей программой дисциплины 
«Математика». Большое внимание уделено применению математических 
методов к исследованию экономических задач.
Оказывает помощь в самостоятельной подготовке и самоконтроле 
по освоению дисциплины, включая подготовку к лекционным и практическим занятиям, контрольным работам, компьютерному тестированию 
в LMS Moodle, промежуточным аттестациям. 
Адресовано студентам вузов, обучающимся по направлению подготовки 10.03.01 «Информационная безопасность», преподавателям для организации учебного процесса, а также всем желающим, занимающимся самообразованием.
УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
ISBN 978-5-16-019002-0 (print)
ISBN 978-5-16-111802-3 (online)
© Жукова Г.С., Борисова Л.Р., 
2024

ВВЕДЕНИЕ 
 
Для успешной работы после окончания университета и карьерного роста 
выпускник должен владеть глубокими и прочными знаниями по избранной 
специальности, широким спектром сведений из смежных областей науки, 
умением непрерывно пополнять свои знания. Он должен обладать творческой 
инициативой, организаторскими способностями, желанием и умением 
передавать свои знания подчиненным и коллегам. 
Предметы, включенные в учебный план, различные виды и формы учебных 
занятий дают студенту необходимый запас знаний, формируют требуемые 
компетенции. При этом нет второстепенных дисциплин, все дисциплины 
одинаково важны и необходимы современному молодому специалисту в его 
практической деятельности. 
Особенностью учебного процесса в вузе является то, что значительная 
часть учебной нагрузки переносится на самостоятельную работу. Умение 
учиться 
самостоятельно 
достигается 
повседневной 
аудиторной 
и 
внеаудиторной работой, проводимой планомерно и организованно. Чтобы 
хорошо учиться в вузе, получить глубокие знания, стать грамотным 
высококвалифицированными специалистом, востребованными на рынке труда, 
студенту надо с первого курса самообучаться, то есть больше работать 
самостоятельно. 
Математика - одна из вузовских дисциплин. Математика изучает 
абстрактные свойства реальных процессов и явлений в самой общей форме. 
Поэтому надо осознать, что без изучения математики нельзя рассчитывать на 
серьезные успехи в любой конкретной науке или практической деятельности. 
При изучении математики следует помнить, что целью является развитие и 
стимулирование навыков логического мышления, приобретение определенных 
умений, владение изученным материалом, а не простое знание понятийного 
аппарата и формулировок теорем. Таким образом, математическое образование 
в системе высшей школы выполняет функции становления мышления у 
студентов, 
овладения 
методами 
формализации 
при 
постановке 
рассматриваемых задач и проблем в разных областях деятельности. 
Математическое образование, на наш взгляд, является важнейшей 
составляющей 
в 
системе 
фундаментальной 
подготовки 
современного 
специалиста. Математика является для многих отраслей знаний не только 
инструментом 
для 
количественных 
расчетов, 
но 
методом 
точного 
исследования.  
Математика прочно заняла место одного из главных средств познания 
проблем любой другой науки. Она играет важную роль в инженернотехнических, естественнонаучных, гуманитарных, социально-экономических 
исследованиях. Без современной математики с развитым логическим и 
вычислительным 
аппаратом 
невозможен 
прогресс 
в 
науке 
и 
 
 
 ϯ 

жизнедеятельности. Это универсальный язык науки, средство анализа и 
решения прикладных задач. 
Таким образом, современный специалист должен быстро и качественно 
анализировать с помощью математических методов и алгоритмов огромные по 
объему массивы различного рода информации, необходимой для его успешной 
профессиональной работы.  
Несомненно, 
дисциплина 
«Математика» 
служит 
формированию 
у 
студентов 
основ 
теоретических 
знаний 
и 
практических 
навыков 
по 
использованию математических методов, необходимых для анализа и 
исследования, моделирования различных технических и иных социально 
значимых 
процессов, 
решения 
прикладных 
задач, 
возникающих 
в 
профессиональной 
деятельности 
выпускников 
программ 
подготовки 
бакалавров. Требования к математической подготовке успешного специалиста 
постоянно возрастают. Кроме крепких знаний по своей специальности ему 
необходимо уметь использовать в практической деятельности современные 
математические методы, выбирать наиболее подходящие к анализу решаемой 
задачи 
комбинации 
существующих 
подходов, 
уметь 
обосновывать 
правильность и оптимальность выбора.  
В современных условиях особое значение приобретает проблема качества 
образования. Требования к качеству образования специалистов-выпускников 
вузов с каждым годом возрастает, что диктуется ускоряющимся развитием 
науки и техники, связанной с этим обязательной сменой через несколько лет 
основного объема знаний. Все это обосновывает потребность у студента 
развивать в себе способность непрерывно самостоятельно повышать свой 
специальный и культурный уровень, выработать чувство ответственности за 
личное соответствие растущим требованиям к специалистам-профессионалам. 
Считается, что в результате обучения студент должен не только овладеть 
необходимым объемом знаний по данной специальности, но и выработать в 
себе устойчивую способность постоянно самостоятельно анализировать новые 
задачи, непрерывно повышать свой образовательный уровень.  
В настоящем учебном пособии дано системное изложение основных 
разделов вузовской математики, которые обязательно востребованы при 
анализе 
и 
решении 
задач 
профессиональной 
деятельности. 
Изучение 
представленного материала по дисциплине «Математика» будет, несомненно, 
способствовать формированию требуемых компетенций: владение культурой 
мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, 
постановке цели и выбору путей ее достижения; способность  осуществлять 
сбор, анализ и обработку данных, необходимых для решении поставленных 
задач; способность выполнять расчеты, необходимые в профессиональной 
сфере, обосновывать их и представлять результаты; владение методами 
количественного 
анализа 
и 
моделирования, 
теоретического 
и 
экспериментального исследования; умение использовать соответствующий 
математический аппарат и инструментальные средства для обработки, анализа 
и систематизации информации о теме исследования. 
 
 
 ϰ 

Основная цель учебного пособия - помочь студентам бакалавриата 
изучить основные положения высшей математики, дать необходимую базу, 
позволяющую 
применять 
классические 
методы 
математики, 
строить 
математические 
модели 
прикладных 
задач; 
устойчиво 
овладеть 
математическими методами анализа большого круга практических задач. 
Мы излагаем «Математику» как дисциплину, обучающую студентов 
навыкам логического мышления, умению не только осмыслить и высказать 
суждение по тому или иному вопросу, но проверить его правильность; 
осознанному 
использованию 
математических 
методов, 
в 
частности, 
количественных методов анализа, необходимых им при изучении спецкурсов, 
написании курсовых и выпускной квалификационной работ,  
Настоящее учебное пособие содержит основные теоретические сведения и 
положения высшей математики. Обсуждаемые разделы дисциплины перечислены 
в оглавлении книги. Включенный в пособие материал полностью соответствуют 
рабочей программе дисциплины «Математика» для бакалавров направления 
подготовки 10.03.01 - Информационная безопасность: объем - 9 зачетных 
единиц, период изучения - первые три семестра.  
В каждом параграфе главное внимание уделено обсуждению и разбору 
сложных ситуаций, возникающих при изучении этой темы. Отличительной 
особенностью пособия является тот факт, что в нем предложено большое число 
задач и примеров с анализом и подробным решением. В частности, обсуждаются 
все типы практических заданий, выносимых на контрольные работы и 
промежуточные аттестации.  
Учебное пособие содержит 14 глав, объединивших 53 параграфа. Тема 
каждого параграфа при изучении разбита на подтемы. Схема изложения каждой 
подтемы включает краткий теоретический материал, необходимый для 
успешного усвоения материала, а также разбор практических задач и примеров 
(с анализом и подробным решением). 
В пособии нумерация глав и параграфов сквозная. При этом нумерация 
определений, теорем, следствий, свойств, замечаний, формул, рисунков, подтем, 
примеров с решениями используется в каждом параграфе самостоятельная. 
Изучение дисциплины требует систематического и последовательного 
накопления знаний. Следовательно, пропуски отдельных тем не позволяют 
глубоко освоить предмет. Именно поэтому настоящее пособие позволит 
студенту, пропустившего какую-либо тему, быстро изучить ее самостоятельно. 
Контроль над непрерывной самостоятельной работой студентов по освоению 
дисциплины «Математика» всегда должна находиться в центре внимания 
самого студента и преподавателя. 
 Самостоятельная работа студентов проходит аудиторно и внеаудиторно. 
Она включает в себя выполнение различного рода заданий, которые 
ориентированы на более глубокое усвоение материала изучаемой дисциплины. 
Причем задания должны выполняться студентами регулярно, самостоятельно и 
представляться преподавателю на проверку в установленный срок по его 
 
 
 ϱ 

требованию, а также должны соответствовать установленным требованиям по 
оформлению. 
Мы придерживаемся мнения, что математическими приемами и методами 
анализа различных задач можно устойчиво овладеть только, решая достаточное 
число аналогичных примеров. Поэтому в Финансовом университете при 
Правительстве Российской Федерации студентам по всем разделам дисциплины 
в соответствии с учебно-тематическим планом предложен в процессе обучения 
цикл практических занятий и самостоятельных работ. Например, до начала 
изучения какого-либо раздела дисциплины «Математика» студентам выдается в 
электронном виде сборник задач по соответствующему разделу. Эти задачи 
систематизированы по темам и подтемам. Ко всем задачам даны ответы, а к 
некоторым еще и указания. Кроме того, по завершении изучения раздела, 
студентам предлагаются домашняя и/или аудиторная (с выдачей демовариантов) 
самостоятельные работы, которые оцениваются в соответствии с утвержденной в 
вузе балльно-рейтинговой системой, что далее формирует аттестацию студента за 
работу в семестре по дисциплине. 
Понятно, чтобы успешно и в срок проходить все эти контрольные 
мероприятия, 
студент 
должен 
ответственно 
относиться 
к 
изучению 
дисциплины «Математика». Именно для этого обязательным элементом 
обучения становится качественная организация самостоятельной подготовки и 
своевременный самоконтроль получаемых знаний. Поэтому в пособие включен 
отдельный параграф, в котором даны рекомендации студентам по вопросам 
правильной подготовки к лекционным и практическим занятиям, контрольным 
работам, к промежуточным аттестациям (зачетам и экзаменам). 
Кроме того, с целью повышения качества получаемого математического 
образования авторами учебного пособия также разработаны тесты по всем 
изучаемым темам дисциплины, в электронном виде на платформе Moodle. 
Любой студент учебной группы может проходить тестирование по каждой теме 
по нескольку раз, причем в удобное для него время, с получением результата 
сразу по окончании тестирования. Примеры тестов даны в последнем параграфе 
учебного пособия. 
Все это (перечень типовых задач с решениями и тесты по каждой теме) в 
сочетании с настоящим учебным пособием, где дано подробное изложение 
разделов математики и анализ решения большого числа практических задач, 
позволяет студентам организовать самостоятельную подготовку по дисциплине 
«Математика», 
регулярно 
контролировать 
уровень 
своей 
подготовки, 
проходить самостоятельно контроль качества получаемых знаний. 
Книга имеет многоадресное назначение. Она рекомендуется студентам 
всех форм обучения при выполнении домашних заданий, подготовке к 
самостоятельным и контрольным работам, промежуточным аттестациям. Она 
будет полезна преподавателям для организации образовательного процесса, а 
также всем желающим углубить свои знания по высшей математике. 
Дисциплина «Математика» обеспечивает формирование у студентов 
направления 
подготовки 
10.03.01 
«Информационная 
безопасность» 
 
 
 ϲ 

компетенции ПКН-2: Способность применять необходимый математический 
аппарат для решения задач профессиональной деятельности. 
Индикаторы достижения компетенции:  
ϭ͘ 
Демонстрирует 
знание 
основного 
математического 
аппарата, 
используемого в области информационной безопасности. 
Знать: основной математический аппарат, используемый в области 
информационной безопасности. 
Уметь: четко описывать состав, структуру данных и информации, 
используемых 
в 
решаемой 
задаче, 
грамотно 
применять 
основной 
математический 
аппарат, 
используемый 
в 
области 
информационной 
безопасности. 
Ϯ͘ 
Осуществляет выбор эффективных математических методов для 
решения задач профессиональной деятельности. 
Знать: основные преимущества и особенности различных математических 
методов, используемых для решения задач профессиональной деятельности. 
Уметь: 
обосновывать 
сущность 
решаемой 
задачи, 
выявлять 
ее 
закономерности, сравнивать различные алгоритмы, осуществлять выбор 
оптимальных, наиболее эффективных математических методов для анализа и 
решения поставленной задачи.  
ϯ͘ 
Показывает владение навыками применения математических методов 
в задачах информационной безопасности. 
Знать: особенности применения основных математических методов и 
приемы их использования в задачах информационной безопасности. 
Уметь: 
продемонстрировать 
владение 
навыками 
применения 
математических методов в задачах информационной безопасности. 
 
 
 
 
 ϳ 

Г л а в а  1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 
 
† 1. МНОЖЕСТВА. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 
 
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 
 
Определение 1. Множество - это любая совокупность объектов, 
называемых элементами множества. 
,...
,
,
N
В
А
Множества 
обозначают 
большими 
буквами: 
. 
Элементы 
,...
,
,
n
b
а
А
а 
множества обозначают малыми буквами: 
. Запись 
 означает, что 
а
.
А
А
а 
элемент  есть элемент множества 
 В противном случае пишут: 
.  

:

a
A
x

x
A
Запись 
 означает, что для всех (для любого)  из множества 
 
.
a
имеет место некое утверждение, обозначенное 
 
Запись 
 означает, что существует (найдется) такой элемент 
 

:

0
a
A
x 

0
x
,
A
.
a
из множества 
 для которого справедливо утверждение, обозначенное 
 
 
Определение 2. Множество считается заданным, если о любом объекте 
можно сказать, принадлежит он этому множеству или нет. 
 
Определение 3. Множество, не содержащее ни одного элемента, 
называется пустым и обозначается символом ‡. 
Способы задания множеств 
1) С помощью перечисления его элементов: 
; 
^
`
п
а
а
а
А
;...;
;
2
1
=
2) Описанием характеристического свойства элементов множества: 
. 
( )
^
`
х
Р
х
А =
Читают: множество всех элементов х, для которых имеет место условие 
. 
( )
х
Р
 
А
Определение 4. Множество 
 называется конечным, если оно содержит 
)
(А
п
конечное число 
 элементов. Множество называется счетным, если все его 
элементы можно перенумеровать. 
 
Определение 5. Два множества называются равными, если они состоят из 
одних и тех же элементов. 
А
В
 
Определение 6. Множество 
 называется подмножеством множества 
, 
А
В
если любой элемент множества 
 является элементом множества 
.  
В
А
А
Запись «
» (отношение включения). означает, что множество 
 
В
A
является подмножеством множества 
, то есть любой элемент множества 
 
B
является также элементом множества 
. 
Свойства отношения включения 
А
А 
1) 
;                     
А
В 
С
А 
С
В 
2) Если 
 и 
, то 
; 
А
В 
В
А 
В
А =
3) Если 
 и 
, то 
. 
 
 
 
 ϴ 

 
Определение 7. Множество А называется универсальным множеством для 
данного рассуждения, если в ходе этого рассуждения участвуют только 
подмножества множества А. 
Х
 
Определение 8. Множество 
 называется ограниченным, если существует 
0
!
М
x
Х
такое число 
, что для всех элементов 
 из 
 справедливо неравенство: 
.
M
x d
 
Х
 
Определение 9. Множество 
называется ограниченным сверху (снизу), 
0
!
М
x
Х
если существует такое число 
, что для всех элементов 
 из 
 
M
x d
M
x t
справедливо неравенство: 
 (или 
). 
Х
 
Определение 10. Множество 
называется неограниченным, если для 
0
!
М
Х
x 
0
.
0
M
x
!
любого 
  существует такой элемент 
,  что 
 
Замечание 1. Чтобы наглядно изображать множества и отношения между 
ними, на плоскости рисуют, как правило, круги, которые находятся между 
собой в этих отношениях. Универсальные множества отождествляют с 
плоскостью, изображая обычно в виде квадрата, внутри которого рисуют все 
другие множества, участвующие в ходе рассуждения. Изображение множества 
с помощью кругов называется диаграммой множества. 
 
2. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА 
 
Определение 11. Числовыми множествами называются такие множества, 
все элементы которых являются числами. 
Обозначение некоторых числовых множеств 
 множество натуральных чисел, 
^
`=
!
,
4
,
3
,
2
,
1
N
 множество целых чисел, 
^
`-
-
=
!
!
,
2
,
1
,
0
,
1
,
2
,
Z
множество рациональных чисел, 
p
Q
где
,
,
-
¯
®
-


=
N
q
Z
p
q
¿
¾
½
множество вещественных (действительных) чисел, 
интервал: 
 
(
)f
f
-
=
;
R
(
)b
a;
(
) ^
`;
;
b
x
a
x
b
a
<
<
=
отрезок: 
 
[
]b
a;
[
] ^
`;
;
b
x
a
x
b
a
d
d
=
 и 
полуинтервалы: 
 
]
(
b
a;
)
[
-
b
a;
] ^
`
) ^
`
[
(
;
;
,
;
b
x
a
x
b
a
b
x
a
x
b
a
<
d
=
d
<
=
-окрестность точки 
 
 
(
)
-
d
d a
a
;
d
:
a
x =
(
) ^
`.
;
d
d
d
d

<
<
-
=

-
a
x
a
x
a
a
Промежуток - общее название для интервала, отрезка и полуинтервала.  
 
3. ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ 
 
Множества можно комбинировать друг с другом и получать другие 
множества. Для этого используются операции: объединение множеств, 
 
 
 ϵ 

пересечение множеств, дополнение к подмножеству, разность множеств, 
прямое произведение множеств. 
А
В
Определение 12. Объединением (или суммой) множеств 
 и 
 называется 
В
А‰
В
А 
множество, обозначаемое 
 (или 
), состоящее из элементов, которые 
принадлежат хотя бы одному из множеств 
 или 
:  
 
А
В
^
`.
или
В
х
А
х
х
В
А


=
‰
 
Свойства объединения множеств 
 
1) 
,                          2) 
, 
А
В
В
А
‰
=
‰
(
)
(
)
С
В
А
С
В
А
‰
‰
=
‰
‰
В
А
В
В
А
=
‰
А
А
А
=
‰
А
А
=
‡
‰
3) Если 
, то 
,      4) 
,    5) 
. 
 
4. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ 
 
А
В
Определение 13. Пересечением (или произведением) множеств 
 и 
 
В
Аˆ
АВ
называется множество, обозначаемое 
 (или 
), состоящее из элементов, 
А
В
которые одновременно принадлежат множеству 
 и множеству 
: 
 
^
`.
и
В
х
А
х
х
В
А


=
ˆ
 
Свойства пересечения множеств
 
А
В
В
А
ˆ
=
ˆ
1) 
,                        
2) 
, 
(
)
(
)
С
В
А
С
В
А
ˆ
ˆ
=
ˆ
ˆ
В
А
А
В
А
=
ˆ
3) Если 
, то 
,     
А
А
А
=
ˆ
‡
=
‡
ˆ
А
4) 
,     5) 
. 
 
Связь между операциями объединения и пересечения 
 
1) 
,  то есть 
; 
(
)
(
)
(
)
С
А
В
А
С
В
А
ˆ
‰
ˆ
=
‰
ˆ
(
)
АС
АВ
С
В
А

=

2) 
;  3) 
. 
(
)
(
)
(
)
С
А
В
А
С
В
А
‰
ˆ
‰
=
ˆ
‰
(
)
)
(
)
(
)
(
В
А
п
В
п
А
п
В
А
п
ˆ
-

=
‰
 
Замечание 2. При решении уравнений или неравенств, которые 
обозначают 
 и 
, если возникает необходимость в объединении или 
( )
А
( )
В
пересечении множеств их решений, для обозначения этого факта используют, 
соответственно, символику:  
»
А
А
( )
   или   
 
В
.
В
( )
( )
…
¬
( )
¯
®
-
 
5. ДОПОЛНЕНИЕ К МНОЖЕСТВУ 
 
V
А
Определение 14. Дополнением к множеству А во множестве V (если 
А
) называется множество 
 всех тех элементов V, которые не принадлежат А:  
. 
^
`
А
х
V
х
А


=
 
 
 
 ϭϬ