Математика. Базовый уровень. В 2 частях. Часть 1
Учебное пособие для образовательных организаций, реализующих образовательные программы среднего профессионального образования
Покупка
ФПУП
Издательство:
Просвещение
Год издания: 2024
Кол-во страниц: 320
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
Среднее профессиональное образование
ISBN: 978-5-09-108510-5
Артикул: 830025.02.99
Данное учебное пособие разработано в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта среднего общего образования, в редакции Приказа Министерства просвещения Российской Федерации № 732 от 12.08.2022 г. требованиями Федеральной образовательной программы среднего общего образования, утверждённой Приказом Министерства просвещения Российской федерации №371 от 18.05.2023 г. и предназначено для реализации образовательных программ среднего профессионального образования, реализуемых на базе основного общего образования или интегрированных с образовательными программами основного общего и среднего общего образования, при освоении учебных предметов, курсов, дисциплин (модулей) основного общего образования и (или) среднего общего образования. Особенностью учебного пособия является отсутствие традиционного деления на алгебру и начала математического анализа и геометрию. Курс построен так, чтобы подчёркивать единство подходов и методов и не допускать «ликвидации» одного из предметов на длительный срок. Материал учебного пособия разделён на три уровня: обязательный для всех учащихся, более сложный и наиболее трудный.
Тематика:
ББК:
УДК:
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
А. П. Карп А. Л. Вернер МАТЕМАТИКА БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ В двух частях Часть 1 Москва «Просвещение» 2024 Учебное пособие для образовательных организаций, реализующих образовательные программы среднего профессионального образования З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
УДК 377.167.1:51+51(075.32) 12+ ББК 22.1я723 К26 Серия «Учебник СПО» основана в 2023 году. Карп, Александр Поэлевич. К26 Математика : базовый уровень : учебное пособие для образовательных организаций, реализующих образовательные программы среднего профессионального образования : в 2 частях / А. П. Карп, А. Л. Вернер. — Москва : Просвещение, 2024. — (Учебник СПО). ISBN 978-5-09-108509-9. Ч. 1. — 319, [1] с. : ил. ISBN 978-5-09-108510-5. Данное учебное пособие разработано в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта среднего общего образования в редакции Приказа Министерства просвещения Российской Федерации № 732 от 12.08.2022 г., требованиями Федеральной образовательной программы среднего общего образования, утверждённой Приказом Министерства просвещения Российской Федерации № 371 от 18.05.2023 г., и предназначено для реализации образовательных программ среднего профессионального образования, реализуемых на базе основного общего образования или интегрированных с образовательными программами основного общего и среднего общего образования, при освоении учебных предметов, курсов, дисциплин (модулей) основного общего образования и (или) среднего общего образования. Особенностью учебного пособия является отсутствие традиционного деления на алгебру и начала математического анализа и геометрию. Курс построен так, чтобы подчёркивать единство подходов и методов и не допускать «ликвидации» одного из предметов на длительный срок. Материал учебного пособия разделён на три уровня: обязательный для всех учащихся, более сложный и наиболее трудный. УДК 377.167.1:51+51(075.32) ББК 22.1я723 ISBN 978-5-09-108510-5 (ч. 1) ISBN 978-5-09-108509-9 © АО «Издательство «Просвещение», 2024 © Художественное оформление. АО «Издательство «Просвещение», 2024 Все права защищены З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
Дорогие друзья! Перед вами учебное пособие по математике, в котором есть и разделы, посвящённые алгебре и началам математического анализа, и разделы, в которых речь идёт преимущественно о геометрии или дискретной математике. Немалое внимание при этом уделяется связям между разными разделами курса. Математика давно стала нужной всем — без неё ни в политических или экономических новостях не разберёшься, ни лучшее решение по собственному семейному бюджету не примешь. Это учебное пособие написано для того, чтобы дать возможность лучше познакомиться с математикой, обходя слишком трудоёмкие детали. Учебное пособие соответствует базовому уровню требований, но может использоваться в различных условиях, так как оно построено таким образом, чтобы дать материал и тем, кто хочет ограничиться изучением основ курса, и тем, кто хочет узнать о математике больше. Кроме текста для изучения на занятиях и домашней работы, учебное пособие содержит рубрику «Прочитайте сами», адресованную тем из вас, кто интересуется историей науки. В конце каждого раздела приводится рубрика «Подведём итоги», в которой содержатся вопросы по изученному материалу, задания для самопроверки «Проверьте себя!» и «Упражнения к разделу». При этом авторы не ставили цель дать большое количество заданий — их можно легко найти в существующих пособиях. ВВЕДЕНИЕ З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
РАБОТАЕМ С УЧЕБНыМ пОСОБиЕМ Кроме обязательного для всех учащихся материала, в основной текст учебного пособия добавлен материал ещё двух уровней: более сложный материал; наиболее трудный материал; звёздочкой отмечены также пункты и параграфы, которые вы можете изучать самостоятельно. Основной текст сопровождают рубрики, которые помогут вам глубже понять материал и расширить свой кругозор: «ВНИМАНИЕ!» Важные понятия и утверждения, которые желательно запомнить. «В ФОКУСЕ». Важная деталь, на которую следует обратить внимание. «МАтЕМАтИчЕСКИй блОКНОт». Небольшие фрагменты текста, содержащие некоторую дополнительную информацию или историческую справку. «СПРАВКА». Полезный справочный материал из курса математики. «ЗАПИСЫВАЕМ РЕШЕНИЕ». Некоторые примеры оформления решений. Упражнения, которыми заканчивается каждый пункт учебного пособия, также разделены на три уровня: номера обязательных упражнений для выполнения всеми учащимися; номера более сложных упражнений; номера сравнительно трудных упражнений, не обязательных для выполнения всеми учащимися. * 12 15 16* З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
РАзДЕл 1 матЕматИка Вокруг Нас ЗНаЕтЕ ЛИ ВЫ, Что... Галилео Галилей говорил: «Математика – это язык, на котором написана книга природы». ПРОСтЕйШИЕ МАтЕМАтИчЕСКИЕ МОдЕлИ ВАжНЕйШИЕ ПРОСтРАНСтВЕННЫЕ ФИГУРЫ АКСИОМЫ, ЗАКОНЫ, ПРАВИлА прочитайте сами подведём итоги Упражнения к разделу З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
1 ВЫ уЗ На Е тЕ что обычно имеют в виду, говоря о «правильности». что такое математическое моделирование. Об определениях и свойствах некоторых преобразований плоскости и пространства. В результате изучения материала этого пункта вы повторите понятия «параллельный перенос», «осевая симметрия» и научитесь применять их при описании свойств некоторых «нематематических» объектов. ЧТО ТАкОЕ МАТЕМАТиЧЕСкАя МОДЕль Ещё когда вы не ходили в школу, вы, конечно, умели отличать стихи от обычной речи и, если в шутку кто-то заменял одно слово в стихотворении другим, неподходящим, наверное, сразу замечали это и кричали: «Нескладно!» Но что такое «складно»? В своё время на занятиях по литературе вас учи- ли определять стихотворный размер. Например, стихотворение М. Ю. Лермонтова «Тучи» написано четырёхстопным дактилем — стихотворную строчку в нём можно разбить на четыре группы (стопы), по три слога в каждой: первый слог — ударный, а второй и тре- тий — безударные. Схематично четыре строчки, написанные четырёхстопным дактилем, изображают обычно так, как показано на рисунке 1.1. Дуги в этой так называе мой метрической схеме соответствуют слогам, тройки дуг — стопам. (Конечно, метрическая схема — это лишь «каркас» стихотворения.) Если вместо слова «тучки» в первой строчке стихотворения «Тучи» мы поставим, скажем, слово «облака», возрастёт число слогов в строке, да и порядок чередования ударений нарушится. Строчка «нарушительница» сразу видна (рис. 1.2). Строчки в метрической схеме в идеале одинаковые, и ударения в них чередуются одинаково. На нашем рисунке это видно: если, например, третью строчку наложить на первую, то строки полностью совпадут. Как сказали бы математики, первая и третья строки могут быть совмещены параллельным переносом. И стопы в строке тоже могут быть совмещены параллельными переносами — только уже не вверх или вниз, а вправо или влево. Нарушение этого единообразия мы и имеем в виду, когда говорим: «Нескладно!» Пример, разобранный нами, как будто совсем далёк от математики, но всё же и здесь для неё нашлось место: отвечая на поставленный вопрос: «Что такое „складно“?», мы вместо самого стихотворения стали изучать упрощённую ситуацию — схему, при работе с которой можно воспользоваться математическими методами скЛаДНо, праВИЛьНо, красИВо Одним из создателей современного стиховедения был писатель борис Николаевич бугаев, известный под псевдонимом Андрей белый (1880— 1934). Примечательно, что его отцом был один из крупнейших математиков того времени, да и сам он закончил физико-математический факультет Московского университета. Рис. 1.1 Рис. 1.2 простЕйшИЕ матЕматИЧЕскИЕ моДЕЛИ З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
и математической терминологией. Мы, как говорят в таких случаях, создали математическую модель. Математические модели в жизни приходится создавать очень часто, иногда мы это делаем, даже не отдавая себе в этом отчёта. В первом разделе мы расскажем о некоторых наиболее простых и часто встречающихся моделях, а в этом пункте продолжим разговор о понятиях «правильно» и «красиво». пАРАллЕльНый пЕРЕНОС Нам уже пригодилось понятие параллельный перенос. Скажем о нём подробнее: пусть даны две различные точки A и B. Куда должна перейти произвольная точка C, не лежащая на пря- мой AB, при параллельном переносе на AB? (Говоря так, мы имеем в виду перенос на длину отрезка AB в направлении от A к B.) Это легко нарисовать: достаточно построить такую точку D, чтобы отрезки CD и AB были параллельны (поэтому и параллельный перенос!), равны по длине и чтобы направления от A к B и от C к D были одинаковы (рис. 1.3, а). Глядя на рисунок 1.3, б, объясните сами, как построить такую точку, в которую переходит точка C в случае, когда она лежит на прямой AB. Про оба эти случая говорят, что точка С переходит в такую точку D, что отрезки CD и AB равны по длине и направления от точки A к точке B и от точки C к точке D совпадают. Теперь нам легко построить, например, отрезок, в который переходит отрезок NM при этом же параллельном переносе (как сделано на рисунке 1.3, в). Для этого достаточно построить точки, в которые переходят точки N и M, и соединить их отрезком. Можно понять (хотя иногда это и не так просто), во что переходят и более сложные фигуры. ОСЕВАя СиММЕТРия Когда мы смотрим на улицу Зодчего Росси в Санкт-Петербурге (рис. 1.6), то видим, что дома состоят из одинаковых блоков — два соседних блока дома на одной стороне улицы можно совместить параллельным переносом. Но «правильность» улицы этим не исчерпывается: левая и правая её стороны симметричны. Слово «симметричность» мы очень часто употребляем в обычной жизни. Напомним его значение. Пусть точка A не лежит на прямой a. Говорят, что точка B симметрична точке A относительно прямой a, если прямая a перпендикулярна отрезку AB и проходит через его середину (рис. 1.4). Точка, лежащая на прямой, считается симметричной сама себе относительно этой прямой. Рис. 1.4 Рис. 1.3 З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
Говорят, что фигура симметрична относительно прямой a, если вместе с каждой своей точкой она содержит и точку, симметричную ей относительно прямой a. Прямая a называется осью симметрии фигуры. На рисунке 1.5 изображено несколько фигур, имеющих оси симметрии, и эти оси. Разумеется, далеко не все фигуры имеют оси симметрии, — конечно, не про все фигуры можно сказать, что они симметричны (вы легко сами приведёте примеры несимметричных фигур). Фигура может иметь и несколько осей симметрии. Чем их больше, тем «правильнее» кажется нам фигура. Например, равносторонний треугольник «правильнее» равнобедренного — у него не одна ось симметрии, а три, а окружность «правильнее» равностороннего треугольника — у неё бесконечно много осей симметрии. зЕРкАльНАя СиММЕТРия На рисунке 1.6 изображён план улицы Зодчего Росси в Санкт-Петербурге: видно, что у плана есть ось симметрии (а сами здания на противоположных сторонах этой улицы зеркально симметричны относительно вертикальной плоскости, идущей по оси симметрии её мостовой, — попробуйте представить себе эту плоскость, позднее мы ещё поговорим об интуитивно ясном понятии зеркальной симметрии). «Одинаковость», «правильность» этой знаменитой улицы хорошо объясняются и описываются с помощью математических понятий — параллельного переноса и симметрии. Полезны эти понятия и в других ситуациях. Воп ро сЫ И За Да НИЯ Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой? Подберите примеры зданий в вашем городе, имеющих в плане ось симметрии. Подберите примеры животных и растений, обладающих симметрией. Приведите пример фигуры: а) не имеющей ни одной оси симметрии; б) имеющей ровно одну ось симметрии; в) имеющей ровно две оси симметрии; г) имеющей ровно три оси симметрии; д) имеющей ровно четыре оси симметрии; е) имеющей бесконечно много осей симметрии. Сколько осей симметрии имеет: а) треугольник с углами 100°, 50° и 30°; б) треугольник с углами 100°, 40° и 40°; в) прямоугольник, отличный от квадрата; г) квадрат; д) неравнобедренная трапеция; е) точка; ж) плоскость? Рис. 1.5 Рис. 1.6 З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
упражНЕНИЯ Изобразите прямую a и: а) точку A на ней; б) точку B, не лежащую на ней; в) отрезок AC на ней; г) отрезок BD, не имеющий с ней общих точек; д) отрезок MN, пересекающийся с прямой a в точке A; е) окружность с центром в точке A; ж) окружность, не имеющую с прямой a общих точек; з) окружность с центром, не лежащим на прямой a, которая пересекает прямую a в двух точках; и) треугольник ABC; к) треугольник ABD; л) треугольник BDM; м) треугольник BDN; н) четырёхугольник с вершинами A, B, D, M. Изобразите фигуры, симметричные каждой из этих фигур относительно прямой a. Изобразите отрезок KL и: а) точку A, не лежащую на прямой KL; б) отрезок AB, параллельный KL; в) отрезок AC, не параллельный KL; г) произвольную окружность; д) треугольник ABC; е) четырёхугольник ABCD. Изобразите фигуры, в которые перейдёт каждая из этих фигур при параллельном переносе на KL. Составьте метрическую схему четверостишия, написанного трёхстопным амфибрахием (например, из стихотворения М. Ю. Лермонтова «Воздушный корабль»). Какие параллельные переносы вам могут пригодиться для её описания? Укажите какой-либо параллельный перенос, при котором переходит сама в себя: а) плоскость; б) прямая; в) полоса, задаваемая на координатной плоскости неравенством 1 < x < 2; г) совокупность прямых, задаваемых уравнениями x = 0, x = ± 1, x = ± 2, x = ± 3. Пусть фигура на координатной плоскости содержит отрезок, соединяющий точки A (0; 1) и B (1; 0), и имеет две оси симметрии x = 0 и y = 0. Нарисуйте какую-нибудь такую фигуру. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC (угол C прямой). Выполните последовательно задания: а) постройте фигуру F, в которую он переходит при параллельном переносе на CA; б) постройте фигуру, в которую переходит фигура, состоящая из треугольника ABC и фигуры F, при параллельном переносе на CB; в) представьте себе (нарисуйте) такую фигуру, которая переходит сама в себя при параллельных переносах на CA и CB и содержит треугольник ABC. Пусть фигура на координатной плоскости содержит точку A (0; 1) и имеет три оси симметрии x = 0, y = 0, y = x. Нарисуйте несколько таких фигур. У каждой ли из них есть четвёртая ось симметрии? Как вы считаете, все ли такие фигуры имеют четвёртую ось симметрии? Даны две параллельные прямые m и n и отрезок AB с концами на этих прямых. Выполните последовательно задания: а) нарисуйте отрезок, симметричный отрезку AB относительно прямой m; б) нарисуйте фигуру, симметричную относительно прямой n фигуре, состоящей из отрезка AB и построенного отрезка; в) представьте себе (нарисуйте) какую-нибудь фигуру, симметричную относительно прямых m и n и содержащую отрезок AB. Имеет ли она ещё оси симметрии? Переходит ли она сама в себя при каком-либо параллельном переносе? 1 2 3 4 5 6 7* 8* З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
2* ВЫ уЗ На Е тЕ О моделировании рассуждений. Какие утверждения называются равносильными. Как используется равносильность при решении уравнений. Математические модели помогают нам разобраться и в том, как мы рассуждаем и как используем в рассуждениях равносильность и неравносильность утверждений. пРиМЕРы РАССУжДЕНий Рассмотрим два примера. Пример 1. Известно, что если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Известно также, что всякий прямоугольник имеет по крайней мере две оси симметрии. Отсюда сделаем вывод: если в параллелограмме диагонали равны, то у него по крайней мере две оси симметрии. Пример 2. Известно, что если Вася пойдёт играть в футбол, то он не подготовится к контрольной работе по математике. Известно также, что если Вася не подготовится к контрольной работе по математике, то он получит за неё двойку. Сделаем вывод: если Вася пойдёт играть в футбол, то он получит двойку за контрольную работу по математике. Такие рассуждения, как в первом примере, регулярно проводятся на уроках математики; рассуждать так, как во втором примере, каждому из нас приходится гораздо чаще. Но если отвлечься от конкретного содержания этих рассуждений, то увидим, что они абсолютно одинаковы. Составим модели этих рассуждений. МОДЕли РАССУжДЕНий Обозначим в первом случае буквой A утверждение «в параллело грамме диагонали равны», буквой B утверждение «параллелограмм является прямоугольником», буквой C утверждение «прямоугольник имеет по крайней мере две оси симметрии». Во втором случае обозначим буквой A утверждение «Вася пойдёт играть в футбол», буквой B утверждение «Вася не подготовится к контрольной работе», буквой C утверждение «Вася получит двойку за контрольную работу». Теперь видно, что в обоих случаях рассуждения построены следующим образом: известно, что из A следует B; известно также, что из B следует C. Делаем вывод: из A следует C. Вместо слова «следует» ставят знак ⇒, с помощью которого приведённые рассуждения записывают так: A B B C A C ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ( ). как мЫ рассужДаЕм Науку о правильном построении рассуждений, да и вообще о правильном ходе мышления называют логикой. Этой науке уделяли огромное внимание самые выдающиеся философы, например Аристотель (384 до н. э.—322 до н. э.) и Гегель (1770—1831). Правда, то, чем занимаются философы, сильно отличается от математической логики. З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .