Экономико-математическое и эконометрическое моделирование: Компьютерный практикум

ЭКОНОМИКОМАТЕМАТИЧЕСКОЕ 
И ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЕ 
МОДЕЛИРОВАНИЕ

КОМПЬЮТЕРНЫЙ ПРАКТИКУМ

Москва 
ИНФРА-М
2024

В. Ф. КОЛПАКОВ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано в качестве учебного пособия  
для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по направлениям подготовки 38.03.01 «Экономика»,
38.03.02 «Менеджмент» (квалификация (степень) «бакалавр»)

УДК  519.86(075.8)
ББК 65в6я73
 
К61

Колпаков В. Ф.
Экономико-математическое и эконометрическое моделирование: 
компьютерный практикум : учебное пособие / В. Ф. Колпаков. — 
Москва : ИНФРА-М, 2024. — 396 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — www.dx.doi.org / 10.12737 / 24417.

ISBN 978-5-16-010967-1 (print)
ISBN 978-5-16-105558-8 (online)
В учебном пособии представлены математические методы исследования и модели экономических объектов и процессов, предназначенные для 
анализа и прогнозирования экономических факторов и выработки управляющих решений как в детерминированных условиях, так и в условиях 
некоторой неопределенности, а также в динамике. Каждая глава книги 
состоит из теоретических основ, нескольких подробно разобранных примеров и задач для самостоятельной работы. В качестве инструментальных 
средств моделирования используются стандартная офисная программа 
Еxcel и система Mathcad. Учебное пособие ориентировано на самостоятельное выполнение студентами индивидуальных заданий по дисциплинам «Экономико-математические методы» и «Эконометрика».
Соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования последнего поколения.
Издание предназначено для студентов и аспирантов, изучающих экономические дисциплины. Оно также будет полезно при выполнении ими 
выпускных квалификационных работ. Книга пригодится и практическим 
работникам, занимающимся анализом текущего финансово-экономического состояния и будущего развития фирм и предприятий.

УДК 519.86(075.8)
ББК 65в6я73

К61

А в т о р:
Колпаков Василий Федорович, кандидат технических наук, доцент 
Московского государственного психолого-педагогического университета (МГППУ)

Р е ц е н з е н т ы:
Гретчено А.И., доктор экономических наук, заслуженный деятель науки Российской Федерации, профессор Российского экономического 
университета им. Г.В. Плеханова;
Яшин А.Д., доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики Московского государственного психолого-педагогического университета (МГППУ)

ISBN 978-5-16-010967-1 (print)
ISBN 978-5-16-105558-8 (online)

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

© Колпаков В. Ф., 2017

Предисловие

Данное учебное пособие посвящено основам моделирования 

экономических процессов, протекающих в условиях как определенности, так и неопределенности, и предназначено для развития 
у студентов практических навыков решения конкретных экономических и финансовых задач с использованием компьютерных 
технологий. С учетом экономико-управленческой направленности 
обучения студентов особое внимание в пособии уделяется не углубленному математическому обоснованию методов и алгоритмов, 
а достаточно строгому изложению материала с рассмотрением вопросов их возможного применения при обосновании наиболее эффективных экономических и управленческих решений.

Отличительной особенностью пособия является его ориентация 

на развитие у студентов самостоятельного решения задач моделирования с использованием компьютерных технологий. В качестве 
основного средства моделирования используется наиболее доступный пакет прикладных программ (ППП) Excel. Однако не все 
методы оптимизации и корреляционно-регрессионного анализа 
можно реализовать с помощью Мicrosoft Excel, поэтому для таких задач предлагается использовать специализированный пакет 
Mathcad. Так как при подготовке студентов по многим экономическим специальностям этот пакет не изучается, для удобства его 
освоения и использования в учебном пособии представлено краткое описание языка Mathcad (приложение 1).

Учебное пособие включает 10 глав, сгруппированных в два раздела.
В разделе I «Оптимизационные методы и модели» подробно рас
смотрена технология решения общей задачи линейного программирования и специальных задач (транспортная задача, задача о назначениях, задача целочисленного программирования) с помощью 
аналитических методов и надстройки Excel Поиск решения. При 
анализе результатов решения задач линейного программирования 
акцент сделан на использовании двойственных оценок. Особое 
место в этом разделе занимают задачи с несколькими целевыми 
функциями и задачи оптимального управления с использованием 
метода динамического программирования Беллмана. При решении 
таких задач возникают трудности, связанные с многоцикличностью 
алгоритма вычисления и отсутствием стандартных компьютерных 
процедур. Поэтому для их решения предлагается использование 
программы в среде Mathcad. Примеры таких программ разработаны 
автором и представлены в пособии.

Раздел II «Эконометрическое моделирование» посвящен осно
вам эконометрического моделирования. Под эконометрическим 
моделированием понимается процесс построения, изучения и применения экономических моделей в условиях неопределенности.

Здесь рассматриваются вопросы линейного регрессионного мо
делирования (парная и множественная регрессия), нелинейные 
регрессионные модели и модели временных рядов. При построении модели студенты должны научиться давать статистическую 
оценку значимости искажающих эффектов — гетероскедастичности, мультиколлинеарности, автокорреляции и по возможности 
осуществлять их коррекцию. Этим вопросам посвящена глава 8 
«Нарушение предпосылок МНК и их корректировка».

В отличие от традиционных задач эконометрики в этом разделе 

рассматриваются вопросы моделирования динамических зависимостей экономических факторов (гл. 10). Представлена методика 
моделирования динамических систем в непрерывном времени 
с помощью дифференциальных уравнений и при необходимости — 
их преобразования к дискретному виду: моделям с распределенным 
лагом и авторегрессионным моделям. В качестве основных методов 
синтеза моделей такого рода используется метод идентификации, 
базирующийся на известных соотношениях дискретного фильтра 
Калмана, и аппарат весовых функций. Инструментом компьютерного моделирования является система Mathcad.

Все главы пособия имеют идентичную структуру:
— теоретические сведения, включающие основные понятия, 

определения, формулы;

— примеры реализации типовых задач на компьютере с по
мощью ППП Excel;

— задания, включающие набор задач в нескольких вариантах, пред
лагаемые студентам для самостоятельного решения на компьютере;

— контрольные вопросы, охватывающие основные положе
ния теоретического материала, для подготовки студентов к защите 
своих индивидуальных заданий.

Примеры решения задач включают фрагмент или полный текст 

рабочих документов Excel или Mathcad, снабженных комментариями и краткими указаниями, помогающими реализовать задачи 
на компьютере. Решения, полученные с помощью компьютерных 
технологий, представлены в виде рисунков и документов.

Для повышения эффективности изучения дисциплин «Эко но
ми ко-математические методы» и «Эконометрика» рекомендуется 
использовать данное пособие для выполнения студентами индивидуальных заданий. Варианты заданий представлены в каждой главе. 
Итогом курса является их защита.

Раздел I 

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ 
МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

Глава 1  

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО 

ПРОГРАММИРОВАНИЯ. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

1.1. ПОНЯТИЕ ОБЩЕЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО 

ПРОГРАММИРОВАНИЯ. ПРИМЕРЫ

Управление и планирование являются наиболее сложными 

функциями в работе предприятий, фирм, служб. Для принятия обоснованного решения необходимо иметь и обрабатывать 
большое количество информации. Принятие ответственных решений, как правило, связано с большими материальными ценностями.

В настоящее время недостаточно знать путь, ведущий к до
стижению цели. Необходимо из всех возможных путей выбрать 
в некотором смысле наиболее оптимальный. Оптимизация — это 
выбор наилучшего варианта из множества возможных. Если критерий выбора известен и вариантов немного, то решение может быть 
найдено путем перебора и сравнения всех вариантов. Однако часто бывает, что число возможных вариантов настолько велико, что 
полный перебор практически невозможен. В таких случаях приходится формулировать задачу на языке математики и применять 
специальные методы поиска оптимального решения, т.е. методы 
оптимизации.

Применение современной компьютерной техники позволило 

облегчить решение задач экономического планирования и управления и сделать его более эффективным. Решение этих задач базируется на использовании математических моделей экономических 
процессов, отражающих реальные процессы через математические 
соотношения. При этом составляются уравнения или неравенства, 
которые связывают различные показатели (переменные) исследуемого процесса, образуя систему ограничений. Варьируя значения 
переменных модели, можно получить оптимальный показатель ее 
функционирования. Такие задачи названы задачами математического программирования.

В общем случае для функции n независимых переменных y = f (x1, 

x2, …, xn) задачу математического программирования записывают 
следующим образом:

 
f x x
xn
( ,
,
,
)
max(min)
1
2 …
→
 
(1.1)

при ограничениях

 

ϕ

ϕ

i
n
i

i
n
i

x x
x
b
i
s

x x
x
b
i
s
m

(
)

(
)

,
,
,
( ) ,
, ,

,
,
,
,
,
,

1
2

1
2

1

1

…
≤ ≥
=

…
=
= +






 
(1.2)

 
x
j
n
j ≥
=
0
1
,
, ,  
(1.3)

где f (x1, x2, …, xn) — целевая функция; xj, j
=1, n
 — решения задачи; 

(1.2) — ограничения задачи математического программирования; 
(1.3) — условия, учитывающие то, что экономические переменные 
в таких задачах (количество выпускаемой продукции, трудовые затраты и т.д.) не могут быть отрицательными.

Множество всех решений задачи математического программи
рования называется допустимым, если оно удовлетворяет ограничениям (1.2) и (1.3).

Из всех допустимых решений выбирается оптимальное 

(
,
,
,
),
x
x
xn
1
0
2
0
0
…
 обеспечивающее экстремум целевой функции (1.1).

Если целевая функция f (x1, x2, …, xn) и ограничения ϕi(x1, x2, …, 

xn) имеют линейный вид, то задача называется задачей линейного 
программирования (ЗЛП). В пособии будут рассмотрены только такие задачи.

Среди ЗЛП особое место занимают четыре типа моделей:
1) модель общей задачи;
2) модель транспортной задачи;
3) модель распределенной задачи;
4) модель ассортиментной задачи.
В этом параграфе рассмотрим модель общей задачи линейного 

программирования.

Целевая функция:

 
c x
j
j
j

n

=∑
→

1
max(min).  
(1.4)

Ограничения:

 

a x
b
i
s

a x
b
i
s
m

ij
j
j

n

i

ij
j
j

n

i

=

=

∑

∑

≤ ≥
=

=
= +










1

1

1

1

( ) ,
, ,

,
,
,
 
(1.5)

 
x
j
n
j ≥
=
0
1
,
, ,  
(1.6)

где aij, bi и cj — заданные постоянные величины.

Если система ограничений (1.5) состоит из одних неравенств, 

то задача линейного программирования называется стандартной; 
если ограничения — только равенства, то задача называется канонической.

1.1.1. Примеры математических моделей простейших 

экономических задач

Задача об оптимальном использовании ресурсов. С методической 

точки зрения целесообразно рассмотреть задачи на конкретных 
примерах, а затем сформировать общий вид модели.

Пример 1.1. Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 

используют четыре вида ресурсов S1, S2, S3, S4. Ресурсы, затрачиваемые на изготовление единицы продукции, представлены 
в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Вид ресурса
Запас ресурса

Число единиц ресурса, затрачиваемое 
на изготовление единицы продукции

Р1
Р2

S1
18
1
3

S2
16
2
1

S3
5
 — 
1

S4
21
3
 — 

Прибыли от реализации единицы продукции Р1 и Р2 соответ
ственно равны 2 и 3 условным единицам (у.е.).

Необходимо составить такой план производства, при котором 

прибыль будет максимальной.

Введем следующие обозначения: х1, х2 — число единиц продук
ции Р1 и Р2, запланированных к производству. Для их изготовления 
потребуется x1 + 3x2 единиц ресурса S1, 2x1 + x2 единиц ресурса S2 
и т.д. Так как запасы ресурсов ограничены, получим систему ограничений задачи:

x
x

x
x

x

x

1
2

1
2

2

1

3
18

2
16

5

3
21

+
≤

+
≤

≤

≤










,

,

,

,

x1 2
0
,
≥ .

При этом прибыль должна быть максимальной, т.е. необходимо 

реализовать целевую функцию

f X
x
x
(
)
max.
=
+
→
2
3
1
2

Эту задачу легко обобщить на n видов продукции и m ресурсов. 

Тогда план выпуска продукции X = (x1, x2, …, xn) будет удовлетворять системе неравенств

 

a x
a x
a x
b

a x
a x
a x
b

n
n

n
n

11
1
12
2
1
1

21
1
22
2
2
2

+
+…+
≤

+
+…+
≤

………………………………

,

,

…
+
+…+
≤








a x
a
x
a
x
b
m
m
mn
n
m
1
1
2
2
,

 
(1.7)

x
j
n
j ≥
=
0
1
,
, .

При этом должна достигаться следующая цель:

 
f X
c x
c x
c x
n
n
(
)
max.
=
+
+…+
→
1
1
2
2
 
(1.8)

В (1.7) и (1.8) a i
m j
n
ij(
)
,
,
,
=
=
1
1
 — число единиц ресурса Si, за
трачиваемое на изготовление единицы продукции Рj; b i
m
i(
)
=1,
 — 

запасы ресурса Si; c
j
n
j(
=1, )
 — прибыль от реализации единицы 

продукции Рj.

Задача о диете.
Пример 1.2. Имеется два вида продуктов — I и II, содержащие 

питательные вещества S1, S2, S3. Содержание питательных веществ 
в единице каждого вида продукта и необходимый суточный минимум питательных веществ приведены в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Питательное 

вещество

Необходимый минимум 
питательного вещества

Число единиц питательного 
вещества в единице продукта

I
II

S1
9
3
1

S2
8
1
2

S3
12
1
6

Стоимость единицы продуктов I и II соответственно равна 

4 и 6 у.е.

Необходимо составить дневной рацион, имеющий минималь
ную стоимость и содержащий не менее установленной нормы каждого питательного вещества.

Введем следующие обозначения: х1, х2 — количество единиц 

продуктов I и II, входящих в дневной рацион. По аналогии с предыдущей задачей ограничения будут иметь вид

3
9

2
8

6
12

1
2

1
2

1
2

x
x

x
x

x
x

+
≥

+
≥

+
≥







,

,

,

x1 2
0
,
.
≥

Целевая функция

f X
x
x
(
)
min.
=
+
→
4
6
1
2

В общем виде модель оптимального дневного рациона будет 

иметь целевую функцию

 
f X
c x
c x
c x
n
n
(
)
min
=
+
+…+
→
1
1
2
2
 
(1.9)

при ограничениях

 

a x
a x
a x
b

a x
a x
a x
b

n
n

n
n

11
1
12
2
1
1

21
1
22
2
2
2

+
+…+
≥

+
+…+
≥

………………………………

,

,

…
+
+…+
≥








a x
a
x
a
x
b
m
m
mn
n
m
1
1
2
2
,

 
(1.10)

x
j
n
j ≥
=
0
1
,
, ,

где x
j
n
j(
=1, )
 — число единиц продукта j-го вида; b i
m
i(
)
=1,
 — не
обходимый минимум содержания в рационе вещества Si; 
a i
m j
n
ij(
)
,
,
,
=
=
1
1
 — число единиц питательного вещества Si в еди
нице j-го продукта; c
j
n
j(
=1, )
 — стоимость единицы j-го продукта.

В рассмотренных моделях ограничения имеют стандартный (не
равенства) вид. Однако в большинстве методов решения ЗЛП предполагается, что ограничения должны иметь канонический вид. Для 
перевода стандартных ограничений в канонические в левую часть 
неравенств добавляются вспомогательные переменные, выравнивающие левые и правые части.

Если исходное ограничение выглядит так

a x
a x
a x
b
n
n
1
1
2
2
+
+…+
≤ ,

то его канонический аналог будет иметь вид

a x
a x
a x
x
b
n
n
n
1
1
2
2
1
+
+…+
+
+ =
,

где xn+1 — вспомогательная переменная.