Высшая математика для экономистов: сборник задач

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ - БАКАЛАВРИАТ

серия основана в 1 996 г.





                ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ СБОРНИК ЗАДАЧ





Аналитическая геометрия • Линейная алгебра Математический анализ • Теория вероятностей Математическая статистика Линейное программирование



УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

3-е издание, исправленное



Рекомендовано
                      Учебно-методическим объединением вузов России по образованию в области экономики и экономической теории в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 38.03.01 «Экономика» и экономическим специальностям




znanium.com электронно-библиотечная система
Москва ИНФРА-М 2024

УДК 51-7(075.8)
ББК 22.1я73

     В93



     Коллектив авторов:
        Бобрик Г.И., Гринцевичюс Р.К., Матвеев В.И., Рудык Б.М., Сагитов Р.В., Смагина О.К., Шершнев В.Г.


     Рецензенты:
        Татарников О.В., доктор технических наук, профессор Московского государственного технического университета имени Н.Э. Баумана;
        Кравчук С.П., кандидат физико-математических наук, доцент Московского государственного института электронного машиностроения



В93 Высшая математика для экономистов: сборник задач : учебное пособие / Г.И. Бобрик, Р.К. Гринцевичюс, В.И. Матвеев [и др.]. — 3-е изд., испр. — Москва : ИНФРА-М, 2024. — 539 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/5526.


          ISBN 978-5-16-010074-6 (print)
          ISBN 978-5-16-101789-0 (online)

          В соответствии с учебной программой подготовки экономистов в сборник включены задачи по основным разделам общего курса высшей математики: аналитическая геометрия, линейная алгебра, математический анализ, теория вероятностей, математическая статистика, линейное программирование. Специально выделен раздел, посвященный применению аналитической геометрии и математического анализа в экономике.
          Во всех разделах приведены краткие теоретические сведения, ряд задач снабжен решениями. Задачник содержит типовые практикумы с контрольными тестами.
          Предназначен для студентов экономических специальностей.


УДК 51-7(075.8)
ББК 22.1я73

ISBN 978-5-16-010074-6 (print)
ISBN 978-5-16-101789-0 (online)

© Коллектив авторов, 2015

ПРЕДИСЛОВИЕ




   Переход в новых образовательных стандартах к компетент-ностной парадигме вызвал необходимость корректировки как учебных программ экономического образования, так и учебной литературы для обеспечения учебного процесса по этим программам. Курс математики, являясь фундаментальным курсом, отнесен к базовым курсам образовательной программы для всех экономических направлений профессиональной подготовки.
   При подготовке задачника к переизданию авторы стремились, с одной стороны, привести материал в соответствие с требованиями новых стандартов — развитие навыков профессиональной деятельности через математическую деятельность профессиональной направленности, а с другой стороны, — выдержать уровень фундаментальной математической подготовки экономистов, связывая содержание примеров и упражнений с соответствующими разделами учебной программы курса математики.
   Учебные материалы сборника задач по содержанию тесно связаны с учебником по общему курсу высшей математики для экономистов, выпущенным издательством «ИНФРА-М», и содержат задачи и упражнения по линейной алгебре, математическому анализу, теории вероятности и математической статистике. Кроме того, в задачнике рассмотрены задачи линейного программирования, решение которых помогут учащимся ознакомиться с математическими методами оптимизации и овладеть навыками использования их при принятии оптимальных управленческих решений в экономике.
   Каждый раздел сборника содержит краткое изложение теоретического материала и подробное решение типовых примеров и задач, ответы к примерам и упражнениям.
   Линейная алгебра является базовой дисциплиной для разделов, содержащих задания по математическому анализу, теории вероятностей и математической статистике, а также для заданий по курсу линейного программирования. Этот раздел содержит задания по теории матриц и определителей, теории систем векторов и векторных пространств, методы решения систем линейных уравнений.
   Раздел математического анализа содержит задачи и упражнения соответствующие в полном объеме программе курса. В параграфе данного раздела, посвященного применению математи

3

ки в экономике, студент приобретает умения и совершенствует навыки использования соответствующих математических положений в экономической практике.
   Разделы, содержащие задачи и упражнения по теории вероятностей и математической статистике, обеспечивают в первую очередь программу математической подготовки студентов общеэкономических направлений, однако приведенные учебные материалы могут быть успешно использованы при изучении курса высшей математики и студентами, обучающимися на других направлениях профессиональной подготовки нематематического профиля.
   В последние годы математическое программирование в своем развитии преобразовалось в целый ряд самостоятельных математических курсов, таких как теория игр, программирование на сетях, динамическое программирование и пр. В разделе «Линейное программирование» рассмотрены оптимизационные задачи и упражнения в линейной постановке, описывающие довольно широкий класс экономических процессов. Решение приведенных задач и упражнений позволит студентам развить навыки в выборе наилучших управленческих решений, основанных на результатах использования математического моделирования.
   Особенностью содержания данного задачника является введение в каждый раздел математических практикумов, выполняемых и защищаемых студентами после освоения материала раздела. Задачник может быть использован студентами, обучающимися на экономических направлениях профессиональной подготовки вузов и колледжей.
   При подготовке сборника задач и упражнений авторами использовался широкий круг источников, в том числе и авторских. Материалы раздела «Линейная алгебра» написаны профессором Б.М. Рудыком, раздел «Математический анализ» доцентами Г.И. Бобрик, Р.К. Гринцевичусом, Р.В. Сагитовым, О.К. Смагиной, разделы «Теория вероятностей» и «Математическая статистика» профессором В.И. Матвеевым и доцентом Р.В. Сагитовым, раздел «Линейное программирование» — профессором В.Г. Шершневым.
   Коллектив авторов приносит глубокую благодарность заведующему кафедрой высшей математики РЭУ им. Г.В. Плеханова О.В. Татарникову за ценные советы и замечания, способствовавшие улучшению содержания книги.

            линейная алгебра








1.  ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

1.1. Комплексные числа

   Комплексным числом называется выражение вида z — а + bi, где а и b — действительные числа, а i — символ, который называют мнимой единицей. Два комплексных числа z- — а- + b-i и z₂ — а₂ + b%i р а в н ы, если а- — а₂ и b- — b₂.
   Действия над комплексными числами. Правила сложения, умножения и деления комплексных чисел z₁ — а- + b-i и Z2 — а2 + b2i:
   1) z₁ + z₂ — (а- + b-i) + (а2 + b20 — (а- + а2) + (b- + b2)i;
   2) z^Z2 — (а^а2 - b-b) + (а^ + а2b₁)i;
   3)   если z — а + bi, то z — а - bi (комплексное число z называется сопряженным для z);
   ₄) г1 — г1^2 — ⁽а1 ⁺ Ь1¹⁾⁽а2 ⁻ Ь2') — а1 а2 ⁺ Ь1 Ь2 ₊ а2 Ь1⁻а1 Ь2 ■
    ⁾ Z2 ^2 (a^b^a.-b.i)        а²₂ + Ь²₂  а²₂ + Ь²₂ ’
   Тригонометрическая форма комплексного числа. Комплексное число z — а + bi можно изобразить точкой М(а, b) плоскости или ее радиусом-вектором ОМ . Длина этого вектора г — л/а² + b² называется модулем комплексного числа z и обозначается через |z|, т.е. |z| — г, а угол ф между вектором ОМ и осью Ох называется аргументом комплексного числа z и обозначается через arg z, т.е. ф — arg z.
   Тогда
     z — а + bi — ^а² + b² f . а + . Ь i] — r(cos ф + i sin ф), _______          vл/а² + Ь² Та^ГЬ² ²
где г — 7а² + b² , а ф — решение системы

[ гт—г. — cos Ф, д/а² + Ь²
Ь___
./аг'+Ь² — sⁱⁿ ф.

5

   Действия над комплексными числами в тригонометрической форме:
   1) 2122 = Ti(cos Pi + i sin pi^fcos P2 + i sin P2) =
     = r₁r₂[cos(p₁ + p₂) + i sin(p₁ + p₂)];

2)

Z1    Г1⁽cos P1 + ⁱ sin P1⁾ r

——
Z2

r₂( cos p₂ + i si-ⁿ ф₂ )

——
r2

[cos(p₁ - p₂) + i sinftp-j - p₂)];

1

   3)  формула Муавра:
     Ziⁿ = [r(cos p + i sin p)]ⁿ = r“(cos np + i sin np), где n — целое число;

   4)      ⁿJ2 = ^/r(cosр + isinр) = ⁿJr (cos где k = 0, 1, 2, ..., n - 1.

⁽Р+²/гя + isin -—————— 1,

n

n

   Корни квадратных и биквадратных уравнений. Корни квадратного уравнения ах² + Ъх + с = 0 с действительными коэффициентами, у которого D = Ъ² - 4ас < 0, находятся по формулам

*1,2 =

b ± iл/4ас - b² 2——



   Корни биквадратного уравнения х⁴ + рх² + q = 0 с действительными коэффициентами, у которого D = р² - 4q < 0, находятся по формулам

        _ л/2 Jq - р ± i -/2 Jq + Р „ - - J% Jq - Р ± i ^2 Jq + р
   *1,2 ---------2---------, х3> 4    --------2-------- ■




  1.1. Выполнить указанные действия:

   а) (2 + 3г) + (4 - 7г); б) (1 - г)(3 + 2г);   в) l±³-ⁱ.


Решение.
   а) (2 + 3i) + (4 - 7i) = (2 + 4) + (3 - 7)i = 6 - 4i;
   б) (1 - i)(3 + 2i) = 3 + 2i - 3i - 2i² = 3 - i + 2 = 5 - i;

    B)   1————i _ (1—+—3—) — 1—-——— _ 4—+——i ’ 1 + i     (1, + i)(1 -i)       2


= 2 + i.

   1.2. Выполнить действия:
   а) (3 - 4г)г; б) (7 - 2г)(1 - г); в) г³; г) (5 - 3г)²; д) г⁴;
   е) (1 + 2г)³; ж) гга, где п — целое число.


  1.3. Вычислить:


а)

б)

(1 - i л/3 )².

—7=------ ;
а/3 - i


    в⁾


3 - 7i. 2±4i;

г)

(1 + i)⁵ . (1-i)³’

д)

2 + 3 i Т=Г.

i - 1.
—:— ;

  i

6

  1.4.    Заданы ли следующие комплексные числа в тригонометрической форме:
  а) 2fcos       I   6


+ i sin - |;        б)-31 cos - +isin - |;      
6)                  [    4         4)           
f--i + i sin f--Y|; г) 5 f cos - + i sin 2 л f ;
[ 5)          [ 5)            [    °         ° )
- i sin -f ;                                    
° J                 е) cos - + i sin - ;        

   д)4[cos⁻V °
   ж)  sin ° л + i cos ° л.
         4        4

  1.5.    Записать в тригонометрической форме комплексные числа:
  а) -1 + i л/3 ; б) -3 - 4i.


Решение.

а) -1 + iТЗ = д/(—I)² + (7З)²

¹ + 2/³ jl =2 f cos - л + i sin ² л
2 2 J I З З

З
— 5

б) -З - 4i = 7(—З)² + (—4)²

4 Л
5i I = 5(cos

9 + isin 9), где 9 — угол третьей





четверти, косинус которого равен


З
5 ■

   1.6.    Представить в тригонометрической форме следующие комплексные числа:
   а) 2; б)-5; в) 3i;      г)-2i; д) А + i -°- ;
                                         2   72
   е) - А + i -°-; ж) А - i -°-;    з) - -°- - i А ;
       72   72       72    72           72   72
   и) cos ² л - i sin ² л; к) 2 fsin ° л + i cos ° л f ;
         °       °             [    4        4 ⁾
   л) 1 + cos - + i sin - ; м) sin а + (1 - cos a)i.
             °       °

  1.7. Вычислить, используя тригонометрическую форму

комплексного числа:

   а) Г2 fcos ⁻+i sin ⁻ Y| ; б) (1 + i 73)⁵.
        [   5        5)
Решение.
   а) Г- fcosл +i sin ЛТ| = 2¹⁰ fcos А^ + isin A^f = 2¹⁰(cos 2л + isin 2л) = 2¹⁰;
       k 5        5J     V 5        5 J
   б)(1 + i 7З)-⁸ = [2


             4 k^
cosл + i sinлП = 2“e(1 - i7З )■
    З З1

7

   1.8. Вычислить, используя тригонометрическую форму комплексного числа:
         7      7 _
     COS--Л + I sin-л
   а» -Т--------ТТ;    б⁾ ¥? ■
         Э        Э        1 i
     COS — Л — I sin — л

   в) (1 + iТз )(1 + i)(cos 12 - isin 10 ;
   г) <^—h/^L ; д) (2 + i л/12)(1 - i)(cos 11 п + isin 11 п j;
     (ТЗ — i )⁶                   V ¹²            ¹² j
   e) (1 -   ⁱj (2 + a/3)¹²;  ж) (1 - cos5 + isin0 ;
   з) (1 + cos Л + isin Л j .
     \       З      Зj


   1.9. Найти все значения корней: а) z = 7—1; б) z = ^Д .

Решение.

                                       л + 2fe л     л + 2 fe л
    a)  z = у—1 = ycos л + i sin л = cos--2---+ ¹ slⁿ----2--

   fe = 0: z₀ = cosл + I sinл = i;


     fe = 1: z. = cos — + I sin — = -i; ¹                       2            2
                         ,----------------         2 + 2 fe л
     6)    z = л/i =3 I cos л + I sin л = cos----------------       '                2     2           2             3

л
        2 + 2 fe л
+ i sin -------
   fe = 0:  z₀ = cosл + I sinл = — +11;
             ⁰       6       6     2   2

                      5л        5л         3    1
    fe = 1: z. = cos — + isin — = -— + - i;
              ¹        6        6          2    2 ;

    fe = 2:  z, = cos³ п + isin³ п = -i.
              ²       2        2

1.10. Найти все значения корней:

а) V1;
д) ⁴/—4;

б) ³7—8; е) ⁶Т1.

в) 3/2 + 2 i;

г) ⁴/— 8 + 8 i ТЗ ;

  1.11. Доказать, что:
   а) |z₁ + z₂1 = |z₁1 + Iz₂1, если разность аргументов этих чисел равна 2пй, k — целое число;
   б) |z₁ + z₂| = |z₁| - |z₂1, если разность аргументов этих чисел равна п + 2п^ k — целое число;
  в)  расстояние между точками z₁ и z₂ равно | z₁ - z₂1.

8

   1.12.   Построить на плоскости множество всех точек z, для которых:
  a)|z| = 2; б) ar gi=? ; в) |z| < 3; г) \z - z₀| < 5.
                        3

  -1.13. Ре шить уравнения:
  а) х² + 1 = 0; б) х² + 4 = 0; в) ж² - 2х + 10 = 0;
  г) х² - 6х + 18 = 0; д) х⁴ - 6х² + 21 = 0;
  е) х⁴ - 30х² + 289 = 0.


1.2. Определители матриц второго и третьего порядка


  Определителем матрицы второго порядка называется число

йц а₁₂

й21

а22

а11а22 а21 а12
  Определителем матрицы третього порядка называется число

а и а 12 а 13
а21 ¹¹22 а23
а31 а32 а33

— аца₂2а33 ⁺ а31а12а23 ⁺ а21а32а13     а13а22а31 а21а12а33 а22а22а11- (1-1)

   Правая часть формулы1 (1.1) представляет собой алгебраическую сумму шасти слсгаемых, каждое ие которых является произведением трех элементов, рясположенных в разный строкае и разный столбцах матрицы!. Соединив линией элементы каждого произведения, получим! две легко запоминающихси схемы:, которыщ позволяют определито знаки слагаемые й элементы:, входящих а нии сомножителями:
«+»            «-»

#   #   #

  1.14. Вычислить определитель матрицы
12 3
4 5 6
7 8 9

Решение. Используя приведенные выше схемы, получаем

12 3
4 5 6
7 8 9

= 1- 5- 9 + 2- 6- 7 + 4- 8- 3- 7- 5- 3- 4- 2- 9- 8- 6-1 = 0.

9

  Вычислить определители матриц:

1.15. 2 4   .    1.16. 3 5   .          1.17.  2 3 .        
      1 -3             4 10                    5 6          
1.18. 1 i        1.19. х + 1 х - 1 . 1.20.    cos a sin а    
      i 1                X   х +1             sin а - cos а  
      5 2 3             3 1  5                 9 8 7        
1.21. 4 3 2  .   1.22. 10 3  16 .      1.23.   6 5 4 .      
      2 3 1            4 2   6                 3 2 1        
      1 4 3            х а а                  1 1  1        
1.24. 3 2 -  1 . 1.25. ах -  а .       1-26.   1 i -i .     
      5 6 3            а а х                  1 -i i        

1.3. Разложение определителя матрицы по элементам строки и столбца


   Минором Му элемента а^ определителя п-го порядка называется определитель (п - 1)-го порядка, который получается в результате вычеркивания в определителе п-го порядка строки и столбца, содержащих элемент aₜj.
   Алгебраическим дополнением Ац элемента а₍/ называется его минор, умноженный на (-1)'⁺/:
Ац = (-1)г+/Mₜⱼ.

   Каждый определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

а11  а12 ■■■  а1п                         
■ ■■ ■ ■■ ■■■ ■ ■■                        
аП   ai2 ■■■  а-       - аПАП + а/2А/2 + .
              in                          
■ ■■ ■ ■■ ■■■ ■ ■■                        
".,1 ап2 ■■■  апп                         
а11  ■■■ a1j  ■■■ а1п                     
а21  ■■■ a2j  ■■■ а2п  = а1/А1У + а2А2: + 
■ ■■ ■■■ ■■■  ■■■ ■■■                     
ап1  ■■■ anj  ■■■ апп                     

. + а₁пА₁п, где /1.2. ..., п; (1.2)

... + aₙⱼAₙⱼ, где ./1.2. .... п. (1.3)

   Равенства (1.2) и (1.3) называются соответственно разложениями определителя матрицы по элементам i-й строки и /-го столбца. Формулы (1.2)и(1.3) можно использовать для вычисления определителей матриц.

10