Занимательная математика. Дифференциальные уравнения. Манга

Занимательная математика
Дифференциальные уравнения

Манга

О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н А Я  М АН ГА
ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 
УРАВНЕНИЯ

Сато Минору

Художник Адзума Секо

Перевод
С. Л. Плехановой

Москва 
ДМК Пресс, 2018

УДК 519.63
ББК 22.193
 
С21

 
Сато М.
С21 Занимательная математика. Дифференциальные уравнения. Манга / Сато Минору (
автор), Адзума Секо (худ.); пер. с яп. С. Л. Плехановой. — М.: ДМК Пресс, 
2018. — 238 с. : ил. — (Серия «Образовательная манга»). — Доп. тит. л. яп. 

 
ISBN 978-5-97060-659-9

В этой манге интересно и увлекательно рассказано о совсем непростой теме – 
дифференциальных уравнениях.
Читатель вместе со школьницей Мидзуки, второкурсником Нояма Дайчи и Богиней 
чисел узнает, зачем нужны уравнения в обычной жизни, как они помогут запустить 
планер, предсказать погоду, почему остывает кофе и как мир математики 
связан с миром реальных людей и дел.
Простота изложения помогает следить за занимательным сюжетом, суть которого 
в том, что богиня цифр помогла Нояме и Мидзуки понять и полюбить мир чисел.
Вы узнаете о разных способах решения уравнения, про уравнения Бернулли 
и о том, почему на Хоккайдо увеличилась численность оленей эдзо и как это предсказать. 
Оказывается, изменение температуры тела при его охлаждении, вычисление 
скорости ракеты, изменение интенсивности ощущений в зависимости от раздражителя 
и другие явления также описываются похожими дифференциальными 
уравнениями. Разве это не удивительно, что такие разные явления реального мира 
в мире математики подчиняются моделям одного вида? Если бы не было дифференциальных 
уравнений, из-за ветра рушились бы висячие мосты, но инженеры делают 
специальные расчеты колебаний.
Цель книги – заинтересовать школьников, студентов математикой. Она наверняка 
заинтересует любознательных людей, которые подзабыли, что такое дифференциальные 
уравнения.

 
 
УДК 519.63

 
 
ББК 22.193

Manga de Wakaru Bibunhouteishiki (Manga Guide: Differential Equation)
By Minoru Sato (Author), Shouko Azuma (Illustrator)  
and TREND-PRO Co., Ltd. (Producer)
Published by Ohmsha, Ltd.
Russian language edition copyright © 2018 by DMK Press

Все права защищены. Никакая часть этого издания не может быть воспроизведена 
в любой форме или любыми средствами, электронными или механическими, включая 
фотографирование, ксерокопирование или иные средства копирования или сохранения 
информации, без письменного разрешения издательства.

ISBN 978-4-274-06786-0 (яп.)   Copyright © 2009 Minoru Sato, Illustration by Shouko  
 
Azuma, Produced by TREND-PRO Co., Ltd.
ISBN 978-5-97060-659-9 (рус.)  © Издание, перевод, ДМК Пресс, 2018

Дифференциальные уравнения кажутся сложными, не так ли? Они и в самом 
деле сложные. Если честно, когда я ходил на лекции, я тоже не очень-то их 
понимал. Подобно герою этой манги, Даичи Нояма, я мог решать дифференциальные 
уравнения, но толком не понимал, что я делаю и почему. Я запомнил 
примеры решений и все формулы, решал задания из учебников, но все равно 
было ощущение, что я как в тумане.
Начнем с того, что решать дифференциальные уравнения действительно 
трудно. И так просто решения не найти. Таково распространенное мнение. 
Но на лекциях не дают уравнения, которые нельзя решить. А если известен 
способ решения какого-то дифференциального уравнения, то, значит, можно 
решить любое уравнение такого типа. Любой человек, разбирающийся в математике, 
может решить дифференциальное уравнение, если будет следовать 
формулам и примеру уже известных решений. Но, вступая в эту еще не привычную 
область математики, можно легко увязнуть в формулах и сложных 
преобразованиях и не видеть общей картины. В то время как, если остановиться 
и осмотреться, можно увидеть величественную картину.
Поэтому эта книга была написана, чтобы стать вашим путеводителем в мире 
дифференциальных уравнений, по которому вы будете путешествовать, следуя 
рекомендованному маршруту. Эта книга отличается от обычного учебника, 
и она не охватывает всего, что касается дифференциальных уравнений, и в ней 
нет строгости и универсальности, присущей учебникам. Прежде всего просто 
следуйте предложенному маршруту и наслаждайтесь открывающимися видами. 
Свободный полет в мире дифференциальных уравнений может доставить 
такие же захватывающие ощущения, как и реальный полет в небе. У людей нет 
крыльев, но они их создали и теперь могут летать по небу. Также и с помощью 
дифференциальных уравнений, как с помощью крыльев, можно свободно «летать» 
в мире математики. Я буду счастлив, если эта книга станет для вас толчком 
для взлета в мир дифференциальных уравнений.
В завершение я хочу от всего сердца поблагодарить сотрудников издательства 
Ohmsha, благодаря которым эта книга смогла появиться на свет; SWP, благодаря 
которому в сценарии появилась богиня цифр, что сделало книгу более 
увлекательной; художницу Адзума Секо, которая проделала большую работу и 
создала детальные иллюстрации к абстрактному миру математики. Эта книга – 
результат командной работы.
Ноябрь 2009 года 
Сато Минору

Предисловие
Предисловие

 
V

содержание
содержание

ПРЕДИСЛОВИЕ ....................................................................................................... V

Пролог 
БОГИНЯ ЦИФР ИЗ ХРАМА ЧИСЕЛ ........................................................ 1

Глава 1 
ЧТО ТАКОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ................9

Глава 2 
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АНАЛИЗА ....................................................... 25

1. Функции, переменные и графики ......................................................................... 29
Экспоненциальные функции ............................................................................ 38
Логарифмические функции .............................................................................. 39
Тригонометрические функции .........................................................................40
Гиперболические функции .................................................................................41
2. Дифференциалы ....................................................................................................... 42
3. Интегрирование ..........................................................................................................54

Глава 3 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.  
МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ .......................................... 69

1. Явление .......................................................................................................................... 72
2. Модель ............................................................................................................................74
3. Решение ......................................................................................................................... 78
4. Интерпретация ............................................................................................................ 82
5. Закон Мальтуса ............................................................................................................91
Явление ..................................................................................................................... 96
6. Радиоактивный распад ............................................................................................ 96

VI

Модель ...................................................................................................................... 99
Решение ................................................................................................................... 100
Интерпретация .......................................................................................................101
7. Разные явления, одна модель .............................................................................. 104
8. Логистическая модель ........................................................................................... 105

Глава 4 
НЕОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ  
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА .  
МЕТОД ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ  
ПОСТОЯННЫХ .....................................................................................................111

1. Явление ......................................................................................................................... 116
2. Модель ..........................................................................................................................123
3. Решение ........................................................................................................................ 131
Итоговые вычисления ....................................................................................... 134
4. Интерпретация .......................................................................................................... 136
5. Метод вариации произвольных постоянных .................................................145

Глава 5 
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 
ВТОРОГО ПОРЯДКА .......................................................................................151

1. Явления колебаний.................................................................................................. 152
2. Колебания. Модель 1 .............................................................................................. 157
3. Колебания. Модель 2. Простые колебания .................................................... 164

 Решение задачи с учетом силы сопротивления ........................................172
4. Колебания. Модель 3. Когда есть сопротивление ........................................172
Решение с учетом воздействия силы сопротивления. Случай 1 
(затухающие колебания) ................................................................................... 180
Решение с учетом воздействия силы сопротивления. Случай 2 
(сильное затухание) ............................................................................................ 185
Решение с учетом воздействия силы сопротивления. Случай 3 
(критическое затухание) ................................................................................... 190
5. Итоги. Характеристические уравнения ............................................................ 195

 Решение с учетом воздействия внешней силы ..........................................197
6. Возвращение к модели колебаний 1 с учетом внешних сил .....................197
Интерпретация решения с учетом внешней силы.................................... 201

VII

ПРИЛОЖЕНИЕ ......................................................................................................211

1. Охлаждение кофе .....................................................................................................212
2. Полет ракеты .............................................................................................................215
3. Интенсивность ощущения ......................................................................................216
4. Эффективность рекламы .......................................................................................217
5. Интегрирующий множитель ................................................................................222
6. Снова логистическая модель ..............................................................................224

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ...................................................................228

VIII

Пролог
Пролог

Богиня Цифр  
Богиня Цифр  

из Храма Чисел
из Храма Чисел

ААА...

Скукотища!!!

Хочется куда-то 
пойти 
развлечься...

Богиня цифр – 
хранительница Храма чисел 
(Возраст не известен)

Дай-ка мне 
вселиться в тебя.

Я хочу выйти 
из храма.

Эй, Мидзуки!

Никак нельзя, 
госпожа Богиня 
Цифр, это очень 
тяжело для меня.

Мидзуки – служанка  
при Храме чисел
Да и кроме того, 
нельзя оставлять 
храм без божества. 

Но ведь  
посетителей нет,  
и мне все равно 
нечего делать… 

Жадина...

Ммм
Ммм

А по чьей вине,  
Вы думаете, Вам 
нечего делать?!
С недавних пор пошли 
слухи, что милости от Вас 
не дождаться!

разве Вы хорошо 
делаете свою 
Работу?!
прогуляла

ХРРРР
ХРРРР
Ну… 
это….

Моя обязанность -  
охранять этот храм.

А Вы - богиня,  
помогающая в учебе, 
должны как следует 
выполнять свою работу.

ЗАГ РУСТИЛА...
ЗАГ РУСТИЛА...

хорошо...

НУ ВОТ, РАССЕРДИЛАСЬ...
НУ ВОТ, РАССЕРДИЛАСЬ...

Отлично, я исполню!!! 
Обязательно исполню!!!

Подожди и увидишь!

Ничего  
не поделаешь…

Ну хорошо,  
если выполните 
просьбу следующего 
посетителя, то я,  
так и быть, 

разрешу 
использовать 
свое тело 
на один день.

Правда?!

разобрать,  
чего он хочет…  
Ну да ладно.

Что-то  
не могу 

хлоп
хлоп

Второкурсник 
Нояма Даичи