Основы математического моделирования

Основы математического моделирования

2-е издание, исправленное

Костюкова Н.И.

Национальный Открытый Университет “ИНТУИТ”
2016

2

Основы математического моделирования/ Н.И. Костюкова - М.: Национальный Открытый
Университет “ИНТУИТ”, 2016

В курсе рассматриваются основные принципы и методы построения и анализа математических
моделей. Приводятся основные положения теории вероятностей и теории массового обслуживания.
Основное внимание уделяется задачам линейного программирования, основам теории игр, теории
статистических решений и основным положениям последовательностного анализа. Приводятся
примеры использования статистических методов моделирования в технике и медицине.

(c) ООО “ИНТУИТ.РУ”, 2008-2016
(c) Костюкова Н.И., 2008-2016

3

Основные принципы математического моделирования

Определение моделирования. Математическая модель. Плохо формализуемые задачи.
Противоречивые модели. Основы процесса выработки решений. Научный принцип
исследований. Критерий эффективности как мера успешности решения задач.
Перечень методов решения.

Определение моделирования

Моделированием называют построение модели того или иного явления реального мира.
В общем виде модель — это абстракция реального явления, сохраняющая его
существенную структуру таким образом, чтобы ее анализ дал возможность определить
влияние одних сторон явления на другие или же на явления в целом. В зависимости от
логических свойств и связей моделей с отображаемыми явлениями можно все модели
разделить на три типа: изобразительные, аналоговые и математические.

Изобразительная модель отражает внешние характеристики явления и подобна
оригиналу. Это наиболее простая и конкретная модель. Являясь в общем описательной
моделью, она, как правило, не дает возможности установить причинные связи явления
и соответственно определить или предсказать последствия изменений различных
параметров явления. Характерная особенность такой модели – близкое совпадение ее
свойств со свойствами отображаемого объекта. Эти свойства обычно подвергаются
метрическому преобразованию, т.е. берется определенный масштаб.

В аналоговых моделях свойство данного явления отображается посредством свойств
другого явления. Так, например, любая диаграмма представляет аналоговую модель
некоторого явления. К аналоговым моделям относятся также морские карты, на
которых совокупностью условных обозначений отображается совокупность свойств
той или иной акватории. Преимущество аналоговой модели перед изобразительной
состоит в том, что она позволяет отображать динамику явления. Другим
преимуществом является большая универсальность этой модели: путем ее изменения
можно отобразить различные процессы данного явления.

Математическая модель

Математическая модель является самой сложной и наиболее общей и абстрактной по
сравнению с изобразительной и аналоговой. В ней для отображения свойств
изучаемого явления используются символы математического или логического
характера. Особые трудности возникают при решении задач с большой размерностью,
расплывчатой постановкой, неопределенностью информации и т.д. В постановке таких
задач появляются неклассические моменты, такие, как плохая формализуемость,
нестандартность, противоречивость.

Остановимся на понятии плохо формализуемой задачи, которое появляется в
результате решения потока серьезных прикладных задач в самых различных областях.
Это могут быть и формализованные правила рассуждений, и правила логического
вывода. Математические модели служат отражению и анализу некоторых свойств

4

действительных объектов. Рассмотрим один из видов математических моделей,
характеризующихся простой структурой и широко применяющихся в приложениях.
Модели такого вида содержат следующие элементы:

1. вектор  параметров, измеряемых на объекте: 
 где 
 — значение 

-го параметра, которое является чаще всего вещественным числом. Можно назвать

 вектором состояния объекта. Если изучается динамика моделируемого объекта

во времени  то считается, что состояние в каждой момент  описывается
вектором 
 ;

2. вектор 
 параметров, которые не могут быть непосредственно измеренными;

3. неизвестные связи между переменными координатами векторов 
 и 
 ;

4. связи между переменными, являющиеся неизвестными;
5. математический аппарат исследования соотношений (связей).

В качестве примера можно привести имитационные модели, описывающие возможные
пути развития сложных технико-экономических и природных систем.

Плохо формализуемые задачи

Поясним теперь, что понимается под плохо формализуемыми задачами: это задачи,
условия которых определены не полностью, не все связи заданы в аналитической
форме, при этом формулировка задачи может содержать противоречия, а также не все
соглашения о понятии решения могут быть в наличии.

Решению таких (плохо формализуемых) задач предшествуют этапы преобразования их
формулировки, уточнений и упрощений. Результатом этих этапов является получение
комплекса формализованных задач, имеющего некоторое отношение к исходной
задаче. Необходимо знание этого отношения, иначе точность, достигаемая
формальными методами, может оказаться бесполезной.

В сферу модели естественно также включить описание исходной задачи, выбираемый
язык, критерии и ограничения, аппарат адекватности модели, средства интерпретации
и подготовки к практическому внедрению, способы внемодельного анализа, учета
плохо формализуемых факторов.

Можно выделить следующие разновидности плохо формализуемых задач.

1. Нестационарные — эти задачи отличаются эволюцией информации об объекте и

модельных представлений о нем.

2. Задачи с расплывчатым отражением некоторых зависимостей и плохо

определенными ограничениями. Здесь для описания зависимостей и ограничений
требуется использовать специальные процедуры диалога с экспертами, а также
проводить целенаправленные серии экспериментов.

3. Задачи с несовместными системами условий и ограничений и неопределенным

понятием решения (неособенные задачи).

4. Задачи, в которых оценка решения производится по системе несогласованных

5

(противоречивых) критериев.

5. Задачи с неоднозначно определенным решением.
6. Неустойчивые или некорректные задачи.

Противоречивые модели

Противоречивые знаковые модели возникают и в эмпирических исследованиях, и в
формально-логических. Поэтому необходимо использовать обобщения понятия
существования решения, применять “размытые” определения и принципы принятия
практических решений, вводить обобщения понятия непротиворечивости
теоретической модели. Так, например, некоторые логические парадоксы могут быть
связаны с несовместными системами предикатов, которым можно поставить в
соответствие лишь несобственные объекты. Один из путей снятия таких парадоксов —
в расширении представлений об объектах, в ослаблении накладываемых при
определении объекта требований, в их “размывании”, в расширении смысла понятия
существования объекта.

Противоречивые определения объектов и противоречивые модели иногда возникают в
результате абсолютизации локальных свойств реально существующих объектов.
Другая возможная причина появления противоречивых моделей — наличие различных
несогласованных источников информации, которая служит основой моделирования.

В прикладной математике наблюдается заметный интерес к описанию противоречивых
ситуаций; он вызван, вероятно, необходимостью повысить реальный результат
применения математических моделей и методов к решению сложных практических
задач. Примеры решения противоречивых задач можно видеть и в сфере оптимизации,
и в сфере распознавания образов. В некоторых случаях содержательный смысл модели
может диктовать такой вид работы с ней, как выделение ее непротиворечивых
подмоделей, в других случаях возможно ослабление ограничений модели, приводящее
к ее непротиворечивости.

Основы процесса выработки решений

В процессе выработки решений применимы такие конкретные методы, как анализ,
синтез, индукция, дедукция, аналогия, абстракция и конкретизация.

Анализ – логический прием расчленения целого на отдельные элементы с
рассмотрением каждого из них в отдельности. При этом в процессе выработки решения
анализу подвергаются поставленная задача, данные обстановки.

Анализ неразрывно связан с синтезом — объединением всех данных, полученных в
результате анализа. Синтез — это не простое суммирование результатов анализа.
Задача его состоит в мысленном воспроизведении основных связей между элементами
обстановки. Синтез дает возможность вскрыть сущность процессов, установить
причинно-следственные связи, прогнозировать развитие действий.

Анализ и синтез тесно переплетаются с индукцией и дедукцией. Индукция — движение

6

мысли от частного к общему, от ряда факторов к закону. Дедукция, наоборот, идет от
общего к частному, от закона к отдельным его проявлениям. Индуктивный прием
используется в тех случаях, когда на основе частного фактора можно сделать общие
выводы, установить взаимосвязь между отдельными явлениями и каким-либо законом.
Анализируя обстановку, необходимо следовать то от частного к общему (индукция), то
от общего к частному (дедукция), стремясь установить взаимосвязь между явлениями
обстановки и законом.

В процессе выработки решения можно использовать абстрагирование — способность
отвлечься от совокупности факторов и сосредоточить внимание на каком-либо одном
вопросе. При абстракции хотя и достигаются частные цели, однако они не могут
служить основанием для решения. Поэтому наряду с абстракцией должна применяться
конкретизация — увязка того или иного явления с конкретными условиями.

Существенное значение в процессе выработки решений может сыграть аналогия —
прием, в котором из сходства двух явлений в одних условиях делается вывод о
сходстве этих явлений в других условиях. Однако, аналогия — не доказательство, она
лишь дает почву для высказывания предположения о возможном развитии характера
действий, дает толчок в мышлении.

В ходе выработки решения важно установить причинно-следственные связи между
элементами. Причинность — одна из всеобщих форм объективной связи между
предметами, явлениями и процессами реальной действительности.

Научный принцип исследования

Процесс исследования включает следующие основные этапы.

1. Постановка задачи.
2. Построение математической модели.
3. Нахождение решения с помощью модели.
4. Послемодельный анализ и корректировка полученного результата.

Построение математической модели требует:

выделения рассматриваемого объекта, отбрасывания всего несущественного и
уяснения всего существенного;
точного количественного описания ситуации, с тем чтобы это описание можно
было перевести на математический язык;
определение набора параметров, характеризующих как состояние системы, так и
возможное управление системой;
определение зависимости между параметрами состояния и управления;
определение цели через параметры системы в терминах соответствующей
математической модели.

Математическая модель устанавливает соответствие между значениями управляемых и
неуправляемых переменных и определяет результаты решения.

7

В самом общем виде математическая модель может быть представлена в виде

 где 
 — критерий эффективности,

 — управляемые переменные,

 — неуправляемые переменные или случайные воздействия,

 — функции, выражающие ограничения.

Обычно речь идет о нахождении оптимума критерия эффективности при соблюдении
данных ограничений.

Выбор метода решения зависит от вида модели. Существуют четыре типа методов
нахождения решения: аналитический, численный метод, статистических испытаний и
эвристический. Поскольку модель не может быть точным отображением реальности,
полученное решение может оказаться неприемлемым для условий конкретной
ситуации. Поэтому необходим анализ полученного в результате моделирования
решения, который заключается в проверке адекватности модели, а также в
корректировке решения при его использовании в качестве основы для выработки
решения.

Нарушение адекватности отображения моделью реальности может произойти по
следующим причинам.

1. Модель может неправильно отражать действительную зависимость, которая

существует между результатом операции и переменными.

2. В модели могут не учитываться переменные, которые в действительности влияют

на результат.

3. Значения переменных, входящих в модель, могут быть оценены неправильно.

Анализ результатов моделирования осуществляется для установления адекватности
отображения моделью реальности, а в случае её нарушения — выявления причин
нарушения и соответствующего изменения модели.

Критерии эффективности

Критерий эффективности как мера успешности решения задач.

Выбор критерия эффективности является наиболее ответственным этапом всей
постановки задачи. Основным требованием, предъявляемым к критерию
эффективности, является установление строгого соответствия между ним и конечной
целью.

Если рассматривать применение критериев эффективности для оптимизации, то в
самом общем виде оптимизация сводится к нахождению решений, соответствующих

8

экстремальному значению численного выражения избранного критерия
эффективности.

Классификация математических моделей

Математические модели можно классифицировать по следующим признакам:

по времени, как постоянного или переменного параметра;
по числу сторон, принимающих решения:
по наличию или отсутствию случайных (или неопределенных) факторов;
по виду критерия эффективности и наложенных ограничений.

В зависимости от способа учета изменения времени математические модели делятся на
два типа: статические и динамические. Статическая модель — это модель, в которой
время не является переменной. В динамической же модели одной из переменных
является время.

Математические модели в зависимости от числа сторон, принимающих решение,
можно разделить на два типа: описательные и нормативные. В описательной модели
нет сторон, принимающих решения. Формально число таких сторон в описательной
модели равно нулю. Типичным примером подобных моделей является модели систем
массового обслуживания. Для построения описательных моделей может также
использоваться теория надежности, теория графов, теория вероятностей, метод
статистических испытаний (метод Монте-Карло).

Для нормативной модели характерно множество сторон. Принципиально можно
выделить два вида нормативных моделей: модели оптимизации и теоретико-игровые.

В моделях оптимизации основная задача выработки решений технически сводится к
строгой максимизации или минимизации критерия эффективности, т.е. определяются
такие значения управляемых переменных, при которых критерий эффективности
достигает экстремального значения (максимума или минимума).

Для выработки решений, отображаемых моделями оптимизации, наряду с
классическими и новыми вариационными методами (поиск экстремума) наиболее
широко используются методы математического программирования (линейное,
нелинейное, динамическое).

Для теоретико-игровой модели характерна множественность числа сторон (не менее
двух). Если имеются две стороны с противоположными интересами, то используется
теория игр, если число сторон более двух и между ними невозможны коалиции и
компромиссы, то применяется теория бескоалиционных игр n лиц.

Математические модели в зависимости от наличия или отсутствия случайных (или
неопределенных) факторов можно разделить на следующие типы.

Детерминированная модель строится в тех случаях, когда факторы, влияющие на
исход операции, поддаются достаточно точному измерению или оценке, а случайные

9

факторы либо отсутствуют, либо ими можно пренебречь.

В стохастических моделях реальность отображается как некоторый случайный
процесс, ход и исход которого описывается теми или иными характеристиками
случайных величин: математическими ожиданиями, дисперсиями, функциями
распределения и т.д. Построение такой модели возможно, если имеется достаточный
фактический материал для оценки необходимых вероятностных распределений или
если теория рассматриваемого явления позволяет определить эти распределения
теоретически (на основе формул теории вероятностей, предельных теорем и т.д.)

В теоретико-игровых моделях учитывается недостаточность информации о действиях
противника и необходимость принимать решение в условиях неопределенности.
Теоретико-игровой подход в том, по существу, и состоит, что выявляется наименее
благоприятное вероятностное распределение значений неуправляемых переменных и
определяется оптимальное действие в этих наименее благоприятных условиях.

Недостаток теоретико-игровой модели по сравнению со стохастической (точно так же,
как и недостаток стохастической модели по сравнению с детерминированной) состоит
в больших математических трудностях в теоретическом плане и в существенно
большем объеме вычислительных работ в плане практическом.

Математические модели в зависимости от вида критерия эффективности и наложенных
ограничений можно разделить на два типа: линейные и нелинейные. В линейных
моделях критерий эффективности и наложенные ограничения являются линейными
функциями переменных модели ( иначе нелинейные модели ). Допущение о линейной
зависимости критерия эффективности и совокупности наложенных ограничений от
переменных модели на практике вполне приемлемо. Это позволяет для выработки
решений использовать хорошо разработанный аппарат линейного программирования.
Приведенная классификация математических моделей в определенной мере весьма
условна и неполна.

Перечень методов решения

1. Решения методами теории вероятностей.
2. Решения методами теории массового обслуживания.
3. Решения методами теории поиска.
4. Решения методами сетевого планирования.
5. Решения с использованием линейного и нелинейного программирования.
6. Решения методами динамического программирования.
7. Решения методами теории игр.
8. Решения методами теории статистических решений и последовательного анализа.

10