Структура и интерпретация классической механики

Джеральд Джей Сассман и Джек Уиздом

Структура и интерпретация 
классической механики

Gerald Jay Sussman and Jack Wisdom

Structure 
and Interpretation 
of Classical Mechanics

second edition

The MIT Press
Cambridge, Massachusetts
London, England

Джеральд Джей Сассман и Джек Уиздом

Структура 
и интерпретация 
классической механики

Москва, 2023

УДК 530.1
ББК 22.31T
С20

Сассман Дж. Дж., Уиздом Дж.
С20  Структура и интерпретация классической механики / пер. с англ. А. А. Слинкина. – М.: ДМК Пресс, 2023. – 488 с.: ил. 

ISBN 978-5-97060-954-5

В настоящее время нам известно, что содержание классической механики 
гораздо богаче, чем представлялось раньше. Вывод уравнений движения – центральная тема традиционных изложений механики – всего лишь начало. В этой 
новаторской книге акцент сделан на разработке общих методов изучения поведения классических систем вне зависимости от того, имеют они аналитическое 
решение или нет. В фокусе внимания авторов сам феномен движения, а для его 
исследования применяется компьютерное моделирование. Недавние открытия 
в области нелинейной динамики органично вплетены в текст, а не добавлены 
по завершении работы. Изучение таких явлений, как переход к хаотическому 
движению и нелинейные резонансы, помогает читателю освоить аналитический 
инструментарий, необходимый для их понимания. 
Издание адресовано студентам технических вузов, а также будет полезно всем, 
кто интересуется классической и современной физикой.

УДК 530.1
ББК 22.31T

Права на русскоязычное издание получены через Агентство Александра Корженевского 
(Москва).

Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения 
владельцев авторских прав.

ISBN 978­0­262­02896­7 (англ.)  
©  2014 Massachusetts Institute 
of Technology
ISBN 978­5­97060­954­5 (рус.)  
©  Перевод, оформление, издание,  
ДМК Пресс, 2023

Автор приложил особые старания к тому, чтобы с как можно 
большей простотой и отчетливостью изложить руководящие 
идеи теории, придерживаясь в целом той их последовательности 
и связи, в какой они возникли в действительности. В интересах 
ясности я не останавливался перед частыми повторениями, нисколько не считаясь с изяществом изложения. Я добросовестно следовал предписанию гениального теоретика Л. Больцмана, 
рекомендовавшего заботу об изяществе представить портным 
и башмачникам.

А. Эйнштейн,  
«О специальной и общей теории относительности»  
(перев. с 12­го изд. под ред. проф. С. Я. Лифшица)

С благоговейным трепетом и священным восторгом  
мы посвящаем эту книгу

ПРИНЦИПУ НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

Содержание

От издательства ....................................................................................................12

Предисловие ..........................................................................................................13

Благодарности ......................................................................................................19

Глава 1. Механика Лагранжа .........................................................................21

1.1. Конфигурационное пространство ....................................................................23
1.2. Обобщенные координаты ..................................................................................25
1.3. Принцип наименьшего действия .....................................................................28
Наблюдение движения .....................................................................................28
Реализуемые траектории .................................................................................28
1.4. Вычисление действий .........................................................................................33
Траектории минимального действия .............................................................37
Расчет траекторий, минимизирующих действие .........................................38
1.5. Уравнения Лагранжа–Эйлера ............................................................................42
Уравнения Лагранжа .........................................................................................42
1.5.1. Вывод уравнений Лагранжа .......................................................................43
Непосредственный вывод ................................................................................43
Вариационный оператор ..................................................................................44
Вывод уравнений Лагранжа с помощью вариационного оператора ........46
Гармонический осциллятор .............................................................................48
Движение по окружности в поле силы тяжести ............................................49
1.5.2. Уравнения Лагранжа на компьютере ........................................................51
Свободная частица ............................................................................................51
Гармонический осциллятор .............................................................................52
1.6. Откуда берутся лагранжианы? ..........................................................................54
Принцип Гамильтона ........................................................................................56
Равноускоренное движение .............................................................................57
Центральное силовое поле ...............................................................................57
1.6.1. Преобразования координат .......................................................................60
Кориолисовы и центробежные силы ..............................................................63
1.6.2. Системы с жесткими связями ....................................................................65
Лагранжианы для систем с жесткими связями .............................................65
Маятник на шарнирном подвесе ....................................................................66
Почему это работает .........................................................................................68
1.6.3. Связи как преобразования координат .....................................................74
1.6.4. Является ли лагранжиан системы единственным? ................................77
Полная производная по времени ....................................................................78
Прибавление полных производных по времени к лагранжианам ............79
Свойства полной производной по времени ..................................................81

Содержание  7

1.7. Эволюция динамического состояния ...............................................................82
Численное интегрирование .............................................................................86
1.8. Сохраняющиеся величины ................................................................................91
1.8.1. Сохранение импульса .................................................................................91
Примеры сохраняющихся импульсов  ...........................................................92
1.8.2. Сохранение энергии ....................................................................................93
Энергия в терминах кинетической и потенциальной энергий ..................94
1.8.3. Центральные силы в трехмерном пространстве ....................................95
1.8.4. Ограниченная задача трех тел ...................................................................98
1.8.5. Теорема Нётер ............................................................................................100
Иллюстрация: движение в центральном поле ............................................102
1.9. Абстрагирование функций траектории .........................................................104
Мгновенные уравнения Лагранжа ................................................................107
1.10. Движение с ограничивающими связями ....................................................108
1.10.1. Координатные связи ...............................................................................110
Интересное наблюдение ................................................................................111
Альтернативный подход ................................................................................111
Маятник со связями ........................................................................................112
Построение систем из частей ........................................................................114
1.10.2. Связи как производные ..........................................................................116
Обруч Голдстейна ............................................................................................118
1.10.3. Неголономные системы ..........................................................................119
1.11. Резюме ..............................................................................................................122
1.12. Проекты ............................................................................................................123

Глава 2. Твердые тела ......................................................................................126
2.1. Кинетическая энергия вращения ...................................................................127
2.2. Кинематика вращательного движения ..........................................................129
Реализация функций угловой скорости .......................................................131
2.3. Моменты инерции ............................................................................................132
2.4. Тензор инерции .................................................................................................135
2.5. Главные моменты инерции .............................................................................136
2.6. Момент импульса ..............................................................................................139
2.7. Углы Эйлера ........................................................................................................141
2.8. Движение свободного твердого тела ..............................................................144
Сохраняющиеся величины .............................................................................144
2.8.1. Вычисление движения свободных твердых тел ....................................146
2.8.2. Качественные особенности движения свободного твердого тела .....148
2.9. Уравнения Эйлера .............................................................................................152
Уравнения Эйлера для твердых тел, совершающих вынужденное 
движение ..........................................................................................................155
2.10. Осесимметричные волчки .............................................................................157
2.11. Спин­орбитальное взаимодействие ............................................................164
2.11.1. Вывод потенциальной энергии .............................................................164
2.11.2. Вращение Луны и Гипериона .................................................................168
2.11.3. Спин­орбитальный резонанс ................................................................174
2.12. Несингулярные координаты и кватернионы ..............................................178

 Содержание

Композиция вращений ...................................................................................182
2.12.1. Описание движения в терминах кватернионов .................................184
2.13. Резюме ..............................................................................................................187
2.14. Проекты ............................................................................................................187

Глава 3. Гамильтонова механика ...............................................................189
3.1. Уравнения Гамильтона .....................................................................................191
Иллюстрация ....................................................................................................193
Гамильтоново состояние ................................................................................194
Вычисление уравнений Гамильтона .............................................................196
3.1.1. Преобразование Лежандра .......................................................................197
Преобразования Лежандра с пассивными аргументами ..........................200
Преобразования Лежандра квадратичных функций .................................203
Вычисление гамильтонианов ........................................................................203
3.1.2. Вывод уравнений Гамильтона из принципа наименьшего  
действия ................................................................................................................206
3.1.3. Электрическая схема .................................................................................207
3.2. Скобки Пуассона ................................................................................................209
Свойства скобки Пуассона .............................................................................210
Скобка Пуассона сохраняющихся величин .................................................211
3.3. Случай одной степени свободы ......................................................................211
3.4. Уменьшение фазового пространства .............................................................214
Движение в центральном поле .....................................................................215
Осесимметричный волчок .............................................................................217
3.4.1. Упрощение лагранжиана ..........................................................................222
3.5. Эволюция в фазовом пространстве ................................................................224
3.5.1. Описание фазового пространства неоднозначно ................................226
3.6. Поверхности сечения ........................................................................................226
3.6.1. Системы, совершающие периодическое вынужденное движение ....228
3.6.2. Вычисление стробоскопических поверхностей сечения .....................233
3.6.3. Автономные системы ................................................................................234
Исторический фон для работы Энона–Хейлза ...........................................235
Система Энона и Хейлза .................................................................................238
Интерпретация ................................................................................................242
3.6.4. Вычисление поверхностей сечения в системе Энона–Хейлза ............245
3.6.5. Неосесимметричный волчок ...................................................................247
3.7. Экспоненциальное расхождение ....................................................................248
3.8. Теорема Лиувилля .............................................................................................251
Фазовый поток для маятника ........................................................................251
Доказательство теоремы Лиувилля ..............................................................253
Сохранение площади стробоскопических поверхностей сечения ..........255
Теорема Пуанкаре о возвращении ................................................................255
Газ в углу комнаты ...........................................................................................256
Несуществование аттракторов в гамильтоновых системах .....................256
Сохранение фазового объема в диссипативной системе ..........................257
Функции распределения ................................................................................259
3.9. Стандартное отображение ...............................................................................259

Содержание  9

3.10. Резюме ..............................................................................................................262
3.11. Проекты ............................................................................................................263

Глава 4. Структура фазового пространства ..........................................265

4.1. Возникновение разделенного фазового пространства ...............................266
Сечения маятника на шарнирном подвесе, когда амплитуда 
действующей силы нулевая ...........................................................................267
Сечения маятника на шарнирном подвесе для малой действующей  
силы ...................................................................................................................269
4.2. Линейный анализ устойчивости .....................................................................270
4.2.1. Равновесие дифференциальных уравнений .........................................271
4.2.2. Неподвижные точки отображений..........................................................273
4.2.3. Соотношения между показателями ........................................................276
Специализация гамильтониана ....................................................................277
Линейная и нелинейная устойчивость ........................................................280
4.3. Гомоклинное переплетение ............................................................................280
4.3.1. Вычисление устойчивого и неустойчивого многообразий .................285
4.4. Интегрируемые системы .................................................................................288
Типы орбит в интегрируемых системах ......................................................288
Поверхности сечения для интегрируемых систем .....................................290
4.5. Теорема Пуанкаре–Биркгофа ..........................................................................292
4.5.1. Вычисление построения Пуанкаре–Биркгофа ......................................296
4.6. Инвариантные кривые .....................................................................................299
4.6.1. Нахождение инвариантных кривых .......................................................300
4.6.2. Исчезновение инвариантных кривых ....................................................304
4.7. Резюме .................................................................................................................304
4.8. Проекты ..............................................................................................................307

Глава 5. Канонические преобразования ...............................................308

5.1. Точечные преобразования ...............................................................................309
Реализация точечных преобразований .......................................................311
5.2. Общие канонические преобразования ..........................................................314
Полярно­каноническое преобразование .....................................................316
5.2.1. Преобразования, зависящие от времени ...............................................318
Вращающиеся координаты ............................................................................319
5.2.2. Абстрагирование условия каноничности ..............................................321
Примеры ...........................................................................................................322
Условие каноничности и скобки Пуассона ..................................................323
Симплектические матрицы ...........................................................................324
5.3. Инварианты канонических преобразований ...............................................327
Неинвариантность pv ......................................................................................327
Инвариантность скобок Пуассона .................................................................328
Сохранение объема .........................................................................................328
Симплектическая 2­форма ............................................................................329
Интегральный инвариант Пуанкаре ............................................................331
5.4. Производящие функции ..................................................................................333

 Содержание

Полярно­каноническое преобразование .....................................................334
5.4.1. F1 порождает канонические преобразования .......................................335
5.4.2. Производящие функции и интегральные инварианты .......................337
Производящие функции типа F1 ...................................................................337
Производящие функции типа F2 ...................................................................339
Связь между F1 и F2 ..........................................................................................340
5.4.3. Типы производящих функций .................................................................341
5.4.4. Точечные преобразования .......................................................................342
Полярные и прямоугольные координаты ....................................................343
Вращающаяся система координат ................................................................344
Сведение задачи двух тел к задаче одного тела .........................................344
Эпициклическое движение ............................................................................347
5.4.5. Полные производные по времени ..........................................................355
Маятник на шарнирном подвесе ..................................................................357
5.5. Расширенное фазовое пространство .............................................................359
Ограниченная задача трех тел.......................................................................363
5.5.1. Интегральный инвариант Пуанкаре–Картана ......................................365
5.6. Приведенное фазовое пространство ..............................................................366
Орбиты в центральном поле .........................................................................367
Производящие функции в расширенном фазовом пространстве ...........369
5.7. Резюме .................................................................................................................370
5.8. Проекты ..............................................................................................................371

Глава 6. Каноническая эволюция ..............................................................374

6.1. Уравнение Гамильтона–Якоби ........................................................................374
6.1.1. Гармонический осциллятор .....................................................................376
6.1.2. Уравнение Гамильтона–Якоби для задачи Кеплера .............................380
6.1.3. F2 и лагранжиан ..........................................................................................383
6.1.4. Действие порождает эволюцию во времени .........................................385
6.2. Эволюция во времени является канонической ............................................387
Еще раз о теореме Лиувилля ..........................................................................388
Еще одно преобразование, связанное с эволюцией во времени .............389
6.2.1. Другой взгляд на эволюцию во времени ................................................392
Сохранение площади поверхности сечения ...............................................394
6.2.2. И еще один взгляд на эволюцию во времени ........................................395
6.3. Преобразования Ли ...........................................................................................397
Преобразования Ли функций ........................................................................398
Простые преобразования Ли .........................................................................399
Пример ..............................................................................................................401
6.4. Ряды Ли ...............................................................................................................402
Динамика ..........................................................................................................404
Вычисление рядов Ли .....................................................................................406
6.5. Экспоненциальные тождества ........................................................................409
6.6. Резюме ................................................................................................................410
6.7. Проекты...............................................................................................................411