Математические сюрпризы

Мордехай Бен-Ари

Математические сюрпризы 

Mordechai Ben-Ari

Mathematical  
Surprises

Мордехай Бен-Ари

Математические 
сюрпризы

Москва, 2023

УДК 51
ББК 21.1
Б46

Бен-Ари М.
Б46  Математические сюрпризы / пер. с англ. А. А. Слинкина. – М.: ДМК Пресс, 
2023. – 216 с.: ил. 

ISBN 978-5-93700-191-7

Эта книга опровергает расхожее представление о том, что к изучению математики следует подходить со всей строгостью и эмоции в этом деле неуместны. 
На этих страницах вы найдете сюрпризы, фокусы и неожиданные источники 
вдохновения в области математики. Среди того, что вас удивит и порадует, – обоснование возможности геометрического построения алгебраическими средствами, 
демонстрация математических принципов на примере оригами, необычное доказательство по индукции, новый взгляд на хорошо известный результат и маловажная, на первый взгляд, теорема, легшая в основу целой отрасли математики.
Издание предназначено тем, кто увлекается математикой и знает ее в объеме 
средней школы.

УДК 51
ББК 21.1

© Mordechai Ben-Ari, 2022. This book is an open access publication.

This book is licensed under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 Internalional 
License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0), which permits use, sharing, adaptation, 
distribution and reproduction in any medium or format, as long as you give appropriate credit 
to the original author(s) and the sourse, provide a link to the Creative Commons license and 
indicate if changes were made.

Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения 
владельцев авторских прав.

ISBN 978-3-031-13565-1 (англ.)  
©  Mordechai Ben-Ari, 2022
ISBN 978-5-93700-191-7 (рус.)  
©  Перевод, оформление, издание,  
ДМК Пресс, 2023

Содержание

От издательства ....................................................................................................10

Вступительное слово .........................................................................................11

Предисловие ..........................................................................................................13

Глава 1. Складывающийся циркуль ...........................................................18
1.1. Построение циркулем и линейкой ...................................................................19
1.2. Фиксированный и складывающийся циркули ...............................................19
1.3. Построение Евклида для копирования отрезка прямой ...............................21
1.4. Некорректное построение копии отрезка .......................................................22
1.5. Не доверяйте рисункам ......................................................................................24
В чем сюрприз? ..........................................................................................................25
Источники ...................................................................................................................25

Глава 2. Трисекция угла .....................................................................................26
2.1. Приближенные трисекции .................................................................................26
2.1.1. Первая приближенная трисекция .............................................................26
2.1.2. Вторая приближенная трисекция..............................................................29
2.2. Трисекция с помощью невсиса .........................................................................31
2.3. Удвоение куба с помощью невсиса ..................................................................32
2.4. Трисекция угла с помощью квадратрисы ........................................................33
2.5. Числа, допускающие построение ......................................................................35
2.6. Числа, допускающие построение, как корни многочленов ..........................37
2.7. Невозможность классических построений .....................................................39
В чем сюрприз? ..........................................................................................................41
Источники ...................................................................................................................41

Глава 3. Квадратура круга ...............................................................................42
3.1. Построение Кочански .........................................................................................43
3.2. Первое построение Рамануджана.....................................................................44
3.3. Второе построение Рамануджана .....................................................................47
3.4. Квадратура круга с помощью квадратрисы ....................................................50
В чем сюрприз? ..........................................................................................................51
Источники ...................................................................................................................51

 Содержание

Глава 4. Теорема о пяти красках ..................................................................52

4.1. Плоские карты и планарные графы .................................................................52
4.2. Формула Эйлера ..................................................................................................54
4.3. Непланарные графы ...........................................................................................56
4.4. Степени вершин ..................................................................................................57
4.5. Теорема о шести красках ...................................................................................58
4.6. Теорема о пяти красках ......................................................................................59
4.7. Некорректное доказательство Кемпе теоремы о четырех красках .............61
В чем сюрприз? ..........................................................................................................62
Источники ...................................................................................................................62

Глава 5. Как организовать охрану музея .................................................63

5.1. Раскрашивание триангулированных многоугольников ...............................64
5.2. От раскраски многоугольников к охране музея .............................................66
5.3. Любой многоугольник можно триангулировать ............................................66
В чем сюрприз? ..........................................................................................................69
Источники ...................................................................................................................69

Глава 6. Индукция ................................................................................................70

6.1. Аксиома математической индукции ...............................................................70
6.2. Числа Фибоначчи ................................................................................................72
6.3. Числа Ферма .........................................................................................................75
6.4. 91-функция Маккарти ........................................................................................76
6.5. Задача Иосифа Флавия .......................................................................................77
В чем сюрприз? ..........................................................................................................80
Источники ...................................................................................................................80

Глава 7. Решение квадратных уравнений ...............................................81

7.1. Традиционные методы решения квадратных уравнений ............................81
7.2. Связь между корнями и коэффициентами ......................................................82
7.3. Примеры применения метода Ло .....................................................................84
7.4. Вывод традиционной формулы.........................................................................86
7.5. Геометрическое решение квадратных уравнений аль-Хорезми .................86
7.6. Построение Кардано для решения кубических уравнений ..........................88
7.7. Мнимые числа их не смущали ...........................................................................89
7.8. Метод Лилла и окружность Карлайла ...............................................................90
7.9. Численное нахождение корней .........................................................................93
В чем сюрприз? ..........................................................................................................94
Источники ...................................................................................................................94

Глава 8. Теория Рамсея .....................................................................................95

8.1. Тройки Шура ........................................................................................................95
8.2. Пифагоровы тройки ............................................................................................97
8.3. Задача ван дер Вардена ......................................................................................98
8.4. Теорема Рамсея ...................................................................................................99

Содержание  7

8.5. Вероятностный метод ......................................................................................100
8.6. SAT-решатели.....................................................................................................101
8.6.1. Логика высказываний и SAT-задача .......................................................102
8.6.2. Тройки Шура ...............................................................................................102
8.6.3. Пифагоровы тройки ..................................................................................103
8.6.4. Краткий обзор алгоритма DPLL ...............................................................104
8.7. Пифагоровы тройки в вавилонской математике .........................................105
В чем сюрприз? ........................................................................................................108
Источники .................................................................................................................108

Глава 9. Задача Лэнгфорда ...........................................................................109
9.1. Задача Лэнгфорда как задача о покрытии ....................................................109
9.2. Для каких значений N задача Лэнгфорда разрешима? ...............................111
9.3. Решение для L(4) ...............................................................................................114
В чем сюрприз? ........................................................................................................115
Источник ...................................................................................................................115

Глава 10. Аксиомы оригами .........................................................................116
10.1. Аксиома 1 .........................................................................................................116
10.2. Аксиома 2 .........................................................................................................117
10.3. Аксиома 3 .........................................................................................................118
10.4. Аксиома 4 .........................................................................................................120
10.5. Аксиома 5 .........................................................................................................121
10.6. Аксиома 6 .........................................................................................................123
10.6.1. Вывод уравнения сгиба ...........................................................................125
10.6.2. Вывод уравнений отражения .................................................................128
10.6.3. Касательные к параболе .........................................................................129
10.7. Аксиома 7 .....................................................................................................130
В чем сюрприз? ........................................................................................................132
Источники .................................................................................................................132

Глава 11. Фокус-покус .....................................................................................133
11.2. Описание метода Лилла .................................................................................135
11.2.1. Метод Лилла как алгоритм .....................................................................135
11.2.2. Отрицательные коэффициенты ............................................................136
11.2.3. Нулевые коэффициенты .........................................................................137
11.2.4. Нецелые корни .........................................................................................137
11.2.5. Кубический корень из двух ....................................................................138
11.3. Доказательство корректности метода Лилла ..............................................139
11.4. Складывание Белох .........................................................................................140
В чем сюрприз? ........................................................................................................141
Источник ...................................................................................................................141

Глава 12. Геометрические построения с помощью оригами  .....142
12.1. Трисекция угла Абе .........................................................................................142
12.2. Трисекция угла Мартина ................................................................................143

 Содержание

12.3. Удвоение куба Мессера ...................................................................................145
12.4. Удвоение куба Белох .......................................................................................147
12.5. Построение правильного девятиугольника ................................................148
В чем сюрприз? ........................................................................................................150
Источники .................................................................................................................150

Глава 13. Циркуля достаточно ....................................................................151

13.1. Что такое построение одним циркулем? .....................................................151
13.2. Отражение точки .............................................................................................152
13.3. Построение окружности заданного радиуса ...............................................153
13.4. Сложение и вычитание отрезков ..................................................................154
13.5. Построение пропорционального отрезка ...................................................157
13.6. Построение точки пересечения двух прямых ............................................158
13.7. Построение точек пересечения прямой и окружности .............................160
В чем сюрприз? ........................................................................................................161
Источник ...................................................................................................................161

Глава 14. Линейки и одной окружности достаточно .......................162

14.1. Что такое построение одной линейкой?......................................................162
14.2. Построение прямой, параллельной заданной ............................................163
14.3. Построение перпендикуляра к заданной прямой .....................................166
14.4. Копирование отрезка в заданном направлении ........................................166
14.5. Построение пропорционального отрезка ...................................................167
14.6. Построение квадратного корня ....................................................................168
14.7. Построение точек пересечения прямой и окружности .............................169
14.8. Построение точек пересечения двух окружностей ....................................169
В чем сюрприз? ........................................................................................................171
Источники .................................................................................................................171

Глава 15. Конгруэнтны ли треугольники с одинаковыми 
площадью и периметром? ............................................................................172

15.1. От треугольника к эллиптической кривой ..................................................173
15.2. Решение уравнения эллиптической кривой ...............................................175
15.3. Вывод треугольника из эллиптической кривой .........................................177
В чем сюрприз? ........................................................................................................178
Источники .................................................................................................................178

Глава 16. Построение правильного семнадцатиугольника .........179

16.1. Построение правильных многоугольников ................................................180
16.2. Основная теорема алгебры ............................................................................181
16.3. Корни из единицы...........................................................................................181
16.4. Доказательство Гаусса возможности построения правильного 
семнадцатиугольника .............................................................................................182
16.5. Вывод формулы Гаусса ...................................................................................186
16.6. Построение правильного семнадцатиугольника .......................................187

Содержание  9

16.7. Построение правильного пятиугольника ....................................................190
16.7.1. Тригонометрическое ...............................................................................191
16.7.2. Геометрическое ........................................................................................191
В чем сюрприз? ........................................................................................................192
Источники .................................................................................................................192

Приложение А. Теоремы из геометрии и тригонометрии ............193
A.1. Теоремы о треугольнике ..................................................................................193
A.1.1. Вычисление площади треугольника ......................................................193
A.2. Тригонометрические тождества ....................................................................196
A.2.1. Синус и косинус суммы и разности двух углов ....................................196
A.2.2. Косинус тройного угла ..............................................................................198
A.2.3. Синус и косинус половинного угла.........................................................198
A.2.4. Теорема косинусов ....................................................................................199
A.2.5. Тангенс суммы двух углов .......................................................................200
A.2.6. Тангенс половинного угла .......................................................................201
A.2.7. Произведение трех тангенсов ..................................................................201
A.2.8. Предел sin α/α.............................................................................................202
A.3. Теоремы о свойствах биссектрисы ................................................................203
A.4. Теорема Птолемея ............................................................................................204
A.4.1. Трапеция, вписанная в окружность .......................................................204
A.4.2. Доказательство теоремы Птолемея ........................................................206
A.5. Теорема Чевы ....................................................................................................207
A.6. Теорема Менелая ..............................................................................................208
Источники .................................................................................................................209

Литература ............................................................................................................210

Предметный указатель ...................................................................................213

От издательства

Отзывы и пожелания

Мы всегда рады отзывам наших читателей. Расскажите нам, что вы ду маете 
об этой книге – что понравилось или, может быть, не понравилось. Отзывы 
важны для нас, чтобы выпускать книги, которые будут для вас максимально 
полезны.
Вы можете написать отзыв на нашем сайте www.dmkpress.com, зайдя на 
страницу книги и оставив комментарий в разделе «Отзывы и рецензии». 
Также можно послать письмо главному редактору по адресу dmkpress@gmail.
com; при этом укажите название книги в теме письма. 
Если вы являетесь экспертом в какой-либо области и заинтересованы в написании новой книги, заполните форму на нашем сайте по адресу http://
dmkpress.com/authors/publish_book/ или напишите в издательство по адресу 
dmkpress@gmail.com.

Список опечаток

Хотя мы приняли все возможные меры для того, чтобы обеспечить высокое качество наших текстов, ошибки все равно случаются. Если вы найдете 
ошибку в одной из наших книг, мы будем очень благодарны, если вы сообщите о ней главному редактору по адресу dmkpress@gmail.com. Сделав это, 
вы избавите других читателей от недопонимания и поможете нам улучшить 
последующие издания этой книги. 

Нарушение авторских прав

Пиратство в интернете по-прежнему остается насущной проблемой. Издательство «ДМК Пресс» очень серьезно относится к вопросам защиты авторских прав 
и лицензирования. Если вы столкнетесь в интернете с незаконной публикацией 
какой-либо из наших книг, пожалуйста, пришлите нам ссылку на интернет-ресурс, чтобы мы могли применить санкции.
Ссылку на подозрительные материалы можно прислать по адресу элект
ронной почты dmkpress@gmail.com.
Мы высоко ценим любую помощь по защите наших авторов, благодаря 
которой мы можем предоставлять вам качественные материалы.