Квантовая химия и квантовые вычисления с примерами на Python

Кипер Л. Шарки, Ален Чанс

Квантовая химия  
и квантовые вычисления  
с примерами на Python 

Keeper L. Sharkey, Alain Chancé

Quantum Chemistry 
and Computing for 
the Curious

BIRMINGHAM—MUMBAI

Кипер Л. Шарки, Ален Чанс

Квантовая химия 
и квантовые вычисления 
с примерами на Python

Москва, 2023

УДК544.18
ББК24.511.4
Ш26

ШаркиК.Л.,ЧансА.
Ш26  Квантовая химия и квантовые вычисления с примерами на Python / пер. 
с англ. к.ф.-м.н. П. В. Михеева. – М.: ДМК Пресс, 2023. – 282 с.: ил. 

ISBN978-5-93700-162-7

Книга на основе постулатов квантовой механики объясняет сложную связь 
квантовой химии и квантовых вычислений. Показано, как можно использовать 
для этого Python и программные пакеты химических расчетов с открытым исходным кодом, такие как Qiskit. На примерах расчетов реальных атомов и молекул 
показано, как квантовая химия и квантовые вычисления помогают решать задачи 
химической науки и промышленности. 
Издание предназначено для тех, кто интересуется химией и информатикой, 
а также для специалистов, стремящихся к углублению знаний в области квантовой 
вычислительной химии.

УДК 544.18
ББК 24.511.4

Copyright © Packt Publishing 2022. First published in the English language under the title 
“Quantum Chemistry and Computing for the Curious” – (9781803243900).

Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения 
владельцев авторских прав.

ISBN 978-1-80324-390-0 (англ.)  
©  2022 Packt Publishing
ISBN 978-5-93700-162-7 (рус.)  
©  Перевод, оформление, издание,  
ДМК Пресс, 2023

Моей матери, Карен,  
которая постоянно побуждала меня в увлечении химией,  
но, к сожалению, неожиданно скончалась  
во время создания этой книги.
– Кипер Л. Шарки

Эта книга посвящена моей любимой жене Элейн.
– Ален Чанс

Содержание

От издательства ....................................................................................................12

Предисловие ..........................................................................................................13

Об авторах ..............................................................................................................15

Благодарности ......................................................................................................16

О рецензенте .........................................................................................................17

Введение ..................................................................................................................18

Глава 1. Введение в квантовые концепции ...........................................24

Технические требования ...........................................................................................25
1.1. Обзор истории квантовой химии и механики................................................26
1.2. Частицы и вещество ............................................................................................29
Элементарные частицы ........................................................................................30
Составные частицы ...............................................................................................30
Атомные ядра .....................................................................................................30
Атомы ..................................................................................................................31
Молекулы ............................................................................................................32
1.3. Квантовые числа и квантование вещества .....................................................32
Электроны в атоме.................................................................................................32
Волновая функция и PEP (принцип исключения Паули) ................................33
Фермионы ...........................................................................................................33
Бозоны .................................................................................................................34
Композитные частицы......................................................................................34
Обозначение Дирака .........................................................................................34
1.4. Свет и энергия .....................................................................................................34
Постоянная Планка и планковское соотношение ............................................34
Длина волны де Бройля ........................................................................................35
Принцип неопределенности Гейзенберга .........................................................35

Содержание  7

Энергетические уровни атомов и молекул ........................................................35
Водородный спектр ...............................................................................................35
Постоянная Ридберга и его формула ..................................................................36
Конфигурация электронов ...................................................................................37
Расчет электронной конфигурации атомных элементов 
с использованием правила Маделунга...........................................................37
Уравнение Шрёдингера.........................................................................................39
Графики плотности вероятности волновых функций электрона в атоме 
водорода ..................................................................................................................40
1.5. Краткая история квантовых вычислений .......................................................40
1.6. Объяснение теории сложности .........................................................................42
Выводы к главе ...........................................................................................................43
Вопросы .......................................................................................................................44
Ответы .........................................................................................................................44
Ссылки к главе ............................................................................................................45

Глава 2. Постулаты квантовой механики ................................................49
Технические требования ...........................................................................................50
2.1. Постулат 1. Волновые функции .........................................................................51
2.1.1. Сферические гармонические функции ....................................................53
Импорт модулей NumPy, SciPy и Matplotlib Python .....................................55
Настройка сетки полярных (тета – θ) и азимутальных (фи − φ) углов ......55
Раскраска нарисованной поверхности вещественных функций 
сферической гармонической функции (Y) ....................................................56
Определение функции, отображающей набор осей x, y, z и задающей 
заголовок фигуры ..............................................................................................56
Определение функции, которая вычисляет действительную форму 
сферической гармонической функции (Y) ....................................................57
Определение функции, отображающей функции пространственных 
волн для диапазона значений квантового числа углового момента 
и магнитного квантового числа ......................................................................57
Пространственные волновые функции атома водорода .............................58
Вопросы для рассмотрения ..............................................................................58
2.1.2. Учет моментов с использованием коэффициентов  
Клебша–Гордана (CG) ............................................................................................58
Использование коэффициентов CG с Python SymPy ....................................59
Импорт модуля коэффициентов SymPy CG ...................................................59
Определение коэффициента CG и оценка их значений ..............................59
Пространственные волновые функции различных состояний атома  
азота с тремя p-электронами ...........................................................................63
Пространственно-волновая функция основного состояния атома  
азота с тремя p-электронами в L = 0, M = 0 ....................................................64
Настройка словаря из шести конфигурационных кортежей ......................64
Определение функции, которая вычисляет произведение 
коэффициентов CG ............................................................................................65
Вычисление и печать коэффициентов CG .....................................................65
Определение набора пространственных волновых функций ....................66

 Содержание

Вычисление волновой функции атома азота тремя p-электронами  
(L = 0, M = 0) .........................................................................................................66
Демонстрация волновой функции стандартного состояния атома  
азота с тремя p-электронами (L = 0, M = 0) ....................................................67
2.1.3. Общая формулировка принципа исключения Паули (PEP) ..................67
2.2. Постулат 2. Амплитуда вероятности ................................................................73
2.2.1. Вычисление радиальных волновых функций .........................................74
2.2.2. Амплитуда вероятности для аниона водорода (H−) ................................76
2.3. Постулат 3. Измеряемые величины и операторы ..........................................78
2.3.1. Оператор Эрмита .........................................................................................79
Запись матриц как суммы внешних произведений.....................................80
2.3.2. Унитарный оператор ...................................................................................81
2.3.3. Матрица плотности и смешанные квантовые состояния .....................81
2.3.4. Использование операторов места (rˆix, rˆiy, rˆiz) .............................................83
2.3.5. Использование  операторов импульса (pˆx, pˆy, pˆz) .....................................84
2.3.6. Использование кинетической энергии с операторами  
кинетической энергии (Tˆx, Tˆy, Tˆz)  ......................................................................85
2.3.7. Использование потенциальной энергии с операторами  
потенциальной энергии (Vˆx, Vˆy, Vˆz)  .....................................................................87
2.3.8. Использование операторов общей энергии (Eˆx, Eˆy, Eˆz) ...........................89
2.4. Постулат 4. Независимые от времени стационарные состояния ................89
2.5. Постулат 5. Эволюция во времени, уравнение Шрёдингера.........................90
Вопросы .......................................................................................................................90
Ответы .........................................................................................................................90
Ссылки к главе ............................................................................................................91

Глава 3. Квантовая модель вычислений ..................................................92
Технические требования ...........................................................................................94
Установка NumPy, Qiskit, QuTiP и импорт различных модулей .....................94
3.1. Кубиты, запутанность, сфера Блоха, матрицы Паули ....................................95
3.1.1. Кубиты ...........................................................................................................96
3.1.2. Тензорное упорядочивание кубитов ........................................................96
3.1.3. Квантовая запутанность .............................................................................97
3.1.4. Сфера Блоха ..................................................................................................97
3.1.5. Отображение вектора Блоха, соответствующего вектору  
состояния ................................................................................................................99
3.1.6. Матрицы Паули ..........................................................................................101
Измерение в базисе знаков {|+⟩, |−⟩} ..............................................................103
Разложение матрицы на взвешенную сумму тензорного  
произведения матриц Паули .........................................................................104
3.2. Квантовые затворы ...........................................................................................105
3.2.1. Однокубитные квантовые затворы .........................................................106
X-затвор ............................................................................................................106
Затвор Адамара (H) .........................................................................................106
Общий однокубитный квантовый затвор ...................................................107
Сводка по квантовым затворам с одним кубитом и полезным 
соотношениям .................................................................................................107

Содержание  9

3.2.2. Двухкубитные квантовые затворы .........................................................109
3.2.3. Трехкубитные квантовые затворы ..........................................................109
3.2.4. Последовательные линейные затворы и параллельные  
квантовые затворы ..............................................................................................109
3.2.5. Создание состояния Белла ........................................................................110
3.2.6. Параллельные затворы Адамара .............................................................113
3.3. Вычисляемая интерференция .........................................................................114
3.3.1. Процесс квантовых вычислений .............................................................115
3.3.2. Моделирование интерферометрического зондирования  
квантовой суперпозиции состояний левого и правого энантиомеров .......115
3.4. Подготовка перестановки симметричного или антисимметричного 
состояния  ..................................................................................................................118
3.4.1. Создание случайных состояний ..............................................................118
3.4.2. Создание квантовой схемы и инициализация кубитов .......................119
3.4.3. Создание схемы, которая обменивается двумя кубитами 
с управляемым затвором обмена ......................................................................119
Программирование действия унитарного обмена ....................................120
Вычисление конечного состояния, когда контрольный кубит |q0⟩  
измерен в состоянии |0⟩ ..................................................................................121
Вычисление конечного состояния, когда контрольный кубит |q0⟩  
измерен в состоянии |1⟩ ..................................................................................122
3.4.4. Поствыбор контрольного кубита в процессе получения  
требуемого состояния .........................................................................................122
3.4.5. Примеры конечных симметричных и антисимметричных  
состояний ..............................................................................................................125
Эксперимент по созданию симметричного состояния  
из состояния |10⟩ ..............................................................................................126
Эксперимент по созданию антисимметричного состояния  
из состояния |10⟩ ..............................................................................................127
Эксперимент по созданию симметричного состояния из кубитов, 
инициализированных случайными состояниями .....................................128
Эксперимент по созданию антисимметричного состояния  
из кубитов, инициализированных случайными состояниями ................129
Эксперимент по созданию симметричного состояния из состояния  
Белла |Φ+⟩ ..........................................................................................................130
Ссылки к главе ..........................................................................................................132

Глава 4. Молекулярный гамильтониан ...................................................133
Технические требования .........................................................................................134
Установка NumPy, Qiskit и импорт различных модулей ................................135
4.1. Приближение Борна–Оппенгеймера .............................................................137
4.2. Пространство Фока ...........................................................................................139
4.3. Операторы создания и уничтожения фермионов .......................................142
4.3.1. Оператор создания фермионов ...............................................................142
4.3.2. Оператор уничтожения фермиона .........................................................143
4.4. Молекулярный гамильтониан в основе орбиталей Хартри–Фока ............143
4.5. Базовые наборы .................................................................................................145

 Содержание

4.5.1. Орбитали слейтерского типа ...................................................................145
4.5.2. Орбитали гауссова типа ............................................................................147
4.6. Конструирование фермионного гамильтониана с помощью Qiskit  
Nature .........................................................................................................................149
4.6.1. Конструирование фермионного оператора Гамильтона  
молекулы водорода .............................................................................................150
4.6.2. Конструирование фермионного оператора Гамильтона  
молекулы гидрида лития ....................................................................................155
4.7. Сопоставления фермиона и кубита ................................................................158
4.7.1. Операторы создания и уничтожения кубитов (Qubit) .........................159
4.7.2. Преобразование Джордана–Вигнера ......................................................160
4.7.3. Преобразование четности ........................................................................161
4.7.4. Преобразование Бравого–Китаева ..........................................................162
4.8. Построение кубитного оператора Гамильтона с помощью Qiskit  
Nature .........................................................................................................................165
4.8.1. Конструирование кубитного оператора Гамильтона молекулы 
водорода ................................................................................................................166
4.8.2. Конструирование кубитного оператора Гамильтона молекулы 
гидрида лития ......................................................................................................168
Резюме .......................................................................................................................169
Вопросы .....................................................................................................................169
Ответы .......................................................................................................................169
Ссылки к главе ..........................................................................................................170

Глава 5. Вариационный алгоритм квантовых собственных  
чисел (ВАКСЧ) (VQE) ........................................................................................173

Технические требования .........................................................................................174
Установка NumPy, Qiskit, QuTiP и импорт различных модулей ...................175
5.1. Вариационный метод .......................................................................................178
5.1.1. Вариационная теорема Рэлея–Ритца .....................................................178
5.1.2. Вариационные методы Монте-Карло .....................................................179
5.1.3. Оценка квантовой фазы (QPE) .................................................................184
5.1.4. Описание алгоритма VQE (квантовых собственных чисел) ................186
Тестовая волновая функция ...........................................................................187
Настройка решателя VQE ...............................................................................188
5.2. Пример химических расчетов .........................................................................189
5.2.1. Молекула водорода (H2) ............................................................................196
Вариация водородной молекулы ..................................................................196
Вычисление основного состояния ................................................................197
Вычисление BOPES ..........................................................................................201
5.2.2. Молекула гидрида лития ..........................................................................202
Вариация молекулы гидрида лития..............................................................202
Решение для основного состояния ...............................................................202
Вычисление BOPES ..........................................................................................206
5.2.3. Макромолекула ..........................................................................................206
Решение для основного состояния ...............................................................209