Электронные процессы в твердом теле

Москва
Горячая линия – Телеком 
2021

Рекомендовано Методическим советом федерального 
государственного бюджетного образовательного 
учреждения высшего образования 
«Рязанский государственный радиотехнический 
университет» (РГРТУ) в качестве учебного пособия для 
студентов и магистрантов, обучающихся по направлениям 
11.03.04 и 11.04.04 – «Электроника и наноэлектроника»; 
аспирантов, обучающихся по направлению 03.06.01 – «Физика 
и астрономия».

УДК 538.9(075.8) 
ББК 22.37 
    Х73 

Р е ц е н з е н т ы : доктор техн. наук, профессор Д. Г. Громов; 
доктор техн. наук, профессор О. Н. Крютченко. 

Холомина Т. А. 

Х73   Электронные процессы в твердом теле. Учебное пособие для ву
зов.– М.: Горячая линия – Телеком, 2021. – 110 с.: ил. 
ISBN 978-5-9912-0764-5. 

Представлены краткие теоретические сведения и задачи по основным разделам физики электронных процессов в твердых телах. Выделен ряд взаимосвязанных частей: строение и исследование структуры 
твердых тел; основы квантовой физики; электропроводность проводников; электрофизические процессы в диэлектриках; электронные процессы в полупроводниковых материалах; кинетические явления и неравновесные процессы в твердых телах; магнитные свойства; оптические, фотоэлектрические, а также контактные явления в твердых телах. 

Для студентов и магистрантов, обучающихся по направлениям 
11.03.04, 11.04.04 – «Электроника и наноэлектроника»; аспирантов, 
обучающихся по направлению 03.06.01 – «Физика и астрономия» очной, очно-заочной и заочной форм обучения.  

ББК 22.37 

Адрес издательства в Интернет WWW.TECHBOOK.RU 

Учебное издание 

Холомина Татьяна Андреевна 

ЭЛЕКТРОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ 

Учебное пособие для вузов 

Тиражирование книги начато в 2019 г. 

 

Все права защищены. 

Любая часть этого издания не может быть воспроизведена  

в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами  

без письменного разрешения правообладателя. 

 

© ООО «Научно-техническое издательство «Горячая линия – Телеком» 

www.techbook.ru 

                                                      ©  Т.А. Холомина 

 

Посвящаю моим одноклассникам

Предисловие

Учебное пособие написано на основе лекционных курсов и практических занятий, которые на протяжении многих лет преподаются
автором студентам, магистрантам и аспирантам, обучающимся на факультете электроники Рязанского государственного радиотехнического университета по направлениям, связанным с радиоэлектроникой,
микро- и наноэлектроникой: 11.03.04, 11.04.04 «Электроника и наноэлектроника»; 03.06.01 «Физика и астрономия» очной, очно-заочной
и заочной форм обучения.
В настоящей книге освещены фундаментальные основы электронных процессов в проводниковых, полупроводниковых, диэлектрических, магнитных материалах, а также контактных явлений в твердотельных устройствах.
Физика электронных процессов в твердом теле является базовой
дисциплиной для различных спецкурсов по направлениям обучения в
области электронной техники, радиоэлектроники, микро- и наноэлектроники.
Целью учебного пособия является краткое и доступное по форме изложение учебного материала, предусмотренного программами и
действующими образовательными стандартами, формирование у обучающихся необходимых компетенций и систематических знаний в области фундаментальных принципов, определяющих особенности электронных процессов и явлений в твердых телах, как научной основы
осознанного и целенаправленного использования, в первую очередь —
полупроводников, для проектирования и создания элементов, приборов и устройств твердотельной электроники и наноэлектроники.
Одной из задач является развитие творческого мышления в процессе обучения, поэтому учебное пособие, предназначенное для проведения практических аудиторных занятий и самостоятельной работы обучающихся, содержит краткие теоретические сведения, методические рекомендации, а также задачи разной степени сложности
по каждому разделу программы. Дополнительные теоретические сведения содержатся в литературе, приведенной в библиографическом
списке. Часть задач заимствована из сборников, указанных в библиографическом списке, остальные разработаны автором пособия.
В задачи автора входит расширение научного кругозора и эрудиции обучающихся, овладение ими методами теоретического описания
и основными теоретическими моделями физики электронных процессов с четким определением границ, в пределах которых справедливы

Предисловие

те или иные физические концепции, модели, теории, фундаментальные физические закономерности, определяющие электронные свойства твердых тел.
Учебное пособие предназначается студентам старших курсов, магистрантам, аспирантам, кроме того, может быть полезно научным
сотрудникам и инженерам, работающим в научных организациях и
на производстве.
Автор выражает искреннюю благодарность сотрудникам кафедры микро- и наноэлектроники, принимавшим участие в практической
апробации книги в учебном процессе, а также рецензентам доктору
технических наук, профессору Д. Г. Громову и доктору технических
наук, профессору О. Н. Крютченко за полезные и важные советы.

Автор

Введение

Создание принципиально новых материалов и приборов требует углубленного изучения фундаментальных основ материаловедения.
Твердотельные материалы составляют большую часть окружающих
нас вещественных сред. В последние годы физика электронных процессов в твердых телах развивается особенно интенсивно, что обусловлено развитием теории и практического применения квантоворазмерных наноструктур и интеллектуальных материалов. Учебное
пособие содержит краткие теоретические сведения, расчетные соотношения, методические рекомендации и задачи разной степени сложности по ряду разделов физики твердого тела и электронного материаловедения: кристаллофизическому описанию строения и исследованию структуры твердых тел, основам квантовой физики, особенностям электропроводности проводников, электрофизическим процессам в диэлектриках, электронным процессам в полупроводниковых
материалах, кинетическим явлениям и неравновесным процессам в
твердых телах, особенностям магнитных свойств, оптическим, фотоэлектрическим, а также контактным явлениям в твердых телах. Реализация основ физики электронных процессов в материалах и структурах твердотельной электроники в конкретные проекты определяет
перспективы и тенденции разработки современных технологий и материалов.

Глава 1

Строение и исследование структуры
твердых тел

Кристаллографические системы координат, выбираемые в соответствии с симметрией кристалла, могут быть и не прямоугольными.
Кристаллическая решетка характеризуется шестью параметрами элементарной ячейки: длинами ребер a, b, c, углами α, β, γ, причем в
общем случае a ̸= b ̸= c, α ̸= β ̸= γ ̸= 90 ◦.
Для описания кристаллических многогранников и структур применяется метод кристаллографического индицирования, удобный для
всех кристаллографических систем координат, независимо от того,
прямоугольны они или косоугольны, одинаковые у них масштабные
отрезки или разные.
Серию отношений рациональных чисел m : n : p для всех параллельных плоскостей в произвольной системе координат можно представить как отношение взаимно простых чисел, так называемых параметров Вейсса.
Индексы Миллера — это величины, обратные параметрам Вейсса, приведенные к целым числам. Если параметры плоскости p, q, r,
то индексы Миллера определяются из соотношения
1
p : 1

q : 1

r = h : k : l.
(1.1)

Числа h, k, l, не имеющие общего множителя, носят название индексов Миллера плоскости. Индексы, написанные подряд, без запятых, и заключенные в круглые скобки — (h k l), называют символом плоскости. Символом (h k l) характеризуется весь набор параллельных плоскостей. Набор физически эквивалентных плоскостей
представлен символом {h k l}. В этом символе в фигурных скобках
заключена вся совокупность физически эквивалентных плоскостей,
которая может быть получена путем перестановки индексов, смены
знаков индексов.
Если плоскость параллельна какой-либо оси координат, т. е. пересекается с этой осью в бесконечности, то индекс этой плоскости по
этой оси будет 1/∞ = 0.
Индексы Миллера обладают следующими свойствами:
1) это целые, не имеющие общего множителя числа;
2) они обратно пропорциональны отрезкам, отсекаемым плоскостью от начала координат;

Строение и исследование структуры твердых тел
7

3) все параллельные плоскости обозначаются одним набором индексов Миллера;
4) если плоскость параллельна какой-либо оси, соответствующий индекс равен нулю;
5) в кристаллах кубической системы плоскость и нормаль к ней
обозначаются одинаковым набором индексов Миллера.
Согласно принципу минимизации потенциальной энергии, каждый атом твердого тела стремится взаимодействовать с максимально
большим числом соседних атомов. Структурами плотнейших упаковок
обладают кристаллы многих химических элементов. Металлы образуют, в основном, три типа решеток:
1) объемноцентрированную кубическую (ОЦК), например, α-Fe,
Na, Li, β-Ti и др.;
2) гранецентрированную кубическую (ГЦК), например, γ-Fe,
α-Ca, Ag, Au, Cu, Ni и др.;
3) гексагональную плотноупакованную (ГПУ), например, Mg,
α-Ti, Zn, β-Ca и др.
В элементарной ячейке ОЦК решетки 9 атомов (8 в вершинах
куба и 1 в центре). Каждый угловой атом входит в восемь соседних

ячеек; следовательно, на одну ячейку приходится n=8· 1

8 +1=2 атома.
В элементарной ячейке ГЦК решетки 14 атомов (8 в вершинах
и 6 на гранях куба). Каждый угловой атом входит в восемь ячеек;
каждый атом, находящийся в центре грани, входит в две соседние
ячейки; в центре ячейки атома нет. Следовательно, на одну ячейку
приходится n = 8· 1

8 +6· 1

2 = 4 атома.
В элементарной ячейке решетки ГПУ 16 атомов. Верхние центральные атомы входят в две соседние ячейки; атомы, образующие
вершины призмы, входят в шесть соседних ячеек; атомы, лежащие
внутри призмы, целиком принадлежат данной ячейке. Следовательно,
на одну ячейку приходится n = 2· 1

2 +12· 1

6 +3 = 6 атомов.
Полупроводниковые кристаллы характеризуются кристаллической решеткой типа алмаза — ГЦК элементарной ячейкой с базисом.
Внутри элементарной ячейки на расстоянии, равном четверти длины
пространственной диагонали куба, размещены четыре атома, полностью входящие в объем кубической элементарной ячейки. Таким образом, на одну ячейку приходится n = 4+4 = 8 атомов.
Волновые свойства микрочастиц обусловливают возможность их
дифракции и интерференции, которые используются в разнообразных
методах изучения структуры твердого тела. Как и для других видов излучений, длина волны которых λ соизмерима с межатомным
расстоянием твердых тел, для микрочастиц справедливо соотношение

Глава 1

Вульфа — Брегга:
2d sin θ = nλ,
n = 1, 2, . . . ,
(1.2)
где d — постоянная кристаллической решетки, θ — угол падения
фронта излучения, n — порядок дифракции.
Кратко сравним характеристики различных видов излучения.
Рентгеновское излучение — это γ-квант с нулевой массой покоя,
рассеивается на электронных оболочках атомов.
Электроны — это частицы с зарядом e, спином 1/2, массой m0,
рассеиваются на электростатическом потенциале ядра.
Нейтроны — это нейтральные частицы, масса покоя у них
1838,7m0, спин 1/2, рассеиваются на ядрах атомов и магнитных моментах электронных оболочек.
Основные области применения различных видов излучения различны.
Рентгенография используется для исследования монокристаллов
и порошков веществ, состоящих из атомов, атомные номера которых
отличаются ненамного.
Электронография используется для исследования пленок.
Нейтронография позволяет определить магнитную структуру вещества, спиновый момент и исследовать фононный спектр решетки.

Задачи

1.1. Написать индексы и символ направления, проходящего в кубической решетке через начало координат и узел с кристаллографическим символом, в двух случаях: а) [[2 4 2]]; б) [[1 1 2]].
1.2. Написать индексы направления, проходящего через узлы
[[1 0 0]] и [[0 0 1]] примитивной кубической решетки.
1.3. Написать индексы и символ направления, проходящего через два узла с кристаллографическими символами (в двух случаях):
а) [[1 2 3]] и [[3 2 1]]; б) [[1 2 1]] и [[2 0 1]].
1.4. Плоскость пересекает оси кубического кристалла в точках 3a,
2a, 2a, где a — параметр элементарной ячейки. Найти индексы и
символ Миллера этой плоскости.
1.5. Определить индексы и символ Миллера указанных на рис. 1.1
плоскостей.
1.6. Изобразить приблизительно плоскости (0 0 1), (1 1 0), (1 1 1),
(1 1 1) в кристалле кубической сингонии.
1.7. Найти индексы и символы прямых AB, CD, KL, изображенных
на рис. 1.2.
1.8. Плоскость проходит через узлы [[1 0 0]], [[0 1 0]] и [[0 0 1]]
кубической решетки. Написать индексы и символ Миллера для этой
плоскости.

Строение и исследование структуры твердых тел
9

x

y

z

a

a

a

x

y

z

a

a
a

x

y

z

a

a
a

а)
б)
в)
Рис. 1.1. К задаче 1.5

x

y

z

A

B

x

y

z

C

D

x

y

z
K

L

а)
б)
в)
Рис. 1.2. К задаче 1.7

x

y

z

2a

2a

a

x

y

z

D

a

a

a/2
2a

x

y

z

a

a
a

а)
б)
в)
Рис. 1.3. К задаче 1.9

1.9. Определить индексы и символ Миллера указанных на рис. 1.3
плоскостей.
1.10. Система плоскостей в примитивной кубической решетке задана символом Миллера (2 2 1). Найти наименьшие отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат, и изобразить эту плоскость
графически.
1.11. Определить символ вертикальной грани кристалла, если заданы отрезки OA= 8,79 см, OB = 9,44 см, отсекаемые этой гранью на
осях координат, и отношение осевых единиц a : b = 0,621 : 1.
1.12. Точкам пересечения некоторой плоскости кристалла с осями координат соответствуют числа 2, 1, 4. Найти индексы и символ
Миллера для этой плоскости и изобразить соответствующий чертеж.
1.13. Найти символ грани кристалла A′B′C′, отсекающей на осях

Глава 1

OX, OY и OZ отрезки соответственно 1/4,
√

3/2 и 2 см, если известно,
что единичная грань ABC того же кристалла отсекает на тех же осях
отрезки 1, 2
√

3 и 4 см.
1.14. По известным символам Миллера следующих граней найти
символы Миллера — Браве: (1 0 0), (0 1 0), (2 1 1), (3 2 1), (1 2 0).
1.15. Найти индексы Миллера плоскостей, проходящих через узлы
кристаллической решетки с координатами x = 9, y = 10, z = 30, если
a = 3, b = 5, c = 6.
1.16. Даны отрезки OA= 2 и OF = −3, отсекаемые вертикальной
гранью гексагонального кристалла на осях OX и OU. Определить
символ грани.
1.17. Определить индексы и символы плоскостей, проходящих через две пространственных диагонали куба.
1.18. Определить символ оси зоны (ребра), образованной гранями
дидодекаэдра (3 2 1) и (1 3 2).
1.19. С помощью рентгеноструктурного анализа установлено, что
кристалл шпинели MgAlO4 имеет параметры a = b = c = 8,11 ˚A. На
кристалле наблюдаются грани (1 1 1), (1 1 1), (1 1 1), (1 1 1) и грани,
параллельные названным. Требуется:
1) изобразить общий вид кристалла (найти облик);
2) найти символ оси зоны, содержащей грани (1 1 1) и (1 1 1);
3) найти условие принадлежности граней кристалла этой зоне;
4) определить, какие еще грани кристалла принадлежат этой зоне;
5) изобразить проекцию решетки шпинели на плоскость (0 0 1);
6) провести след плоскости (1 1 0) и нормаль к этой плоскости,
проходящую через начало координат; найти расстояние по нормали от начала координат до первой плоскости этого семейства,
выраженное в ангстремах;
7) определить углы между соседними плоскостями.
1.20. У кристалла ромбической серы грань (h k l) лежит на пересечении осей зон [2 3 0] и [0 4 1]. Были измерены следующие углы:
51 ◦28′ — между гранями (1 0 0) и (h k l); 70 ◦18′ — между гранями
(0 1 0) и (h k l). Определить индексы и символ грани (h k l), угол
между (0 0 1) и (h k l), осевые отрезки a и c, если b = 12,94 ˚A.
Указания к решению. Воспользовавшись законом Вейсса и тем, что
сумма квадратов направляющих косинусов в системе ортогональных
осей координат равна 1, т. е. cos2 ϕ+cos2 ξ+cos2 χ = 1, получим соотношение h

a : k

b : l

c = cos ϕ : cos ξ : cos χ.
1.21. Написать индексы и символ Миллера для плоскостей, содержащих узлы с кристаллографическими символами, в двух случаях:
а) [[1 1 1]], [[1 1 2]], [[1 0 1]]; б) [[1 1 1]], [[0 1 0]], [[1 1 1]]. Най