Комбинаторика, теория вероятностей и математическая статистика

В Ы С Ш Е Е  О Б Р А З О В А Н И Е 

 
 
 
 

Л.В. НАЛИВАЙКО 
Д.С. ШУНСКАЙТЕ 

 
 
 
 

КОМБИНАТОРИКА,  
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 

 

 

 

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва 

ИНФРА-М 

2024

УДК 519.2(075.8)
ББК 22.17я73 
        Н23 

ФЗ 

№ 436-ФЗ 

Издание не подлежит маркировке 

в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1 

 

Р е ц е н з е н т ы: 
М.А. Осипова, кандидат физико-математических наук, доцент Института математики 
и компьютерных технологий Дальневосточного федерального университета; 
И.Л. Елисеенко, кандидат физико-математических наук, доцент Института математики 
и компьютерных технологий Дальневосточного федерального университета 
 

 
 
 
Наливайко Л.В. 

Н23 

Комбинаторика, теория вероятностей и математическая статистика : учебное 
пособие / Л.В. Наливайко, Д.С. Шунскайте. – Москва : ИНФРА-М, 2024. – 296 с. – 
(Высшее образование). 
 
ISBN 978-5-16-112491-8 (online) 
 

В учебном пособии рассматриваются методы решения типовых задач по 
комбинаторике, теории вероятностей и математической статистике. Приведены примеры 
для организации самостоятельной работы и для формирования домашних заданий 
и контрольных работ. 

Для студентов инженерно-технических и гуманитарных направлений подготовки 
и специальностей. Может быть полезно преподавателям при проведении практических 
занятий и контрольных работ. 
 

УДК 519.2(075.8) 

ББК 22.17я73 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-16-112491-8 (online)  
 
 
      Наливайко Л.В., Шунскайте Д.С., 2024 

Предисловие 

Цель данного пособия – оказать помощь студентам инженерно
технических и гуманитарных специальностей в изучении теоретического 
материала и овладении методов решения типовых примеров и задач по 
следующим разделам математики: комбинаторика, теория вероятностей и 
математическая статистика. 

 
Пособие содержит 16 параграфов. В каждом параграфе приводятся 

краткие теоретические сведения (основные определения, понятия, формулировки теорем, формулы), необходимые для решения задач, и большое 
число упражнений, которые могут быть использованы преподавателями 
для проведения аудиторных практических занятий и для домашних и контрольных работ. В пособии приведены ответы для всех упражнений. Это 
позволит преподавателям значительно упростить проверку домашних заданий и контрольных работ студентов. 

 
Для многих упражнений в пособии приведены решения с подробны
ми комментариями, которые помогут студентам самостоятельно проверять 
полученные решения задач, лучше понять и усвоить теоретический материал. 

 
В пособии приводится список литературы, в который вошли издания, 

использованные при создании пособия, и учебники, содержащие теоретический материал, который будет полезен студентам при решении задач.  

 

 

 

 

 

 

 

 

Элементы комбинаторики 

§ 1. Правила комбинаторики 

Комбинаторика изучает методы определения числа подмножеств 

данного множества, удовлетворяющих заданным условиям.  

Правило сложения. Если объект а  (элемент множества А) можно 

выбрать 
1n  способами, объект b (элемент множества B) можно выбрать 

2
n  способами, и ни один из способов выбора а  не совпадает со способом 

выбора b (а  и b не могут быть выбраны одновременно, то есть множества 
А и B не пересекаются), тогда выбор одного из этих объектов (выбор 

только а  или только b) можно осуществить  N 
1
2
n
 n
 способами.  

Если два действия взаимно исключают друг друга, и одно из них 

можно выполнить 
1n  способами, а другое – 
2
n  способами, то выполнить 

одно, любое из этих действий, можно N 
1
2
n
 n
 способами. 

Если элемент а  множества А можно выбрать 
1n  способами, эле
мент b множества B можно выбрать 
2
n  способами, тогда выбор а или b, 

или а  и b можно осуществить N 
1
2
3
n
n
n


 способами, где 3
n  – чис
ло случаев, в которых выбор а  приводит к выбору b. 

Правило сложения поясняет рисунок 1, на котором точки левого кру
га изображают множество А, точки правого круга изображают множество 
B, точки части 3 изображают пересечение множеств А и B. 

 

 

 

 

A
B

Рисунок 1

1
2
3

Если элемент а  множества А можно выбрать 
1
n  способами, эле
мент b множества B можно выбрать 
2
n  способами, и элемент c  множе
ства C  можно выбрать 
3
n  способами, тогда хотя бы один из элементов: 

а , b, c  можно выбрать N 
5
7
1
2
3
4
6
n
n
n
n
n
n
n






 способами. 

4
n – число случаев, в которых выбираются элементы а  и c , 
5
n  – число 

случаев, в которых выбираются элементы а  и b, 
6
n  – число случаев, в 

которых выбираются элементы b и c , 
7
n  – число случаев, в которых вы
бираются элементы: а , b, c . Правило сложения поясняет рисунок 2, на 

котором точки левого круга изображают множество А, точки правого кру
га изображают множество B, точки третьего круга изображают множество 
C , точки части 7 изображают пересечение множеств: А, B и C . 

 

 

 

 

 

 

Если элемент 
1a  множества 
1
А  можно выбрать 
1
n  способами, эле
мент 
2
a  множества 
2
А  можно выбрать 
2
n  способами, элемент 3
a  множе
ства 
3
А  можно выбрать 
3
n  способами, …, элемент 
k
a  множества 
k
А  

можно выбрать 
k
n  способами, и среди способов выбора элементов: 
1a , 

…, k
a  нет совпадающих (множества: 
1,
,
k
А
 А
 попарно не пересекают
Рисунок 2

A
B

C

1
2

3

4

5

6

7

ся), тогда выбрать один из этих элементов  (выбрать 
1a , или 
2
a , …, или 

k
a ) можно N 
1
2
...
k
n
n
n



 способами. 

Правило произведения. Если объект а  (элемент множества А) 

можно выбрать 
1
n  способами, и после выбора объекта а  объект b (эле
мент  множества B) можно выбрать 
2
n  способами, тогда выбрать оба 

объекта а  и b в указанном порядке (выбрать пару объектов (а ,b) ) можно 

1
2
N
n
n


 способами.  

Если элемент 1a  множества 
1
А  можно выбрать 
1
n  способами, после 

выбора элемента 1a  элемент 
2
a   множества 
2
А  можно выбрать 
2
n  спосо
бами, после выбора элементов 
1a  и 
2
a  в указанном порядке элемент 
3
a  

множества 
3
А  можно выбрать 
3
n  способами, …, и после выбора элемен
тов: 
1a , 
2
a , 
, 
k 1
a   в указанном порядке элемент 
k
a  множества 
k
А  

можно выбрать 
k
n  способами, тогда k  элементов: 1a , 
2
a , 
, k
a  в ука
занном порядке можно выбрать N 
1
2 ...
k
n
n
n



 способами. 

Если первое действие можно выполнить 
1
n  способами, второе дей
ствие – 
2
n  способами, третье действие – 
3
n  способами, …, действие с но
мером k – 
k
n  способами, тогда все k действий вместе могут быть выпол
нены N 
1
2 ...
k
n
n
n



 способами. 

Правило дополнения. Число элементов множества А, удовлетво
ряющих заданному условию, равно 
1
2
n
n
n


, где n  –  число всех эле
ментов множества А, 
2
n  – число элементов множества А, не удовлетво
ряющих заданному условию. 

Упражнения 

1. Из колоды, в которой 36 карт, выбирают одну карту. Сколько существует способов для выбора: а) дамы или короля, б) дамы или карты пиковой 
масти, в) дамы или карты черной масти? 

2. Сколько существует способов для выбора двух карт из колоды, в которой 36 карт: туза и дамы красной масти? Выбранная карта в колоду не возвращается. 

3. Из города А в город В ведут 5 дорог, из города В в город С – 3 дороги, 

из города А в город D ведут две дороги, из города D в город С – 4 дороги. 

Сколько существует способов для выбора пути из города А в город С? 

4. Сколько существует трехзначных чисел, составленных из цифр, среди 
которых есть хотя бы одна цифра 5? 

5. Сколько двузначных нечетных чисел можно составить из цифр: 1, 2, 3, 4, 
если цифры числа не могут повторяться? 

6. Сколько существует четырехзначных чисел таких, что любые две соседние цифры числа различные? 

7. Сколько существует четных четырехзначных чисел, составленных из 
цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, если цифры числа не повторяются? 

8. Сколько существует нечетных четырехзначных чисел, составленных из 
цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, содержащих хотя бы две одинаковые цифры? 

9. Сколько существует способов для выбора 4 карт из колоды, в которой 36 
карт: по одной карте каждой масти, если выбранные карты должны быть 
разного значения? Выбранные карты в колоду не возвращаются. 

10. Бросают две игральные кости: белую и черную. Сколько существует 
результатов такого эксперимента, если сумма выпавших очков должна 
быть: а) равна 8, б) больше 4? 

11. Сколько существует способов для выбора 5 карт из колоды, в которой 
36 карт, если выбранные 4 карты должны быть одинаковыми по значению? 
Выбранные карты в колоду не возвращаются.  

12. Сколько существует способов для выбора 3 студентов для участия в 
конференции из 4 студентов первого курса, 5 студентов второго курса и 6 
студентов третьего курса, если на конференции должны быть представители этих трех курсов? 

13. Сколько существует способов для выбора 2 карт из колоды, в которой 
36 карт: туза и карты такой масти, какую имеет выбранный туз? Выбранная карта в колоду не возвращается.  

14. Кодовый замок состоит из трех дисков. На первом диске размещены 3 
различные буквы русского алфавита, на втором диске – 5 различных цифр, 
на третьем диске размещены 4 различные буквы греческого алфавита. 
Сколько существует возможных кодов для замка? 

15. Сколько существует двузначных чисел, которые не делятся на 20? 

16. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых: а) нечетные, б) нечетные и различные? 

17. Сколько существует трехзначных чисел, которые состоят из цифр: 0, 2, 
3, 5, 7, если: а) цифры числа могут повторяться, б) цифры числа не могут 
повторяться, в) числа делятся на 5? 

18. Сколько существует трехзначных чисел, которые состоят из цифр: 0, 1, 
2, 3, 4, если: а) числа четные, б) числа делятся на 5, и цифры числа не могут повторяться? 

19. Сколько существует четырехзначных чисел, которые состоят из цифр: 
0, 1, 2, 3, 4, 5, если: а) цифры числа могут повторяться, б) цифры числа не 
могут повторяться, в) числа делятся на 5, г) цифры числа – нечетные,        
д) числа – четные и делятся на 5? 

20. Из колоды, в которой 36 карт, сначала вынимают одну карту, затем вынимают вторую карту. Сколько существует возможных результатов такого 
эксперимента, если: а) первая выбранная карта возвращается в колоду перед выбором второй карты, б) первая выбранная карта не возвращается в 
колоду? 

 

§ 2.  Перестановки 

Предположим, есть множество А, содержащее n  различных элемен
тов: 


1
, 2
,
, n
a a
a
A 
. Перестановками n  различных объектов: 
1,
a

2,
, n
a
a  (элементов множества А) называют множества, состоящие из 

n  различных  объектов: 
1
, 2
,
, n
a a
a ,  отличающиеся порядком распо
ложения объектов на n  различных местах: 1 2
,
,
,n. 

Пример 2.1. Перестановками объектов: , ,
а b c являются множества:  

 

1 2 3
, ,
, ,
а b с









,  

1 2 3
, ,
, ,
b а с








,  

1 2 3
, ,
, ,
а с b









,  

1 2 3
, ,
, ,
b с а








,  

1 2 3
, ,
, ,
с а b









,  

1 2 3
, ,
, ,
с b а









.  

При получении перестановок из n  объектов: 
1
, 2
,
, n
a
a
a  на пер
вое место можно поставить любой из n  объектов (существует n  способов 
для выбора объекта). На второе место можно поставить любой из n  объектов, за исключением выбранного (существует 
1
n   способов для выбора 

объекта). На третье место можно поставить любой из n  объектов, за исключением выбранных двух (существует  
2
n   способов для выбора объ
екта), и так далее. На 
1
n   место можно поставить один из двух не вы
бранных объектов (существует 2 способа для выбора объекта). На n  место 
необходимо поставить последний не выбранный объект (1 способ). Применяя правило произведения, получаем формулу для числа перестановок 

из n  различных объектов: 
1
2
2 1
(
) (
)
Рn
n
n
n






  . 

Если 
1
n  , то произведение первых n  натуральных чисел равно  

1 2 3
1
2
1
1
!
(
)
(
)! (
)
(
)!
n
n
n
n
n
n
n
n
   











. Таким образом, 

число перестановок n  различных предметов, расположенных на n  местах 

( с номерами: 1 2
,
,
,n ), равно: 
!
Рn
 n
 (эн факториал, 0
! 1
 ,
1
1
! ). 

Пример 2.2. Число перестановок элементов множества 

, , 
A  a b c
 

равно:  
3
3
1 2 3
6
Р  !
   
. 

Предположим, есть множество А, содержащее k различных элемен
тов: 
1
, 2
,
, k
a a
a . Элемент 
1
a  в множестве А повторяется 
1
n  раз, эле
мент 
2
a  повторяется 2
n  раз, …, элемент k
a  повторяется k
n  раз: 



1
1
2
2

1
2

,
,
,
,
,
,
,
,
,
k
k

n
n
nk

a
a
a
a
a
a
A 
,   1
2
k
n
n
n
n




.  

Перестановки элементов такого множества А называют перестановками с 

повторениями.  

Пример 2.3. Перестановками элементов множества 

, , , 
A  a a b c
 являют
ся множества:  

1 2 3 4
, , ,

, , ,
а a b с









, 

1 2 3 4
, , ,

, , ,
b c a a








, 

1 2 3 4
, , ,

, , ,
c b a a








, 

1 2 3 4
, , ,

, , ,
а а с b









, 

1 2 3 4
, , ,

, , ,
b а a с








, 

1 2 3 4
, , ,

, , ,
с а a b








, 

1 2 3 4
, , ,

, , ,
b а с а








, 

1 2 3 4
, , ,

, , ,
с а b а








, 

1 2 3 4
, , ,

, , ,
а b a с









, 

1 2 3 4
, , ,

, , ,
а с a b









, 

1 2 3 4
, , ,

, , ,
а b с а









,      

1 2 3 4
, , ,

, , ,
а с b а









. 

Число перестановок n  элементов множества A равно 
!
Рn
 n
. Из 

этого числа надо исключить одинаковые варианты. Переставляя элементы 

1
a  множества 


1
1
2
2

1
2

,
,
,
,
,
,
,
,
,
k
k

n
n
nk

a
a
a
a
a
a
A 
, и оставляя 

на своих местах элементы: 
2
, 3
,
, k
a
a
a , получим 
1
1
!
Рn
 n
 одинаковых 

вариантов. Для исключения таких повторяющихся вариантов надо число 
перестановок 
!
Рn
 n
 всех элементов множества A разделить на число 

повторений 
n1!
. Аналогично, переставляя только элементы 
2
a , получим 

n2!
 одинаковых вариантов, …, и, переставляя только элементы k
a , полу