Функции комплексного переменного

    А. А. ТУГ АНБАЕВ
    ФУНКЦИИ
    КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Учебное пособие

-е издание, стереотипное




Москва Издательство «ФЛИНТА» 2024

УДК 517.53/55(075.8)
ББК 22.162я73
     Т81






    Туганбаев А.А.
Т81   Функции комплексного переменного : учеб. пособие /
А.А. Туганбаев. - 3-е изд., стер. - Москва : ФЛИНТА, 2024. - 48 с. - ISBN 978-5-9765-1406-5. - Текст : электрон
   ный.

       В книге рассмотрен следующий важный раздел математики: функции комплексного переменного. Книга соответствует программам курсов математического анализа для студентов различных нематематических специальностей и может выполнять функции учебника, задачника, решебника и сборника контрольных заданий.
       Для студентов и преподавателей нематематических факультетов высших учебных заведений.



                                            УДК 517.53/55(075.8)
                                            ББК 22.162я73





Учебное издание


Туганбаев Аскар Аканович

   ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО


Учебное пособие



Подписано к выпуску 25.03.2024.
Уч.-изд. л. 1,96.
Электронное издание для распространения через Интернет.

        ООО «ФЛИНТА», 117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17-Б, офис 324.
Тел.: (495) 334-82-65; (495) 336-03-11.
E-mail: flinta@mail.ru; WebSite: www.flinta.ru



ISBN 978-5-9765-1406-5

         © Издательство «ФЛИНТА», 2022
         © Туганбаев А.А., 2022

    Оглавление


    1. Краткиесведенияпотеории                  4

    2. Задачискраткимирешениями                13

    3. Задачи                                  30

    4. Контрольныевопросыизадания              35

    5. Справочныйматериал                      44


3

Краткие сведения по теории


    1. Краткие сведения по теории


   Через С обозначается множество всех комплексных чисел z = х + /А/. где х = Re г G R - действительная часть числа г, у = Im г G IR - мнимая часть числа г, г - символ, называемый мнимой единицей, г² = —1, причем комплексные числа складываются и умножаются по правилам


             + ^2 = (Ж1 + гг/1) + (ж₂ + гг/₂) = («1 + «2) + i(yi + 1/г), ziz₂ = (®i + гг/1)(ж₂ + Д/2) = (®1®г - У1У2) + г(жхг/₂ + 1/1«г)•

   Комплексные числа z = ж + iy изображаются точками комплексной плоскости С с декартовыми координатами (ж; г/), \z\ = д/ж² + г/² - модуль числа z, т.е. расстояние от точки z до начала координат О, \z\  0 при z 0. Считаем, что IR С С,
   полагая ж = ж + гО, т.е. действителвная осв Ох вкладывается в комплексную плоскоств. Если г = ж-|-гг/£Сиж,г/£1й,то число г = ж — iy называется сопряженным к z, z~z = ж² + у² = |г|² G R. Точки г и г на плоскости С симметричны относителвно оси Ох. Деление на ненулевые комплексные числа производится по правилу


        fl

Z2

ZjZ₂

Z2Z2

  ¹ т , ■                   \    «1^2 + 1/11/2
|-^(«1 + гУ1)(х2 - гу₂) =            ₂      ₂
I z2 |                              «2 Т У2

,г/1Ж₂ - хру₂
+ г-----2~i----2~
«2 + У2

1.1.  z = z, zₓ ± г₂ = zi ± г₂, ZiZ₂ = zₓ z₂;

|г|= |г|, |^i ± г₂| < |^i| + |г₂|, |^i^₂| = |zi||4

Z\

Z2

Ы
Ы’

Если p,<f> ~ полярные координаты точки z = ж + iy комплексной плоскости, то |г| = р, а полярный угол <р, определенный с точноствю до 2тг/г (k G Z), называется аргументом числа г и обозначается Arg г. Значение <р, лежащее в полуинтервале (—7Г,тг] называется главным значением аргумента числа г и обозначается через arg г, причем Arg г = arg г + 2як, к Е Z. Ясно, что ж = \z\costp, у = \z\sintp. Для любого у G К. через егу обозначим число cos у + i sin у G С, где |егу| = cos² у + sin² у = 1. Для числа z = ж + iy имеются записи в виде z = |z|(cos <р + i sin <р) и z=\z\elⁱp, называемые тригонометрической и показательной формами числа z. При этом записв z = ж + iy называется алгебраической формой числа z.

Краткие сведения по теории

5

1.2.  Z₁z₂ = l^le^l^le’*’² = ЫЫе^¹⁺Ч



    - =         = Ы             г" = (|г|С>)” = \z\e‘™.
    z₂ \z₂\elⁱp²                     ⁴    ⁷

В частности, (cos р + i sin </?)ⁿ = cos пр + i sin np - формула Myaepa.
1.3. Извлечение корней из комплексных чисел.
Для любых z = |z|(cos р + i sin 0 и та G N корень n-й степени yfz = г¹//п имеет п значений, вычисляемых по формуле

  г-   Г,—Г (   + 2тг/г . .   + 2ттк\     ,
\/z = л/ \z\ I cos —--1- г sin----I , к = 0,1,. . . , п — 1,
      v у п                     nJ

где yf\z\ - обычное арифметическое значение корня из |г| G R.
1.4. Показательная и логарифмическая функции. Для
всех z € С показательная функция ez задается равенством

ez ₌ ₑx+iy ₌ ₑxₑiy ₌ ₑ^cₒₛ у ₊ { ₛᵢₙ уу

Для всех логарифмическая функция Ln z задается равенствами


       Ln z = In |z| + i(<£> + 2як) = In z + i 2як, к G Z,

где In \z\ - обычное значение логарифма ненулевого числа \z\ G R и In z = In |z| + i р - главное значение логарифма. Логарифм данного числа z принимает бесконечное число значений, соответствующих разным значениям к G Z. Верна формула uv = c”Lⁿ’'. и 0.
1.5. Гиперболические, тригонометрические, обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции. Такие функции определяются равенствами


, ez + e z ch г = ----------             2

Pz _ P~z
Sh£= -----—
         2

sh z          ch г
th г = ——, cthz = ——, ch г                sh г

cos z = ch(iz) =

eⁱz + e~ⁱz
2

eⁱz — e~ⁱz
sin г = —i sh(iz) = ------------               V ’ 2i

Arcsinz = —i Ln(iz + л/1 — z²), Arshz = Ln(z + -\A² + 1), Arccosz = — i Ln(z + \/z² — 1), Arch г = Ln(z + \/z² — 1),

Arctgz = — Ln L

л a ¹ т ¹ + *
Artn z = — Ln------2    1 - z

г — z

г + z ’