Математический анализ : Ряды

    А. А. ТУГ АНБАЕВ


    МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

    РЯДЫ


Учебное пособие

5-еиздание,стереотинное




Москва Издательство «ФЛИНТА» 2024

   УДК 517.52(075.8)
   ББК 22.161я73
        Т81





       Туганбаев А.А.
   Т81    Математический анализ : Ряды : учеб. пособие / А.А. Туганбаев. - 5-е
        изд., стер. - Москва : ФЛИНТА, 2024. - 49 с. - ISBN 978-5-9765-1405-8. -Текст : электронный.




          В книге рассмотрен следующий важный раздел математики: числовые и функциональные ряды. Книга соответствует программам курсов математического анализа для студентов различных нематематических специальностей и может выполнять функции учебника, задачника, ре-шебника и сборника контрольных заданий.
          Для студентов и преподавателей нематематических факультетов высших учебных заведений.

УДК 517.52(075.8)
ББК 22.161я73






Учебное издание


Туганбаев Аскар Аканович


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ


Учебное пособие



Подписано к выпуску 25.03.2024.
Уч.-изд. л. 2,0.


Электронное издание для распространения через Интернет. ООО «ФЛИНТА», 117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17-Б, офис 324. Тел.: (495) 334-82-65; (495) 336-03-11.
E-mail: flinta@mail.ru; WebSite: www.flinta.ru


ISBN 978-5-9765-1405-8

                © Издательство «ФЛИНТА», 2022
                © Туганбаев А.А., 2022

    Оглавление

1. Числовые ряды                                     4
   1.1. Общие свойства числовых рядов............... 4
   1.2. Признаки сравнения и интегральный признак... 7
   1.3. Признаки Даламбера, Коши и Лейбница........ 12

2. Функциональные ряды                              14
   2.1. Общие свойства функциональных рядов ....... 14
   2.2. Степенные ряды............................. 19
   2.3. Ряды Фурье................................. 28

3. Задачи для самостоятельного решения              31

4. Контрольные задания                              36

5. Справочный материал                              44

3

Числовые ряды


    1.  Числовые ряды



1.1. Общие свойства числовых рядов


1.1.1. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Общий член и ча

стичные суммы. Формальное выражение вида Д1 + Д2 + .. . + д„ + ... = Е CLni гДе {an}Xi _ бесконечный набор (не обязательно разных) чисел, п=1
называется числовым рядом (или просто рядом) с общим членом ап. (Рассматриваются также ряды Е Дп? в которых нумерация начинает-v                            n=s
п
ся не с 1, а с другого целого числа s.) Сумма Е &к первых п членов к=1
ряда называется п-й частичной суммой данного ряда и обозначается ОО
через Sₙ. Ряд Е ап называется сходящимся, если существует конечный п=1
предел S = lim Sₙ последовательности Sₙ частичных сумм этого ряда.

В этом случае пишут Е ап = 8 и говорят, что ряд Е ап сходится п=1                                                п=1
(к числу S), где число S называется суммой ряда Е ап- Ясно, что п—1
                              ОС
S также равно lim Sₙ_i. Ряд Е ап называется расходящимся, если п->оо                        П=1
предел lim Sₙ не существует или бесконечен (в этом случае также говорят, что данный ряд расходится). Сходимость или расходимость ряда сохраняется при изменении (например, обнулении) конечного числа членов этого ряда (хотя сумма ряда может меняться).

ОС
имея, если оба ряда Е

, причем в 1.2.5 мы

ОС
Е ап называется условно сходящимся, если он сам сходит
1.1.2. Абсолютно и условно сходящиеся, положительные и неотрицательные ряды. Ряд Е ап называется абсолютно сходящий
|д„| и Е ап сходятся П=1       71=1
позже докажем, что достаточно требовать сходимости только ряда Е |дп|, т.е., из сходимости ряда Е |дп| следует сходимость ряда п=1                             п=1
Е ап. Ряд
п=1       п=1
ся, а ряд Е |дп| расходится. Ряд п=1                             п=1
называется неотрицательным (положительным), если все его члены неотрицательны (положительны), т.е. ап 0 (ап > 0) для всех п Е N. Ряд с членами произвольных знаков также называется

ОС
Е о>п = дт + д? + ... + дп + • • •

знакопеременным рядом.

Общие свойства числовых рядов

5

      _         , 2°   1
1.1.3. Пример. Ряд —7— п=1 ЩП 
1

равна 1.

Так как ап

то

сходится и его сумма

Ё (k - i)k

1

1

1

п + 1 ’

п

1 1

1

1



Sₙ — а1 + а2 + • • • + ап — 1 —

2 ⁺ 2“з ⁺ '" ⁺ ““

Так

как
1

lim Sₙ = lim f 1
1—>oo      n—>oo у

то ряд сходится

= 1.

п= 1  । )
1.1.4. Действия над рядами. Если ряды

ОС      ОС
E aₙ и E bₙ сходятся n=l     n=l

числам А и В соответственно, то для любых чисел а и (3 ряд
Е (ска„ + (ЗЪп) сходится и его сумма равна аА + (ЗВ',
П=1

т.е. £(аап + (ЗЬп) = п=1

   ОС            ОС
а Е ап + (д Е Ьп.

п=1

п=1



п

п + 1

п + 1

и

Е

к

ОС
<1 Пусть Aₙ, Bₙ и Sₙ - n-ые частичные суммы рядов Е п=1
Е (омп + (ЗЬп) соответственно. Ясно, что Sₙ = аАп + (ЗВп. Из
П=1
пределов следует, что

ОС
Е Ъп п=1

СВОЙСТВ

lim Sₙ = lim (аАп + /ЗВП) = a lim Ап + /3 lim Вп = аА + (ЗВ. > Iv Т      iv Т                   iv Т        iv Т

1.1.5. Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится,

то его общий член стремится к нулю при ОС
lim ап 0, то ряд Е ап расходится.

<1 Если ряд Е ап сходится
п=1
lim ап = lim Sₙ — lim Sₙ-i = S — S = 0.
n—>oo   n—>oo    n—>oo
1.1.6. Пример расходящегося ряда co общим членом.

<1 Ясно, что hm —= = 0, причем при п > 2 ' п^-оо /                х      х —


п -о- оо. Поэтому если

к числу S, то

t>
стремящимся к нулю

 1.1. .1 1.1. .1
— —]= Ч—/д + • • • Ч—Ч—Ч- • • • Ч—— vl v2    vⁿ vⁿ vⁿ \/ⁿ

                               ОС
Поэтому          = +оо и ряд Е ап расходится. >

1

п

И