Задачи и упражнения по высшей математике для студентов гуманитарных специальностей

А.А. ТУГАНБАЕВ






ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ




7-и издание, стереотипное














Москва Издательство «ФЛИНТА» 2024

УДК 517.5(076.2)
ББК 22.161я73

     Т81






     Туганбаев А.А.
Т81 Задачи и упражнения по высшей математике для гуманитариев : учеб. пособие / А.А. Туганбаев. — 7-е изд., стер. — Москва : ФЛИНТА, 2024. — 400 с. — ISBN 978-5-9765-1403-4. — Текст : электронный.




        Пособие соответствует программам курсов высшей математики для студентов нематематических специальностей. Содержит задачи и примеры по следующим важнейшим разделам: пределы, производные, построение графиков, функции нескольких переменных, линейная алгебра, аналитическая геометрия, интегрирование, числовые и функциональные ряды, дифференциальные уравнения, кратные интегралы, функции комплексного переменного, теория вероятностей. Приведены основные теоретические сведения, решения типовых примеров и задач, задачи и упражнения для самостоятельной работы с ответами и решениями, а также задачи для контрольных заданий.
        Для студентов и преподавателей гуманитарных факультетов высших учебных заведений.


УДК 517.5(076.2)
ББК 22.161я73













ISBN 978-5-9765-1403-4

© Издательство «ФЛИНТА», 2022
          © Туганбаев А.А., 2022

Оглавление

1. Пределы                                                 5
   1.1. Краткиесведенияпотеории ........................5
   1.2. Задачискраткимирешениями .........................19
   1.3. Задачи .........................................2 1
   1.4. Контрольныевопросыизадания .....................2 2

2. Производные                                            34
   2.1. Краткиесведенияпотеории ........................3 4
   2.2. Задачискраткимирешениями .......................5 1
   2.3. Задачи .........................................5 6
   2.4. Контрольныевопросыизадания .....................5 8

3. Исследованиефункцийиихграфиков                         69
   3.1. Краткиесведенияпотеории ........................6 9
   3.2. Задачискраткимирешениями .......................7 5
   3.3. Задачи .........................................9 2
   3.4. Контрольныевопросыизадания .....................9 5

4. Линейнаяалгебраи
   аналитическаягеометрия                                 99
   4.1. Краткиесведенияпотеории ........................9 9
   4.2. Задачискраткимирешениями .......................117
   4.3. Задачи .........................................125
   4.4. Контрольныевопросыизадания полинейнойалгебре....................................129
   4.5. Контрольныевопросыизадания поаналитическойгеометрии ............................142

5. Функциинесколькихпеременных                          143
   5.1. Краткиесведенияпотеории ........................143
   5.2. Задачискраткимирешениями .......................146
   5.3. Задачи .........................................147
   5.4. Контрольныевопросыизадания .....................148

6. Интегрирование                                       152
   6.1. Краткиесведенияпотеории ........................152
   6.2. Задачискраткимирешениями .......................186
   6.3. Задачи .........................................194
   6.4. Контрольныевопросыизадания .....................196

3

7. Ряды                                                  205
   7.1. Краткиесведенияпотеории .........................205
   7.2. Задачискраткимирешениями ........................223
   7.3. Задачи ..........................................227
   7.4. Контрольныевопросыизадания ......................229

8. Дифференциальныеуравнения                             236
   8.1. Краткиесведенияпотеории .........................236
   8.2. Задачискраткимирешениями ........................242
   8.3. Задачи...........................................246
   8.4. Контрольныевопросыизадания ......................248

9. Кратныеинтегралыивекторныйанализ                      253
   9.1. Краткиесведенияпотеории .........................253
   9.2. Задачискраткимирешениями ........................256
   9.3. Задачи...........................................261
   9.4. Контрольныевопросыизадания ......................264

10. Функциикомплексногопеременного                       281
   10.1. Краткиесведенияпотеории ........................281
   10.2. Задачискраткимирешениями .......................288
   10.3. Задачи..........................................302
   10.4. Контрольныевопросыизадания .....................305

11. Теориявероятностейиматематическаястатистика           311
   11.1. Краткиесведенияпотеории ........................311
   11.2. Задачискраткимирешениями .......................349
   11.3. Задачи..........................................381
   11.4. Контрольныевопросыизадания .....................387


12. Справочныйматериал

394

Пределы

5

                        Памяти моих родителей Акана и Алмы Туганбаевых


1.    Пределы

1.1.  Краткие сведения по теории

Обозначения X С Y и У D X означают, что X - подмножество в У, т.е. X содержится в У; это означает, что все элементы множества X - элементы множества У. Запись х G X означает, что х - элемент множества X.
Часто используются следующие обозначения:
Ж - множество всех действительных чисел;
Ж_|_ - множество всех положительных действительных чисел;
7L и Q - множества всех целых и рациональных чисел;
N - множество всех натуральных чисел; 0! = 1; п! = 1 • 2 • ... • п, Уп G N. Подмножества в Ж называются числовыми множествами.
Через X П У и X U У обозначаются пересечение и объединение двух множеств X и У, через X \ У - множество всех элементов из X, не лежащих в У. Через 0 обозначается пустое множество, т.е. множество, в котором нет элементов. Ясно, что X \ X = 0.

А + В

Для краткости используются обозначения:

   V для всех; Я существует; X С У <=> X С У, X ф У.

Кроме того, (а, Ь), [а, Ь], [а, Ь), (а, Ь] - интервал, отрезок, левый полуинтервал и правый полуинтервал с концами а и Ь, т.е. множество таких всех чисел х, что а < х < Ь, а < х < Ь, а < х < Ь, а < х < Ь, где возможны случаи Ь = +оо и а = —сю. Промежутками называются все интервалы, отрезки и полуинтервалы (в том числе, и бесконечные).
Если жо и J > 0 - числа, то интервал (жо — б, жо + <5), задаваемый неравенством |ж — жо| < б, называется б-окрестностью точки жо и обозначается <5(жо). Множество

(ж₀ - б, Жо) и (ж₀, ж₀ + б) = (ж₀ - б, ж₀ + б) \ ж₀,

задаваемое неравенствами 0 < |ж — жо| < б, называется проколотой б-окрестностью точки жо и обозначается <5(жо).
Числовое множество X называется ограниченным снизу, если существует такое число Mi, что Mi < ж для всех ж G X. В этом случае число Mi называется нижней гранью множества X.
Числовое множество X называется ограниченным сверху, если существует такое число М>. что ж < М--> для всех ж G X. В этом случае число М2 называется верхней гранью множества X.

Пределы

Множество X называется ограниченным, если X ограниченоснизуисвер -ху, т.е. существуюттакиечисла Mi и М2, что Mi < х < М2 длявсех х G X. Ясно, чтомножество X ограниченовточноститогда , когдасущес-твуеттакоечисло М > 0, что — М < х < М длявсех х G X, т.е. |х| < М длявсех х G X.
Будемговорить , чточисло М является точнойверхнейгранъю (точной нижнейгранъю ) длямножества X, если М - верхняя (нижняя) граньдля X иникакоечисло , меньшее М (большее М), неявляетсяверхней (нижней) граньюдля X. Вэтомслучае Й1?&абпзначаетсячерез sup X (inf X) и можеткакпринадлежать , такинепринадлежатьмножеству X.
Мыбудемиспользоватьвкнигеуказанныев 1.1.1 трисвойствачисел , первоеизкоторыхназывается аксиомойточнойверхнейграни , второе -аксиомойточнойнижнейграни , атретье леммойовложенныхотрезках . Мыпринимаемсвойство 1)( аксиомуточнойверхнейграни ) вкачестве аксиомы. Тогдасвойство 2) вытекаетизсвойства 1) путемпереходакпро -тивоположномучисловомумножеству —X = {— х\х G X}. Поэтомумы считаем, что каждоеограниченноемножествообладаетточнойверхней гранъюиточнойнижнейгранъю
1.1.1. Точныеграниилеммаовложенныхотрезках
  1) Каждоеограниченноесверхунепустоечисловоемножество X об-ладаетточнойверхнейгранъю
  2) Каждоеограниченноеснизунепустоечисловоемножество Y обла-даетточнойнижнейгранъю
  3) длялюбогобесконечногонаборавложенныхотрезков
     [в1,&1] D [02,^2] 3 • • D • • • существуетхотябыоднаточка
     с, общаядлявсехотрезков [аи,&„].

<1 Можносчитать , чтовыполненысвойства 1) и 2) инадодоказатьсвойст -во 3). Обозначимчерез X и Y множествавсехточек ап и Ьп соответственно. Этимножестванепустыиограничены . Поэтомусуществуютточная верхняягрань supX иточнаянижня infy>.;EiuiM supX < inf У, то существуеттакоечисло с, что sup X < с < inf У, откуда ап < с < Ьп для всех п и с - общаяточкадлявсехотрезков [а„, Ьп]. Допустимтеперь , что sup X > inf У. Тогдасуществуеттакоечисло М, что sup X > М > inf У. Поэтомусуществуюттакие ап и Ь^, что < М < а„. Тогда < && < а„ < Ъп. Таккак < ап и < Ьп, то п < k и k < п, чегобытьнеможет . > Если X и У - дванепустыхмножестваикаждомуэлементу х G X по какому-топравилусопоставленвточностиодинэлемент у = f(x) G У, то говорят, чтона X задано отображение f, принимаюгцеезначениевмно жестве У; приэтомпишем f: X —>У,амножес тХ называется областью определения отображения f иобозначается D(f). Через Im(/) обозначает-сяподмножествов У, состоящееизвсехэлементоввида f(x) (V® G X). Множество Im(/) называется о властью значений отображения f и м о ж е т каксовпадатьс У, такинесовпадать .
Отображение f: X —> У называется взаимнооднозначным , еслидлялюбо -го у G У найдетсявточностиодинтакойэлемент х G X, что f(x) = у, такойэлемент х обозначаетсячерез /⁻¹(j/).
Длялюбоговзаимнооднозначногоотображения f: X —> У правилом
х = f~r(y) определяетсявзаимнооднозначноеотображение /⁻¹: У —> X,

Краткиесведенияпотеории

7

называемое обратным отображениемдля /, причем/⁻¹ (/(ж)) = х длявсех х £ X и /(/“¹ (j/)) длявсех у Е Y.
Еслиестьдваотображения f : X —> Y и g : Y —> Z, топравилом gf(x) = g(f(x)) определеноотображение f: X —> Z, называемое композицией отображений f и g или сложным отображением.
Если X и Y - двачисловыхнепустыхмножества , тоотображения X —> Y называются функциями (отоднойпеременной ).
Простейшимиэлементарными функцияминазываются показательная функция ах, логарифмическая функция logₐ х, степенная функция у = ха, тригонометрические функции sin®, cos, t gc,ctg x, обратныетригонометрические функции arcsin x,arccos x, a r c t^arcctg x. Элементарными функцияминазываютсявсефункции , получающиесяиз постоянных, показательных, логарифмических, степенных, тригонометри-ческихиобратныхтригонометрическихфункцийспомощьюоперацийсло жения, вычитания, умножения, деленияикомпозиции . Всеостальныефун -

кцииназываются неэлементарными.
Например, arcsin5 Зж - элементарнаяфункция , афункция f(x), где f(x) = 1 при х G Q и /(ж) = 0 при х G Ж \ Q, неэлементарна.
Функция у = /(ж) называется нечетной, если /(—ж) = — /(ж) длявсех ж G D(f), причемпредполагается , чтообластьопределения D(f) функции /(ж) симметричнаотносительноначалакоординат (т.е. —ж G D(f) для всех ж G
Функция у = /(ж) называется четной, если /(—ж) = /(ж) длявсех ж G D(f) иобластьопределения D(f) симметричнаотносительноначалакоординат . Функция у = /(ж) называется периодической, еслисугцествуеттакоечисло Т > 0, что ж + Т Е D(f) длявсех ж Е D(f) и /(ж + Т) = /(ж) длявсех ж Е D(f). Например,cos ж - четнаяпериодическаяфункция , s i и, t gc и ctg ж - нечетныепериодическиефункции .
Функция /(ж) называется строговозрастающей нанекоторомчисловом множестве D, если /(жх) < /(жг) длявсехчисел жх < жг из D.
Функция /(ж) называется строгоубывающей на D, если /(жх) > /(®г) для всехчисел жх < жг из D.
Функция /(ж) называется неубывающей на D, если /(жх) < /(^г) длявсех чисел жх < жг из D.
Функция /(ж) называется невозрастающей на D, если /(жх) > /(^г) для всехчисел жх < жг из D.
Функция у = /(ж) называется ограниченной намножестве X, еслимножес -твоеезначенийпри ж Е X ограничено, т.е. сугцествуеттакоечисло М > О, что |/(ж)| < М длявсех ж Е X.
Функция у = /(ж) называется ограниченнойпри ж —> жо, если /(ж) ог-раниченананекоторойпроколотойокрестноститочки жо, т.е. сугцеству-юттакиечисла S > 0 и М >0, что |/(ж)| < М длявсехтаких ж, что 0 < |ж — жо| <<5. Вэтомслучаебуде             6){г1)»
                                              X—
Число А называется пределом функции /(ж) пристремлении ж к ч и с л .'/у,, если длялюбогочисла е > 0 найдетсятакоечисло S > 0, что

Пределы

|/(ж) — Л| < е для всех х из проколотой 5-окрестности точки хо; в этом случае пишут lim f(x) = А.
             X —
(Заметим, что неравенство |/(ж) — Л| < е равносильно тому, что f(x) отличается от А меньше чем на е для всех х ф xq, отличающихся от жо меньше чем на 5, т.е. А — е < f(x) < А + е) для всех таких х, что 0 < |ж — ®о| < 5.) Число А называется правосторонним пределом функции f(x) при стремлении х к числу хо справа, если для любого числа s > 0 найдется такое число S > 0, что |/(ж) — Л| < е для каждого такого х, что 0 < х — xq < 5; в этом случае пишут lim f(x) = А.
             Ж->Жо +
Число А называется левосторонним пределом функции f(x) при стремлении х к числу хо слева, если для любого числа s > 0 найдется такое число S > 0, что |/(ж) — Л| < е для каждого такого х, что 0 < жо — ж < <5; в этом случае пишут lim f(x) = А.
             X —YXq —
Непосредственно проверяется, что

     существование предела lim f(x) = А равносильно тому, что оба X—
     односторонних предела lim /(ж), lim /(ж) существуют и равны X—>1Го+                         х—>Хо~
     числу А.


Число А называется пределом функции /(ж) при ж —> сю, если для любого числа s > 0 найдется такое число N > 0, что |/(ж) — Л| < е для каждого такого ж, что |ж| > N; в этом случае пишут lim /(ж) = А.
                                           ж->оо
Число А называется пределом функции /(ж) при ж —> +сю, если для любого числа s > 0 найдется такое число N > 0, что |/(ж) — Л| < е для каждого такого ж, что ж > N; в этом случае пишут lim /(ж) = А.
                                          ж-> + оо
Число А называется пределом функции /(ж) при ж —> —сю, если для любого числа s > 0 найдется такое число N > 0, что |/(ж) — Л| < е для каждого такого ж, что ж > N (—ж > N); в этом случае пишут lim /(ж) = А.
                                                    ж->-оо
Функция а(х) называется бесконечно малой функцией при ж —> жо, если lim а(х) = 0; в этом случае пишут а(х) = о(1) .
¹⁻>¹°                                   х—Ио
Функция а(х) называется бесконечно малой при ж —> сю, если lim а(х) = 0;
ж->оо
в этом случае пишут а(х) = о(1).
                            X—>оо
Непосредственно проверяется, что


     функция а (ж) бесконечно мала при ж —> жо <=>

     функция |а(ж)| бесконечно мала при ж —> жо <=>

     для любого числа е > 0 найдется такое число S > 0, что |а(ж)| < s для каждого такого х, что 0 < |ж — ж₀| < 5.


Если функции а (ж) и /3(ж) бесконечно малы при ж —> жо и lim = 1, то р(ж)
а(ж) и /3(ж) называются эквивалентными при ж —> жо бесконечно малыми
функциями, и в этом случае пишут а(х) ~ /3(ж).
                                     X—>#0
Функция /(ж) называется бесконечно большой при ж —> жо, если для любого числа М > 0 существует такое число S > 0, что |/(ж)| > М для всех

Краткие сведения по теории

9

таких х, что 0 < |ж — жо| < <5; в этом случае пишут lim f(x) = сю.
                                               X —
Функция /(ж) называется бесконечно большой при х —> жо+, если для любого числа М > 0 существует такое число S > 0, что |/(®)| > М для всех таких х, что 0 < х — жо < д; в этом случае пишут lim f(x) = сю.
                                                  г-«о+
Функция /(ж) называется бесконечно большой при х —> жо —, если для любого числа М > 0 существует такое число S > 0, что |/(ж) | > М для всех таких ж, что 0 < жо — ж < S; в этом случае пишут lim /(ж) = сю.
                                                  X—>#0 —
Функция /(ж) называется бесконечно большой при ж —> сю (соответственно при ж —> +сю, при ж —> —сю), если для любого числа М > 0 существует такое число N > 0, что |/(ж)| > М для всех таких ж, что |ж| > N (соответственно ж > N, —х > N).
Функция /(ж) называется положительной бесконечно большой при ж —> сю (соответственно при ж —> +сю, при ж —> —сю), если для любого числа М > 0 существует такое число N > 0, что /(ж) > М для всех таких ж, что |ж| > N (соответственно ж > N, —х > N).
Функция /(ж) называется отрицательной бесконечно большой при ж —> сю (соответственно при ж —> +сю, при ж —> —сю), если для любого числа М > О существует такое число N > 0, что —/(ж) > М для всех таких ж, что |ж| > N (соответственно ж > ЛГ, —ж > ЛГ).
Функция /(ж) называется непрерывной в точке жо, если предел lim /(ж)
                                                            X — существует и равен числу /(жо).
1.1.2. Если /(ж) = С - постоянная функция, то lim /(ж) = С для любой X —
точки жо- Поэтому все постоянные функции непрерывны.
<1 Возьмем любое число е > 0. Тогда |/(ж) — С| = 0 < е для всех ж и поэтому lim /(ж) = С. >
X—
Обозначая через Дж приращение ж — жо переменной ж в точке жо и через Ду приращение /(жо + Дж) — /(жо) функции у = /(ж) в точке ж, получим следующую переформулировку определения непрерывности:
     функция у = /(ж) непрерывна в точке жо в точности тогда, когда lim Ду = 0.
     △я?—>0
Можно доказать, что каждая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.
1.1.3. Ограниченность функций, имеющих предел.
Если lim /(ж) = A G R, то /(ж) ограничена при ж —> жо- Если А ф 0, то
     Х-^-Хо
функция 1//(ж) тоже ограничена при ж —> жо- В частности, бесконечно малые при ж —> жо функции ограничены при ж —> жо-
<1 Положим е = 1. Так как существует lim /(ж) = А, то найдется такое X—>Я?о
S > 0, что А — 1 < /(ж) < А + 1 для каждого такого ж, что 0 < |ж — жо| < д. Поэтому /(ж) ограничена при ж —> а. Второе утверждение доказывается аналогично при е = |Л|/2. >
1.1.4. Если функция /(ж) непрерывна в точке жо, то /(ж) ограничена при ж —> Жо-
<1 1.1.4 следует из 1.1.3 и того, что функция, непрерывная в жо, имеет предел при ж —> Жо- >

Пределы

1.1.5. Произведение a(x)-f(x) бесконечно малой при х —> жо функции а(х) на ограниченную при х —> жо функцию /(ж) бесконечно мало при х —> xq.
<1 Так как /(ж) ограничена при х —> xq, то существуют такие числа <5Д > 0 и М > 0, что |/(ж)| < М для всех таких ж, что 0 < |ж — Жо| < <51- Возьмем любое s > 0. Так как а (ж) бесконечно мала при ж —> жо, то существует £
такое <5г > 0, что |а(ж)| < — для всех таких ж, что 0 < |ж — жо| < <5г-
Обозначим через <5 наименьшее из чисел <51 и <5г- Для всех таких ж, что £
0 < |ж — жо| < <5, получаем |а(ж)/(ж)| = |а(ж)| • |/(ж)| < — • М = s. Поэто-
му а(ж)/(ж) = о(1). >
              X—
1.1.6. Пусть функция а(ж) бесконечно мала при ж —> жо- Если функция /(ж) имеет предел в точке жо (это так, например, если /(ж) непрерывна в жо или бесконечно мала при ж —> xq), то функция а(х) ■ /(ж) бесконечно мала при ж —> жо-
В частности, произведение бесконечно малой при ж —> жо функции на постоянную функцию бесконечно мало при ж —> жо-
<1 1.1.6 следует из 1.1.5, 1.1.3 и 1.1.2. >
1.1.7. Пусть С - число и существует предел lim и(х) = А. Тогда предел X—
lim С ■ и(х) существует и равен С ■ А. В частности, если функция и(х) X—
непрерывна в точке xq, то функция С ■ и(х) тоже непрерывна в точке х₀-
<1 Так как lim и(х) = А, то и(х) = А + а(х), где а(х) бесконечно мала при 1-По
ж —> жо- Тогда
С ■ и(х) = С • А + С ■ а (ж), где в силу 1.1.6 функция С ■ а (ж) бесконечно мала при ж —> жо- Поэтому lim С ■ и(х) = С • А. >


1.1.8. Если существует lim v(x) = В 0, то предел lim сущест-i-Wo v(x)
вует и равен — . В частности, если функция v(x) непрерывна в точке xq


и

<1

х

  v(xq) ± 0? mo функция . . тоже непрерывна в точке xq.
                        v\x)
Так как lim v(x) — В, то v(x) = В + /3(ж), где /3(ж) бесконечно мала при
         X—±Xq
     xq. Тогда


1
в

---——-/3(ж), где в силу 1.1.6 и 1.1.3 функция--
Bv(x)                                 Bv(

к                         гт       г ¹         1
бесконечно мала при х —> xq. Поэтому lim = —. > V(X) В
1.1.9. Сумма конечного числа бесконечно малых при х —> жо функций, домноженных на любые имеющие предел при х —> жо (например, постоянные) функции, - бесконечно малая при х —> жо функция.
<1 В силу 1.1.6 достаточно доказать, что сумма двух бесконечно малых при х —> ®о функций а(х) и Д(ж) бесконечно мала при х —> xq- Возьмем любое s > 0. Так как а(х) и Д(ж) бесконечно малы, то существуют такие д-z > 0, g                                                        в
что |а(®)| < — для всех х с условием 0 < |ж — жо | < <51 и |/3(ж)| < — для всех
х с условием 0 < |ж — жо| < <5г- Пусть <5 = min{<5i, <5г}- Для всех х с уело-g в
вием 0 < |ж — жо| < <5 получаем |а(ж) + (3(х) | < |ог(ж) | + |/3(ж) | < — + — = S.

Краткие сведения по теории

И

Поэтому а(х) + Д(ж) = о(1) . >
               X —
1.1.10. Пусть существуют пределы lim u(x) = A u lim v(x) = В. Тогда
                        X —X—^Xq
существуют пределы lim (u(x) + v(x)) = А + В, X—



        lim (w(®) • «(ж)) = А • В, X—


u(x) А lim —— = — 1-Wo v(x) В

(при В -ф 0).

< Так как lim и(х) = А и lim v(x) = В, то существуют разложения X—>#0                      Х-^-Хо
и(х) = А + а(х) и v(x) = В + /3(ж), где функции а(х) и /3(ж) бесконечно малы при х —> жо- Тогда [«(ж) + «(ж)] — (Л + В) = а(х) + /3(ж), где в силу 1.1.9 функция а(х) + /3(ж) бесконечно мала при ж —> жо- Поэтому lim (м(ж) + «(ж)) = А + В. Далее,
X—>#0


     д(ж)«(ж) — АВ = (Л + а(ж))(В + /3(ж)) — АВ = а(ж)«(ж) + Л/3(ж),

где в силу 1.1.9 функции а(ж)-у(ж) и ЛД(ж) бесконечно малы при ж —> жо-

Поэтому lim u(x)v(x) = Л • В. Если В ф 0, то в силу 1.1.8 X—

ᵣ 1        1               ¹ д¹ Л .
lim = —, откуда lim и— = А— = —. >
:-Wo v(x) В                V В В

1.1.11. Для непрерывных в точке жо функций и(х), -у(ж) функции д(ж) + д(ж)
v(x), u(x)v(x), а также (при v(xo) ф 0) непрерывны в xq. v(x)
<1 1.1.11 следует из 1.1.10. >

1.1.12. Замена бесконечно малых на эквивалентные.

Пусть а (ж) и /3(ж) - эквивалентные бесконечно малые при ж —> жо функции и существует предел lim [/3(ж)/(ж)] = Л. Тогда предел lim [а(ж)/(ж)] X—X-^-Xq существует и равен А.
<А = lim lim [Д(ж)/(ж)] = lim ^|/3(ж)/(ж) = lim [а(ж)/(ж)]. > х^-Хо р(Х) х^-Хо            Х^-Хо |_Р(Ж)     J XX q
1.1.13. Переход к пределу под знаком непрерывной функции.
Пусть функция и = <р(х) такова, что существует предел lim <р(х) = uq X—
и у = f(u) - непрерывная в точке uq функция. Тогда предел lim f(p(x)) X— существует и равен /(«о)-
<1 Возьмем любое s > 0. Так как f(u) непрерывна в точке uq, то найдется такое d > 0, что |/(м) — f(uo)| < £ для всех таких и, что 0 < |u — wq| < d. Так как lim <р(х) = uq, то найдется такое S > 0, что |^(ж) — wq| < d для X—>#0
всех таких ж, что 0 < |ж — жо| < 6. Поэтому |/(</>(ж)) — /(«о)| < £ для всех таких ж, что 0 < |ж — жо| < 6, т.е. lim f(p(x)) = /(«□)• >
X—>#0
1.1.14. Непрерывность сложной функции. Если и = ^(ж) непрерывная в точке жо функция и у = f(u) - непрерывная в точке uq = <p(xq) функция, то сложная функция у = f(<p(x)) непрерывна в точке xq.
<1 1.1.14 следует из 1.1.13 и определения непрерывной функции. >
1.1.15. Переход к пределу в неравенствах.
Пусть lim и(х) = A, lim «(ж) = В, д(ж) < «(ж) для всех ж из некоторой X—х—
проколотой 5-окрестности точки жо- Тогда А < В.

Пределы

<  1 Допустим, что А > В. Положим е =

А-В 2

> 0. Из условия и равенств

lim и(х) = А и lim v(x) = В следует, что найдется такое <51 > 0, что X —>#0           X—±Xq

< 51 < S и для всех таких х, что 0 < | ж — Жо | < <51, верны неравенства


         д(ж) < д(ж), А — s < и(х) < Л + s, В — s < v(x) < В + е.

Поэтому А —

А-В 2

< и(х) < v(x) < В +

х. Тогда

А +В 2

А-В
2

что невозможно. >

для всех рассматриваемых

1.1.16. Предел промежуточной функции. Пусть функции f(x), и(х), v(x) таковы, что и(х) < /(ж) < v(x) для всех х из некоторой проколотой окрестности точки хо и lim и(х) = lim v(x) = А. Тогда lim f(x) = А.
          X—х—х—

А + В 2

<

< 1 Из условия и равенств lim и(х) = А и lim v(x) = А следует существова-X—>#0                              X—>#0
ние такого <51 > 0, что <51 < <5 и для всех х, удовлетворяющих неравенствам
О < |® — ®о| < <51, верны неравенства


     д(ж) < f(x) < v(x), А — s < д(ж) < Л + s, А — s < «(ж) < А + s.

Поэтому А — е < /(ж) < А + е для всех таких ж, что 0 < |ж — жо| < <51- Тогда lim /(ж) = А. >
X—>#0
1.1.17. Сохранение знака функции, имеющей предел. Если существует предел lim /(ж) = А ф 0, то для любого ж из некоторой проколотой X—
окрестности жо знак числа /(ж) совпадает со знаком числа А.
<1 Так как А ф 0, то либо А < 0, либо А > 0. Рассмотрим только случай А < 0, так как случай А > 0 рассматривается аналогично. Обозначим через е число |Л/2| > 0. Тогда А + е < 0. Из определения предела следует существование такого числа <5 > 0, что А — е < /(ж) < А + е < 0 для всех ж из проколотой <5-окрестности точки жо- >
1.1.18. Сохранение знака непрерывной функции. Если функция /(ж) непрерывна в точке жо и /(жо) ф 0, то для любого ж из некоторой проколотой окрестности жо знак числа /(ж) совпадает со знаком числа /(жо). <1 1.1.18 следует из 1.1.17 и того, что lim /(ж) = /(жо) ф 0. > X—
Функция /(ж) называется непрерывной справа в точке жо, если правосторонний предел lim /(ж) существует и равен числу /(жо).
             г-«о+
Функция /(ж) называется непрерывной слева в точке жо, если левосторонний предел lim /(ж) существует и равен числу /(жо).
          X——
Из определений предела и односторонних пределов следует, что

     непрерывность функции /(ж) в точке жо равносильна тому, что /(ж) непрерывна справа и слева в точке

Из определений предела и бесконечно малой функции следуют следующие утверждения, называемые асимптотическим разложением функции, имеющей предел, и асимптотическим разложением непрерывной функции:


      lim /(ж) = А в точности тогда, когда f(x) = А + о(1);
     ¹⁻>¹°                                          х—Ио