Математический анализ

Ю.М. ПРОТАСОВ

Математический анализ

Учебное пособие

Москва 
Издательство «ФлИнта»
2024

3-е издание, стереотипное

УДК  517(075.8)
ББК  22.161я73

П 83  

     П  83

ПротасовЮ.М.
     Математический анализ : учеб. пособие / Ю.М. Протасов. —    
3-е изд., стер. — Москва : ФЛИНТА, 2024. — 164 с. — ISBN 
978-5-9765-1234-4. — Текст : электронный.

Учебное пособие отражает основное содержание второго раздела 
обще-научной  дисциплины «Математика», являющейся федеральным 
компонентом государственного образовательного стандарта высшего 
профессионального образования по специальностям «Экономика» и 
«Управление». Пособие включает материал по математическому 
анализу.
Предназначено для помощи студентам в обобщении и конкретизации 
знаний по данной дисциплине, закреплении изученного материала и 
подготовке к сдаче экзамена.

ISBn 978-5-9765-1234-4 
© Протасов Ю.М., 2021
© Издательство «ФлИнта», 2021

УДК  517(075.8)
ББК  22.161я73

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ.................................................................................................. 7

Тема1.МНОЖЕСТВА..................................................................................... 8

1.1.  Понятие множества. Способы задания множеств ..................... 8

1.2.  Операции над множествами ........................................................ 9

1.3.  Числовые множества ................................................................. 11

1.4.  точная верхняя и точная нижняя грани множества ................. 13

1.5.  абсолютная величина действительного числа ........................ 14

Тема2.ЧИСЛОВЫЕПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.................................. 17

2.1.  Понятие числовой последовательности ................................... 17

2.2.  Предел последовательности ...................................................... 17

2.3.  Существование предела у монотонной

ограниченной последовательности
(критерий Вейерштрасса) .......................................................... 18

2.4.  Число е (второй замечательный предел) ................................... 19

2.5.  Бесконечно малые (б.м.) и бесконечно большие (б.б.)

последовательности ................................................................... 20

2.6.  арифметические операции с пределами .................................. 21

2.7.  Раскрытие неопределенностей ................................................. 23

2.8.  теорема о «зажатой» последовательности ............................... 25

2.9.  лемма о вложенных отрезках ................................................... 25

2.10. лемма Больцано — Вейерштрасса ............................................ 26

Тема3.ФУНКЦИЯИЕЕОСНОВНЫЕСВОЙСТВА........................ 28

3.1.  Понятие функции. Основные свойства функций .................... 28

3.2.  Классификация функций ........................................................... 32

3.3.  Преобразование графиков функций ......................................... 33

Тема4.ПРЕДЕЛИНЕПРЕРЫВНОСТЬФУНКЦИИ.............................. 41

4.1.  Понятие предела функции ......................................................... 41

4.2.  Бесконечно малые (б.м.) и бесконечно большие (б.б.)
    функции ...................................................................................... 43

4.3.  Основные теоремы о пределах .................................................. 45

4.4.  непрерывность функции ............................................................ 47

4.5.  Замечательные пределы ............................................................ 51

Тема5.ПРОИЗВОДНАЯФУНКЦИИ......................................................... 55

5.1.  Понятие производной ................................................................ 55

5.2.  Связь между непрерывностью
    и дифференцируемостью функции ........................................... 55

5.3.  Геометрический смысл производной.
    Касательная и нормаль к кривой ................................................ 56

5.4.  Механический смысл производной .......................................... 57

5.5.  Основные правила дифференцирования функций .................. 58

5.6.  Формулы дифференцирования
    простейших элементарных функций ........................................ 61

5.7.  Производные высших порядков ............................................... 63

Тема6.ДИФФЕРЕНЦИАЛФУНКЦИИ..................................................... 65

6.1.  Понятие дифференциала функции ........................................... 65

6.2.  Применение дифференциала
    в приближенных вычислениях .................................................. 67

6.3.  Понятие о дифференциалах высших порядков ........................ 69

Тема7.ОСНОВНЫЕТЕОРЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОИСЧИСЛЕНИЯ ............................... 71

7.1.  теорема Ферма ............................................................................ 72

7.2.  теорема Ролля ............................................................................. 72

7.3.  теорема Коши ............................................................................. 73

7.4.  теорема лагранжа ....................................................................... 74

7.5.  Правило лопиталя ..................................................................... 75

Тема8.ФОРМУЛАТЕЙЛОРА..................................................................... 78

8.1.  Формула тейлора для многочлена ............................................ 78

8.2.  Формула тейлора для функции ................................................ 79

8.3.  Разложение элементарных функций по формуле тейлора ..... 81

8.4.  Применение формулы тейлора
    в приближенных вычислениях .................................................. 82

8.5.  Применение формулы тейлора для вычисления пределов ..... 83

Тема9.ИССЛЕДОВАНИЕФУНКЦИЙ
ИПОСТРОЕНИЕГРАФИКОВ...................................................... 84

9.1.  Возрастание и убывание функций ............................................ 84

9.2.  Условия экстремума функций .................................................. 85

9.3.  Выпуклость и вогнутость графика функции ............................ 87

9.4.  точки перегиба ........................................................................... 88

9.5.  асимптоты графика функции ................................................... 89

9.6.  Общая схема исследования функций и построения
    их графиков ................................................................................ 91

Тема10.ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ ............................. 94

10.1. Область определения, линии и поверхности уровня ................ 94

10.2. Частные производные и дифференциал первого порядка ....... 96

10.3. Производная по направлению. Градиент .................................. 98

10.4. Экстремум функции нескольких переменных ........................ 100

10.5. Условный экстремум ................................................................ 103

Тема11.НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙИНТЕГРАЛ.............................................. 106

11.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл ........... 106

11.2. Свойства неопределенного интеграла, таблица
    интегралов простейших элементарных функций ................... 107

11.3. независимость вида неопределенного интеграла
    от выбора аргумента ................................................................. 109

11.4. Методы интегрирования функций ........................................... 110

Тема12.ОПРЕДЕЛЕННЫЙИНТЕГРАЛ................................................... 118

12.1. Понятие определенного интеграла .......................................... 118

12.2. Свойства определенного интеграла ......................................... 119

12.3. теорема о среднем .................................................................... 120

12.4. Производная интеграла по верхнему пределу ........................ 121

12.5. Формула ньютона—лейбница ................................................ 122

12.6. Геометрические приложения определенного интеграла ....... 122

12.7. несобственные интегралы ....................................................... 124

Тема13.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯ.................................... 127

13.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
    Основные понятия ..................................................................... 127

13.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
    первого порядка ........................................................................ 129

13.3. линейные дифференциальные уравнения
    второго порядка с постоянными коэффициентами ................ 138

Тема14.РЯДЫ.................................................................................................. 145

14.1. Числовые ряды .......................................................................... 145

14.2. Степенные ряды ........................................................................ 155

ЛИТЕРАТУРА ................................................................................................... 162

П р е д и с л о в и е

Учебное пособие отражает основное содержание второго раздела 
общенаучной дисциплины «Математика», являющейся федеральным 
компонентом государственного образовательного стандарта высшего 
профессионального образования по специальностям «экономика» и 
«управление».
В пособии излагаются основные вопросы математического анализа: 
введение в анализ, дифференциальное и интегральное исчисление 
функций одной переменной, дифференциальное исчисление функций 
нескольких переменных. Заключительные темы посвящены рассмотрению теории рядов и обыкновенных дифференциальных уравнений, изучение которой предусмотрено образовательным стандартом некоторых экономических специальностей. Материал приводится, как правило с полными доказательствами и снабжен примерами. Изложение 
доступно студентам нематематических специальностей, на которых и 
рассчитано данное учебное пособие.
Каждая тема заканчивается контрольными вопросами, позволяющими закрепить изученный материал. Знаком ⊗ обозначено окончание 
доказательства теоремы.

Тема 1. МНОЖЕСТВА

1.1.Понятиемножества. 
Способызаданиямножеств

Согласно так называемой интуитивной точке зрения понятие множества относится к начальным понятиям математики и поэтому не подлежит определению.
Один из создателей теории множеств немецкий математик Георг 
Кантор (1845—1918) представлял множество как «совокупностьилинаборопределенныхиразличныхмеждусобойобъектов,мыслимыхкакединоецелое».
С понятием множества мы соприкасаемся прежде всего тогда, когда 
по какой-либо причине объединяем по некоторому признаку в одну 
группу какие-то объекты и далее рассматриваем эту группу или совокупность как единое целое. например, можно говорить о множестве натуральных чисел, множестве студентов в данной аудитории и т.д. Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита.
Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами, или точками. Элементы множества обозначаются малыми буквами 
латинского алфавита.
Два множества А и В называются равными (А = В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Запись а ∈ A означает, что а является элементом множества А. то, 
что а не является элементом множества А, записывается как а ∉ А.
Если из того, что а ∈ А, всякий раз следует, что а ∈ В, то пишут 
А ⊆ В и говорят, что А входит в В, или А есть подмножество В. Если 
А ≠ В, то А есть строгое подмножество множества В, что обозначается 
как А ⊂ В.
Множества, содержащие конечное число элементов, называются 
конечными. Число элементов такого множества называется его мощностью и обозначается символом | А | или Cаrd A (от англ. cаrdinаlity — 
мощность).
Множества, содержащие бесконечное число элементов, называются 
бесконечными. например: множество натуральных чисел N, множество рациональных чисел Q, множество действительных чисел R.

В теории множеств отдельно вводится множество, которое не содержит ни одного элемента. такое множество называется пустым и 
обозначается символом ∅.
Множество U называется универсальным, если все рассматриваемые множества являются его подмножествами. например, если рассматриваются некоторые множества фигур на плоскости, то универсальным может быть множество всех точек плоскости.
Укажем два наиболее употребительных способазаданиямножеств.

1.  Множество может быть задано перечислением всех его элементов, или списком. В этом случае элементы множества записываются внутри фигурных скобок. например, А = {а1, а2, ..., аn}.

2.  Множество может быть задано описаниемсвойств его элементов. Чаще всего при этом используется запись А = {x | P(x)}, 
которая читается следующим образом: «А есть множество элементов х таких, что для них выполняется свойство Р(х)».

например, В = {x | х — натуральное число, меньшее 10}. Очевидно, 
В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Множество может быть задано обоими способами:

Х = {x | x3 – x = 0} = {–1, 0, 1}.

1.2.Операциинадмножествами

При графическом изображении множеств удобно использовать диаграммыВенна, на которых универсальное множество обычно представляют в виде прямоугольника, остальные множества в виде овалов, 
заключенных внутри этого прямоугольника (рис. 1.1).

Рис. 1.1

Суммой(объединением) нескольких множеств называется множество, состоящее из элементов, которые входят хотя бы в одно из суммируемых множеств (рис. 1.2). Операция суммирования обозначается 
символом «+» или «∪».
Объединение двух множеств можно записать

                  А ∪ В = {x | x ∈ А или x ∈ В}. 
(1.1)

Рис. 1.2

Произведением(пересечением) нескольких множеств называется 
множество, состоящее из элементов, которые входят в каждое из данных множеств (рис. 1.3). Операция пересечения обозначается символом 
«×» или «∩».
Пересечение двух множеств можно записать

                  А ∩ В = {x | x ∈ А и x ∈ В}. 
(1.2)

Рис. 1.3

РазностьюмножествАиВ называется множество тех элементов 
множества А, которые не являются элементами множества В (рис.1.4). 
Обозначается эта операция

                  А\В = {x | x ∈ А и x ∉ В}. 
(1.3)