Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Ю.М. ПРОТАСОВ

Линейная алгебра

и
аналитическая геометрия

Курс лекций
для студентов заочного отделения

Москва
Издательство «ФЛИНТА» 
2024

3-е издание, стереотипное

УДК 517.91(042.4)
ББК 22.143:151.5я73

П83

Протасов Ю.М.
    Линейная алгебра и аналитическая геометрия : Курс 
лекций для студентов заочного отделения / Ю.М. Протасов.  — 
3-е изд., стер. — Москва : ФЛИНТА, 2024. — 166 с. —            
ISBN 978-5-9765-0956-6.  — Текст : электронный.

Курс лекций отражает основное содержание первого 
раздела общенаучной дисциплины «Математика», являющейся 
федеральным компонентом Государственного образовательного 
стандарта 
высшего 
профессионального 
образования 
по 
специальностям «Экономика» и «Управление». Курс включает 
материал по линейной алгебре и аналитической геометрии.
Предназначен 
для 
оказания 
помощи 
студентам 
в 
обобщении и конкретизации знаний по данной дисциплине, 
закреплении изученного материала и подготовке к сдаче экзамена.

П83

ISBN 978-5-9765-0956-6 

УДК 517.91(042.4)
ББК  22.143:151.5я73

© Протасов Ю.М., 2021
© Издательство «ФЛИНТА» , 2021

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ  .............................................................................................6

Лекция 1. МАТРИЦЫ  ....................................................................................7
1.1. Виды матриц ..........................................................................................7
1.2. Операции над матрицами .....................................................................8
1.3. Матричная форма записи системы линейных уравнений ...............10

Лекция 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ  ......................12
2.1. Общие сведения об определителях ...................................................12
2.2. Свойства определителей .....................................................................14
2.3. Обратная матрица ................................................................................18

Лекция 3. РАНГ МАТРИЦЫ  .......................................................................21
3.1. Определение ранга матрицы ..............................................................21
3.2. Линейная зависимость строк (столбцов) матрицы ..........................23
3.3. Теорема о ранге матрицы....................................................................24

Лекция 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ  ...........................................................................................27
4.1. Основные понятия и теоремы ............................................................27
4.2. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений ....30
4.3. Однородные системы линейных алгебраических уравнений .........36

Лекция 5. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА  .............................................41
5.1. Векторы и линейные операции над ними .........................................41
5.2. Линейная независимость векторов ....................................................42
5.3. Линейное пространство и его базис ..................................................43
5.4. Переход к новому базису ....................................................................46
5.5. Евклидово пространство ....................................................................48
5.6. Ортогонализация базиса евклидова пространства ...........................51
5.7. Деление вектора в заданном отношении ...........................................53

Лекция 6. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ
ФОРМЫ  ....................................................................................................55
6.1. Линейные операторы ..........................................................................55
6.2. Собственные векторы и собственные значения линейного
оператора ..............................................................................................58
6.3. Квадратичные формы ..........................................................................62

Лекция 7. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
НА ПЛОСКОСТИ  ...................................................................................68
7.1. Уравнения прямой ...............................................................................68
7.2. Кривые второго порядка .....................................................................72
7.3. Приведение уравнения кривой второго порядка
к каноническому виду .........................................................................76

Лекция 8. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
В ПРОСТРАНСТВЕ  ................................................................................81
8.1. Уравнения плоскости ..........................................................................81
8.2. Прямая в пространстве .......................................................................84
8.3. Вычисление углов ...............................................................................88

Лекция 9. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА  ......................................................90
9.1. Арифметические операции над комплексными числами ................90
9.2. Тригонометрическая и показательная формы комплексного
числа .....................................................................................................92

Лекция 10. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ (ЗЛП)  ...........................................................96
10.1. Математическая модель ЗЛП ...........................................................96
10.2. Примеры составления математических моделей
экономических задач .........................................................................97
10.3. Формы записи ЗЛП  .........................................................................101

Лекция 11. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДОВ
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ  ........................................107
11.1. Выпуклые множества в n-мерном пространстве ..........................107
11.2. Свойства ЗЛП ...................................................................................111

Лекция 12. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ  ....................................................................117
12.1. Графический метод решения ЗЛП .................................................117
12.2. Симплекс-метод решения ЗЛП .......................................................121

Лекция 13. ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ (ДЗЛП)  ......................................................132
13.1. Формулировка и правила составления ДЗЛП ...............................132
13.2. Теоремы двойственности ................................................................134
13.3. Экономическая интерпретация решения ДЗЛП ...........................137

Лекция 14. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА (ТЗ)  .........................................141
14.1. Формулировка ТЗ  ...........................................................................141
14.2. Этапы решения ТЗ ...........................................................................143
14.3. Применение транспортной модели к решению экономических
задач ..................................................................................................148

Лекция 15. ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ  ..............155
15.1. Постановка задачи целочисленного программирования .............155
15.2. Метод Гомори ..................................................................................156
15.3. Задача о ранце ..................................................................................158

ЛИТЕРАТУРА  ................................................................................................164

ПРЕДИСЛОВИЕ

Курс лекций отражает основное содержание первого раздела 
общенаучной дисциплины «Математика», являющейся федеральным компонентом государственного образовательного стандарта 
высшего профессионального образования по специальностям экономики и управления. 
В курсе излагаются основные вопросы теории определителей, 
элементы теории матриц, теория систем линейных уравнений, векторная алгебра. Рассмотрены также основные разделы линейной 
алгебры: линейные операторы, ортогональные преобразования, 
самосопряженные операторы, квадратичная форма и приведение 
ее к каноническому виду. Включены элементы аналитической геометрии: прямая линия, плоскость, прямая в пространстве и кривые 
второго порядка. В заключительных лекциях рассмотрены модели 
линейного программирования – постановка и примеры типовых задач, теоретические основы, теория двойственности, графический, 
симплексный, венгерский методы и метод потенциалов решения задач. Метод Гомори представлен как метод целочисленного программирования.
Содержащийся в лекциях материал приводится, как правило, с 
полными доказательствами и снабжен примерами. Изложение ясное 
и доступное студентам нематематических специальностей, на которых и рассчитан данный курс лекций.
Каждая тема заканчивается контрольными вопросами, позволяющими закрепить изученный материал.
В конце книги приведена литература, на основе которой составлен данный курс лекций.
Знаком ⊗  обозначено окончание доказательства теоремы.

Лекция 1. МАТРИЦЫ

1.1. Виды матриц

При решении большого круга прикладных задач, связанных с 
изучением объектов различной природы, состояние которых описывается системой высокого порядка, часто используются методы теории матриц. С помощью матриц удается представить значительную 
часть математических моделей, например экономических объектов 
и процессов, в достаточно простой, а главное, компактной форме.
Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами, а для 
обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с 
двойной индексацией: aij, где i – номер строки, j – номер столбца.

Например, 
3
5
8
1
0
2
A
⎛
⎞
= ⎜
− ⎟
⎝
⎠

 – матрица размера 2×3, элемент 

а12 = 5, элемент а23 = -2.
Две матрицы одного размера называются равными, если они 
совпадают поэлементно.
Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицейстрокой, а из одного столбца – матрицей-столбцом.
Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее 
строк равно числу столбцов и равно n.
Элементы матрицы aij, у которых номер столбца равен номеру 
строки (i = j), называются диагональными и образуют главную 
диагональ матрицы. 
Квадратная матрица называется треугольной, если равны нулю 
все ее элементы, расположенные ниже или выше главной диагонали. Например,

5
3
2

0
1
1

0
0
2

⎛
⎞
⎜
⎟
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

 – треугольная матрица третьего порядка.

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны 
нулю, то матрица называется диагональной. Например,

5
0
0
0
1
0
0
0
2
A
⎛
⎞
⎜
⎟
=
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

 – диагональная матрица третьего порядка.

Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные 
элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей порядка n и обозначается буквой Е. Например,

1
0
0
0
1
0
0
0
1
E
⎛
⎞
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

 – единичная матрица третьего порядка.

Матрица любого размера называется нулевой матрицей, если 
все ее элементы равны нулю:

0 = 

0
0
...
0
0
0
...
0
...
...
...
...
0
0
...
0

⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

.

1.2. Операции над матрицами

Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд 
операций. Некоторые из этих операций аналогичны операциям над 
числами, а некоторые – специфические.

1) Произведением матрицы А на число λ называется матрица 
В = λА, элементы которой bij = λaij для i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n.
 Следствие: общий множитель всех элементов матрицы можно 
выносить за знак матрицы. Например, 

2
6
10
1
3
5
2
32
2
0
16
1
0
⎛
⎞
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

.

В частности, произведение матрицы А на нуль есть нулевая матрица, т.е. 0·А = 0.

2) Алгебраической суммой двух матриц А и В одинакового 
размера m×n называется матрица С = А ± В, элементы которой сij = 
aij ± bij для i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n. Например, в частном случае 
А + 0 = А.

3) Умножение матриц А и В определено только тогда, когда 
число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Если это 
условие выполняется, то произведением матриц А и В называется 
матрица С, каждый элемент которой равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В, т.е. вычисляется по формуле: 
1 1
2
2
...
ij
i
j
i
j
in
nj
c
a b
a b
a b
=
+
+
+
.
Например,

2
1
1
4
0
3 10
3
3
6
5
2
3
33
0
18
−
−
−
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎛
⎞
⋅
=
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟
−
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎝
⎠

.

Переместительный закон умножения для матриц, вообще говоря, не выполняется, т.е. АВ ≠ ВА.
В частном случае переместительный закон может выполняться, 
например, при умножении квадратной матрицы А n-го порядка на 
единичную матрицу того же порядка Е, причем это произведение 
равно А:

АЕ = ЕА = А.
Таким образом, единичная матрица играет при умножении матриц ту же роль, что и число один при умножении чисел.

Матрицы, для которых выполняется переместительный закон, 
т.е. АВ = ВА, называются перестановочными.

4) Транспонирование матрицы осуществляется путем замены строк столбцами. Транспонированная матрица обозначается А' 
или Ат. Дважды транспонированная матрица равна исходной, т.е. 
(Ат)т = А.

Квадратная матрица А называется симметрической, если Ат = 

А. Например, 

5
0
4
0
1
3
4
3
2
A
−
⎛
⎞
⎜
⎟
=
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝−
⎠

.

1.3. Матричная форма записи системы
линейных уравнений

Рассмотрим произвольную матрицу А размером m×n:

11
12
1

21
22
2

1
2

...
...
...
...
...
...
...

n

n

m
m
mn

a
a
a
a
a
a
A

a
a
a

⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

и матрицы-столбцы размером n ×1 и m×1 соответственно.

1

2
...

n

x
x
X

x

⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

 ; 

1

2
...

m

b
b
B

b

⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

.

Запись АХ = В приводит к равенству: