Математические методы и модели в экономике

К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 
И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ

УЧЕБНИК

Под общей редакцией доктора экономических наук, 
профессора К.В. Балдина 

Рекомендовано Редакционно-издательским советом 
Российской академии образования к исполнению
в качестве учебного пособия

3- е издание, стереотипное

Москва
Издательство «ФЛИНТА» 
2024

УДК 330.45(075.8)
ББК  65в6я73
           Б20

Б20

Балдин К.В.
Математические методы и модели в экономике : учебник / 
К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев; под общ. ред. 
К.В. Балдина. – 3-е изд., стер. – М. : ФЛИНТА, 2024. – 328 с. – 
ISBN 978-5-9765-0313-7. – Текст : электронный.
Настоящий учебник подготовлен в соответствии с Государственным 
об-разовательным 
стандартом, 
его 
федеральным 
компонентом 
по 
дисциплине «Математика» в разделе «Математические методы и модели в 
экономике». 
В 
учебнике 
рассматриваются 
теоретические 
основы 
исследования 
экономи-ческих 
операций 
с 
позиций 
методологии 
системного анализа. Представлены методы решения задач линейного, 
нелинейного, и целочисленного програм-мирования. Рассматриваются 
проблемы применения известных методов и моделей теории игр в 
разработке рациональных управленческих решений в детерминированных 
и неопределенных условиях. Представлены задачи для самостоятельного 
решения. 
Для студентов вузов, обучающихся по направлениям бакалавриата 
«Экономика», «Менеджмент».

©  К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, 
А.В. Рукосуев, 2022
©  Издательство «ФЛИНТА», 2022

УДК 330.45(075.8)
ББК  65в6я73

ISBN 978-5-9765-0313-7 

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ  ............................................................................................................ 5
1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
ЭКОНОМИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ  ......................................................... 7
1.1. Цели, задачи и принципы исследования экономических операций ....... 7
1.2. Основные понятия исследования операций ........................................... 12
1.3. Классификация методов оптимизации и их краткая характеристика .. 17
1.4. Методика проведения исследования операций ...................................... 19

2. СИСТЕМНЫЙ ПОДХОД К ОРГАНИЗАЦИИ ПРОВЕДЕНИЯ
КОМПЛЕКСНОГО ЭКОНОМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ  ........................................................ 23
2.1. Ключевые понятия системного подхода ................................................. 23
2.2. Принципы и аспекты системного подхода ............................................. 33
2.3. Системный подход к управлению методами решения задач
комплексного экономического анализа ................................................... 39

3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ  ........................................................................ 48
3.1. Постановка задачи ЛП .............................................................................. 48
3.2. Графический метод решения задач ЛП ................................................... 50
3.3. Симплекс-метод решения задач ЛП ........................................................ 56

4. ДВОЙСТВЕННОСТЬ И АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ  .............................. 68
4.1. Двойственная задача ЛП .......................................................................... 68
4.2. Анализ чувствительности задач линейного программирования .......... 73

5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ  ........................................................................ 78
5.1. Классификация методов решения задач целочисленного линейного
программирования .................................................................................... 78
5.2. Метод отсекающих плоскостей Гомори .................................................. 79
5.3. Метод ветвей и границ ............................................................................. 86

6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ  ........................................................................ 90
6.1. Вербальная и математическая постановка транспортной задачи ЛП ..... 90
6.2. Решение транспортной задачи ................................................................. 94
6.3. Практическое решение задачи оптимального планирования ............. 103

7. РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ ТРАНСПОРТНОГО ТИПА  ................... 110
7.1. Многопродуктовая транспортная задача .............................................. 110
7.2. Транспортная модель с промежуточными пунктами .......................... 113

8. ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.
СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ  ............................ 117
8.1. Экономическая и геометрическая интерпретации задачи нелинейного
программирования .................................................................................. 117
8.2. Метод множителей Лагранжа ................................................................ 124
8.3. Сетевое планирование и управление .................................................... 130

9. МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ
СО СТОХАСТИЧЕСКИМИ РИСКАМИ  ........................................... 140
9.1. Объективные критерии оценки стохастического риска ...................... 140
9.2. Субъективные критерии оценки стохастического риска  .................... 147
9.3. Примеры использования математических моделей и методов для
обоснования рискованных предпринимательских решений  ............. 162
9.4. Модели для расчета показателей риска банкротства и невозврата
кредита ..................................................................................................... 195

10. МОДЕЛИ И МЕТОДЫ РАЗРАБОТКИ РЕШЕНИЙ
ПО УПРАВЛЕНИЮ ПОВЕДЕНЧЕСКИМИ РИСКАМИ  .............. 202
10.1. Методы математического прогнозирования и оценки рисков
на основе принципа «опоры на собственные силы» ........................... 202
10.2. Модели оценки рисков на основе принципов альтернативной
индивидуальной полезности, кооперирования и «справедливого
дележа» .................................................................................................... 221
10.3. Модели оценки и управления рисками при проведении торгов
и аукционов ............................................................................................. 246
10.4. Методы снижения предпринимательского риска на основе
принципов «социальной справедливости» .......................................... 259

11. МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СНИЖЕНИЯ ПРИРОДНЫХ РИСКОВ  ... 270
11.1. Методы прогнозирования «природно-неопределенных рискованных
ситуаций .................................................................................................. 270
11.2. Классические и современные методы принятия управленческих
решений в условиях природного риска ................................................ 284
ПРИЛОЖЕНИЯ  ................................................................................................ 310
ЛИТЕРАТУРА  .................................................................................................... 324

ВВЕДЕНИЕ

Наиболее изученным разделом математического программирования является линейное программирование. Для решения задач этого 
класса разработан целый ряд эффективных методов, алгоритмов и программ. Линейное программирование представляет собой важнейшую 
часть математической дисциплины, занимающейся изучением решения экстремальных задач. В общем виде вербальная постановка задач 
линейного программирования состоит в нахождении наибольшего или 
наименьшего значения целевой функции при заданных ограничениях.
Цель данного учебника заключается в формировании у студентов 
навыков постановки задач оптимизации на вербальном и математическом уровне, а также решении задач предлагаемыми методами и соответствующей интерпретации полученных результатов. В книге использована единая общепризнанная терминология и система обозначений, 
что позволяет студентам применять методы оптимизации как средство 
обоснования управленческих решений.
Первые главы посвящены методологическим основам использования экономических операций, а также системному подходу к организации проведения комплексного экономического анализа управленческих 
решений. В последующих главах представлены методы решения задач 
линейного и целочисленного линейного программирования. С задачей 
ЛП можно сопоставить некоторую другую задачу, двойственную к исходной. В этой связи важное значение имеют методы решения двойственной задачи ЛП, а также анализ чувствительности задачи линейного программирования.
В последующих главах отражены методы решения специальных задач ЛП транспортного типа. Дальнейшее развитие получила концептуальная и математическая постановка оптимального планирования однопродуктовой и многопродуктовой транспортной задачи. Представлены 
методы и модели нелинейного программирования, сетевого планирования и управления, теории игр и системы массового обслуживания. Приведены технологии разработки и принятия эффективных управленческих 
решений в условиях определенности, а также в условиях вероятностной, 
поведенческой и природной неопределенностей.
Введение и главы: 1, 2, 9, 10 написаны К.В. Балдиным, а главы: 3, 
4, 5, 6 – А.В. Рукосуевым. В.Н. Башлыковым написаны главы 7, 8, 11.

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

ДЗЛП –  двойственная задача линейного программирования
ЗЛП  
–  задача линейного программирования
ДП  
–  динамическое программирование
ИО  
–  исследование операций
КЭА 
– комплексный экономический анализ
ЛП  
–  линейное программирование
ЛПР  
–  лицо принимающее решение
МТС  –  материально-технические средства
НДБР  –  начальное допустимое базисное решение
НЛП  –  нелинейное программирование
ОДР  
–  область допустимых решений
ОФ  
–  ограничивающая функция
ПЗЛП  –  прямая задача линейного программирования
ППП  –  пакет прикладных программ
ПЭВМ  –  персональная электронно-вычислительная машина
СМ  
–  симплекс-метод
СПУ  
–  сетевое планирование и управление
ТЗЛП  –  транспортная задача линейного программирования
ТПР 
– теория принятия решений
ТМО  –  теория массового обслуживания
ЦЛП  –  целочисленное линейное программирование
ЦФ  
–  целевая функция
ЭВМ  –  электронно-вычислительная машина
ЭВТ  
–  электронно-вычислительная техника
ЭИС  
– экономическая информационная система

1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
ЭКОНОМИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ

1.1. Цели, задачи и принципы исследования 
экономических операций

Исследование операций как самостоятельное научное направление возникло из потребностей наилучшей организации экономических операций, а также прогнозирования их результата при принятии 
руководством различных решений. Однако с течением времени стало 
очевидно, что подобные организационные задачи (согласования, упорядочения, распределения и др.) возникают и в других, самых различных сферах человеческой деятельности и имеют, несмотря на их 
качественное различие, сходные черты. Во-первых, во всех этих задачах рассматривается некоторая совокупность мероприятий (система 
действий), направленных на достижение конкретной цели. Во-вторых, 
считаются заданными некоторые фиксированные условия, характеризующие обстановку выполнения этих мероприятий и изменить которые не представляется возможным (например, отпущенные средства, 
располагаемые ресурсы, качественные характеристики используемых 
технических средств и др.). В-третьих, в рамках этих фиксированных 
условий необходимо принимать решения с тем, чтобы рассматриваемая совокупность мероприятий была в определенном смысле наиболее выгодной. Этой общности оказалось достаточно для построения 
единой системы методов, которые и стали называться «исследованием 
операций» (ИО). 
Под операцией в данном случае понимается система действий, 
объединенных общим замыслом и направленных на достижение определенной цели. Операция – это обобщенное понятие, охватывающее 
все те виды деятельности человека, непременным атрибутом которых 
является принятие решений. Примеры экономических операций: анализ финансово-хозяйственной деятельности предприятия, анализ эффективности привлекательности инвестиционного проекта.
Принятие решения по своей сути представляет собой выбор одного из множества возможных вариантов осуществления операции. Способность делать правильный выбор – ценное качество, которое при

суще людям в разной степени. Высокопрофессиональные менеджеры, 
например, отличались и отличаются от своих коллег или конкурентов 
прежде всего умением делать наилучший выбор, т.е. принимать лучшие решения. Но всякое решение будет тем более разумным, чем более оно будет подкреплено количественными, математическими расчетами. Для проведения таких расчетов и служат методы исследования 
операций. Таким образом, в современном понимании исследование 
операций – это научный метод, дающий в распоряжение руководителя количественные основания для принятия им решений, связанных с 
организацией и осуществлением операции.
Объектом исследования операций является операция, а в качестве 
предмета исследования операций выступают закономерности, связывающие организацию и условия проведения операции с ее конечным 
результатом.
Необходимо подчеркнуть, что процедура непосредственного принятия решений выходит за рамки исследования операций, и процесс 
исследования завершается представлением руководителю рекомендаций, полученных на основе применения математических методов. Поэтому цель исследования операций заключается в выработке научнообоснованных рекомендаций для принятия решений.
Операция, как правило, всегда проводится при фиксированных 
условиях, т.е. управление ею осуществляется в рамках имеющихся различного рода ограничений: социальных, экономических, технических, 
финансовых, материальных, людских и т.д. Исходя из этого основной 
задачей исследования операций можно считать выявление и количественное обоснование наилучших вариантов проведения операции в 
условиях существования различных ограничений.
Методологическую основу исследования операций составляет 
системный анализ как совокупность методологических средств, используемых для подготовки и обоснования решений по сложным проблемам различного, в том числе и военного, характера. Системное 
представление любого объекта, в том числе и операции, требует рассмотреть этот объект в трех аспектах: как нечто целое (систему); как 
часть наиболее общей системы (надсистемы или более масштабной 
операции); как совокупность более мелких частей (элементов, подсистем, подопераций). Здесь уместно привести слова известного историка Л.Н. Гумилева о сути системного анализа: «Изучение любой си

стемы целесообразно лишь в целом. Даже если нас интересует только 
какая-нибудь деталь, то все равно надо окинуть взором всю систему, 
найти место этой детали, установить ее соподчиненность в системной 
иерархии, взаимосвязи, а уж потом говорить о той части, которая заставила поставить проблему».
В следующем разделе будет рассмотрено применение системного 
подхода к организации комплексного экономического анализа управленческих решений.
Практическая реализация методологии системного анализа при 
проведении исследования конкретной операции заключается в том, 
чтобы придерживаться определенных принципов: цели, внешнего дополнения, декомпозиции, целостности. Принцип – это всякое основание, из которого надо исходить и которым необходимо руководствоваться в деятельности для достижения успеха.
Принцип цели является важнейшим принципом системного анализа, на основании которого происходит объединение экономических 
объектов и разрозненных действий людей по их использованию в единую целенаправленную деятельность, т.е. в экономическую операцию. 
Исходя из этого принципа необходимо в первую очередь определить 
цели предстоящей операции. До тех пор, пока цель не определена, нет 
смысла говорить вообще о какой-либо операции. Важность этого состоит еще и в том, что формулирование цели является исходным моментом всего последующего процесса исследования конкретной операции. Однако выявление и формулирование цели операции не входит 
в рамки исследования операций, и эти вопросы являются предметом 
изучения других наук, например теории принятия решений. Для операций экономического характера цель может быть представлена в форме 
задачи, поставленной вышестоящим руководителем, менеджером и т.д.
Принцип декомпозиции выступает как основание для снижения 
сложности процесса исследования операций. В соответствии с этим 
принципом процесс исследования операции может быть расчленен на 
три взаимосвязанных уровня: концептуальный, операциональный и 
детальный (так называемая вертикальная декомпозиция). Исследуемая операция фиксируется в этом случае на операциональном уровне, 
концептуальный уровень формируется для вскрытия целей операции, 
а с детального уровня привлекается информация о составе и структуре средств, используемых в операции. «Горизонтальная» декомпозиция 

предполагает разбиение операции, рассматриваемой в данном случае 
на операциональном уровне, на отдельные составляющие ее элементы 
и подпроцессы.
В качестве элементов рассматривают активные средства операции, условия и способы ее проведения, а среди процессов, сопровождающих операцию, выделяют целевые подпроцессы, непосредственно 
приводящие к требуемому результату, и функциональные, обеспечивающие целевые подпроцессы. Естественно, что исследовать отдельные 
элементы и подпроцессы операции несравненно легче, чем всю операцию в целом. Таким образом, процесс исследования операции носит иерархический характер («вертикальная» декомпозиция), т.е. осуществляется последовательное привлечение необходимой информации 
от выше- и нижележащих уровней исследования с детализацией ее на 
рассматриваемом уровне («горизонтальная» декомпозиция). Однако 
декомпозиция операции по ее элементам и подпроцессам в последующем требует их объединения с целью восстановления эмерджентных 
свойств, знание которых способствует выявлению наиболее рациональных способов проведения операции. Объединение элементов операции 
является отражением уже другого принципа – принципа целостности, 
следование которому требует выявления эмерджентных (от англ. emergency – внезапное появление) свойств операции. Эмерджентность проявляется в том, что свойства операции не выступают простой суммой 
свойств отдельных элементов операции. 
В основе декомпозиции процесса исследования операции лежит 
важнейший общесистемный принцип внешнего дополнения. Руководствуясь этим принципом, необходимо выявить всю совокупность, систему проводимых или планируемых операций, определить масштаб 
исследуемой операции и ее место в этой системе, установить ее соподчиненность и взаимосвязи с другими операциями. Внешнее дополнение позволяет сформулировать цели исследуемой операции, согласовать их с целями других, более масштабных операций, а также 
ввести объективные критерии для оценки степени их достижения. Эти 
действия выполняются на концептуальном уровне, и, например, роль 
внешнего дополнения при исследовании операций экономического характера, как правило, играет вышестоящее руководство (см. принцип 
цели). На операциональном уровне роль внешнего дополнения принадлежит тому лицу, которое будет принимать решение, и именно оно