Теория и методика решения текстовых задач

Н.Г. Баженова, И.Г. Одоевцева 

ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ

КУРС ПО ВЫБОРУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 
СПЕЦИАЛЬНОСТИ 050201-МАТЕМАТИКА 

Учебное пособие 

5-е издание, стереотипное

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2024

УДК  372.851(075.8)
ББК  74.262.21я73 
Б16 

Р е ц е н з е н т ы: 
канд. физ.-мат. наук, доц. каф. высш. математики  
Тихоокеан. гос. ун-та  Н.В. Маркова; 
канд. физ.-мат. наук, д-р пед. наук, доц.,  
Дальневост. гос. гуманитар. ун-т  А.Е. Поличка; 
канд. физ.-мат. наук, доц. каф. высш. математики и методики обучения 
математике Дальневост. гос. социально-гуманитар. акад.  Н.В. Эйрих 

Б16 

Баженова Н.Г. 

Теория и методика решения текстовых задач : курс по выбору 
для студентов специальности 050201-Математика : учеб. пособие/ Н.Г. 
Баженова, И.Г. Одоевцева. – 5-е изд., стер. – Москва : ФЛИНТА, 2024.  
– 89 с. – ISBN 978-5-9765-1411-9. – Текст : электронный.

Учебное 
пособие 
представляет 
комплекс 
теоретикометодического материала по дисциплине «Теория и методика решения текстовых 
задач», включающий календарно-тематическое планирование курса, краткий курс 
лекций, примеры решения типовых задач, подбор заданий для практических занятий и индивидуальных работ, вопросы для самопроверки. 
Пособие адресовано студентам, обучающимся по специальности 050201Математика, и может быть интересным преподавателям теории и методики обучения математики педагогических вузов и учителям математики общеобразовательных школ. 

УДК 372.851(075.8)
ББК 74.262.21я73 

ISBN 978-5-9765-1411-9 
© Баженова Н.Г., 2017

© Издательство «ФЛИНТА», 2017 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ.........................................................................................................4 

ТЕМА 1. ЗАДАЧА. КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ. РОЛЬ И МЕСТО ЗАДАЧ В ОБУЧЕНИИ
МАТЕМАТИКЕ.........................................................................................................7 

ТЕМА 2. ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ И ПРИЕМЫ ИХ ВЫПОЛНЕНИЯ ................................20 

ТЕМА 3. СПОСОБЫ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ .....................................28 

ТЕМА 4. ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ В 5 – 6 КЛАССЕ........39 

ТЕМА 5. ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА СОСТАВЛЕНИЕ
УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В 6 – 9 КЛАССАХ ..............................................................44 

ТЕМА 6. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С НЕРАВЕНСТВАМИ ..........................................................52 

ТЕМА 7. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПРОГРЕССИИ ..............................................................56 

ТЕМА 8. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО
ЗНАЧЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ВЫРАЖЕНИЙ......................................................................59 

ТЕМА 9. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ЗАДАЧИ, ИХ КЛАССИФИКАЦИИ...................................63 

ТЕМА 10. ЗАДАЧИ СТРАТЕГИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА, ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ ....................73 

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАБОТЫ.........................................................................82 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ .............................................................................83 

КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ .....................................................................................84 

УЧЕБНО–МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.........................87 

ВВЕДЕНИЕ 

Одной из ведущих целей математического школьного образования является обучение учащихся решению системы разнообразных задач.  
Задачи пронизывают весь курс школьной математики, и их решение играет значимую роль не только в математическом образовании, но и в развитии 
ученика в целом, в формировании отдельных общеучебных умений. 
Обучение решению текстовых задач в школе можно выделить в отдельную содержательную линию школьного курса математики, которая выполняет 
множество функций, в частности: вводно-мотивационную, сопровождающую 
изучение математических понятий; практико-ориентированную, предназначенную для отработки и закрепления теоретического материала; контрольнооценочную и др. 
Генеральной целью решения задач в школьном курсе является формирование общего подхода и умений решать любые задачи. 
Несмотря на очевидную важность линии текстовых задач в школьной математике, содержательно материал разрознен по классам, темам, что не позволяет отработать, создать целостное системное восприятие. Это впоследствии 
создает проблемы у учащихся – не сформированность общих способностей решения любых задач, отсутствие подходов к поиску способа решения математических задач. 
При подготовке специалистов с высшим профессиональным образованием по специальности 050201 Математика, квалификация «учитель математики» 
в рамках содержания стандарта по дисциплине «Теория и методика обучения 
математике» и часов отведенных на изучение этой дисциплины невозможно детально подготовить студента — потенциального учителя к преподаванию текстовых задач в школе. 
Поскольку у студента — вчерашнего школьника, в свое время не выработаны отдельные умения, навыки в элементарных действиях, входящих в сложную деятельность по решению задач (в проведении анализа текстовой задачи, в 
построении вспомогательной модели задачи, в освоении отдельных приемов и 
методов решения задач и др.), то и вопросы методики обучения решению задач 
вызывают двойное затруднение. 
В этой связи введение в учебный план курса по выбору «Методика обучения школьников решению текстовых задач» представляется разумным и 
обоснованным ходом. 
В учебно-методическом пособии представлено календарно-тематическое 
планирование курса; в содержательном плане – краткий вариант лекций; практические задания, предлагаемые для решения на семинарских занятиях; индивидуальные задания, предусмотренные для самостоятельного выполнения; контрольные вопросы для самоконтроля; образцы контрольных работ, тестовых заданий; вариант балльно-рейтинговой системы оценки знаний студента. 
Пособие адресовано студентам специальности 050201 Математика, преподавателям педагогических вузов, учителям математики. 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 

Текстовые задачи представляют собой традиционный раздел элементарной математики. Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. 
Учителя используют задачи для развития логического мышления и наблюдательности своих учеников, формирования умений строить математические модели реальных явлений. При решении различных задач осуществляется подлинно активная математическая деятельность, в ходе которой учащиеся не просто «усваивают» готовые истины, а самостоятельно «вырабатывают их». 
Существуют различные методические подходы к обучению школьников 
решению текстовых задач. Но какую бы методику обучения ни выбрал учитель, 
ему надо знать, как построены такие задачи, и уметь их решать различными 
способами. 
Изучение данного курса тесно связанно с такими дисциплинами, как теория и методика обучения математики, элементарная математика. Данный курс 
преследует следующие цели: ознакомить студентов с понятием текстовой задачи, рассмотреть различные классификации задач и методы их решения. 
В ходе ее достижения необходимо решить следующие задачи: 
- Познакомить с понятием текстовой задачи; 
- Сформировать представление о различных классификациях задач; 
- Изучить основные методы решения текстовых задач; 
- Раскрыть особенности использования задач на уроках математики. 
В результате изучения курса студент должен знать определение текстовой задачи, виды задач, структуру текстовой задачи, различные методы и способы решения задач. Уметь классифицировать задачи, решать задачи разными 
методами и способами, использовать задачи на уроках математики. 

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 

Тематический план 

Аудиторные часы 
№ 
п/п  
 
Наименование темы  
Лекции 
Семинарские 
занятия 
Всего 

1. 
Задача. Классификация задач. Роль и место задач в 
обучении математики. Структура текстовой задачи. 
2 
2 
4 

2. 
Этапы решения задачи и приемы их выполнения 
2 
4 
6 

3. 
Способы и методы решения текстовых задач. 
4 
6 
10 

4. 
Особенности обучения решению текстовых задач в 
5-6 классе. 
2 
2 
4 

5. 
Особенности обучения решению задачи на составление уравнений и их систем в 6-9 классе. 
2 
4 
6 

6. 
Решение задач с неравенствами. 
2 
2 
4 

7. 
Решение задач на составление прогрессий. 
 
4 
4 

8. 
Решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений некоторых выражений. 
 
4 
6 

 
Итого: 
14 
28 
42 

Общая трудоемкость    90     часов 

Содержание и организация СРС 

№ 
п/п 
Задание по самостоятельной 
работе студентов 
Форма контроля самостоятельной 
работы студентов 
Кол-во 
часов 

1.  Выполнение домашних заданий, 
получаемых на каждом практическом занятии 

Внешний контроль, проверяет преподаватель 
16 

2.  Решение заданий индивидуальных работ 
Внешний контроль, проверяет преподаватель 
24 

3. 
Выполнение контрольных работ 
по темам 
Внешний контроль, проверяет преподаватель 
4 

4. 
Подготовка к тестированию 
Внешний контроль, проверяет преподаватель 
6 

 
Итого:                                                                                                                               48 

Балльно-рейтинговая оценка знаний студентов 

 
Модули 
Характеристика КТ 
Максимальное  
количество баллов 

1. 
Теория решения текстовых задач 
Индивидуальная работа 
12 

2. 
Методы решения текстовых задач 
Аудиторная контрольная 
работа 
12 

3. 
Индивидуальная работа 
16 

4. 

Текстовые задачи в школьном курсе 

Аудиторная контрольная 
работа 
12 

5. Текущая работа студента на парах - до 10 баллов 
6. Итоговое тестирование - 10 баллов. 
 
Пересчет рейтинговой оценки студента в аттестационную оценку выполняется следующим образом: 
43 балл (или менее) – «не зачтено»; 
44 балла (или более) – «зачтено».  

ТЕМА 1. ЗАДАЧА. КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ. 
РОЛЬ И МЕСТО ЗАДАЧ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ 

План лекции:  
1) Структура задачи; 
2) Классификация задач; 
3) Цели решения текстовых задач; 
4) Дидактические функции решения задач. 
 
1) Рассмотрим определение задачи. По определению Г.А.Балла, в самом 
общем виде задача - это система, обязательными компонентами которой являются: а) предмет задачи, находящийся в исходном состоянии (исходный предмет задачи); б) модель требуемого состояния предмета задачи (требование задачи) [16]. 
Л.М.Фридман и Е.Н.Турецкий понятие «задача» трактуют как «требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, 
которые указаны в задаче» [12]. 
Подход к понятию «текстовая задача» неоднозначен. Согласно первому 
подходу если в задаче хотя бы один объект реальный, то она называется текстовой (практической, житейской, сюжетной). В соответствии со вторым подходом под текстовой задачей понимают задачу, условие и требование которой 
представлены связным текстом, состоящим из повествовательных и вопросительных предложений. Если в текстовой задаче описаны геометрические или 
физические объекты, математические отношения или физические процессы, то 
получаем геометрическую или физическую задачу. 
В качестве необходимых элементов текстовой задачи можно выделить 
следующие: 
• числовые данные, характеризующие мощность множеств, значения величин, о которых идее речь в задаче, или их отношения, а также просто являющиеся отвлеченными числа; 
• словесные пояснения зависимости, имеющейся между данными числами и между данными и искомыми, которая может быть представлена в виде некоторого сюжета; 
• вопрос задачи, для ответа на который требуется выполнить решение. 
Каждая текстовая задача есть модель проблемной или познавательной ситуации, в которой рассматривается некоторый объект (предмет, явление, процесс). Каждый объект описан в задаче. Своеобразие описания объектов задачи 
проявляется в том, что в ней описывается лишь количественная сторона объекта [3]. 
Текст любой задачи состоит из условия и требования.  
Условие задачи - это описание ситуации особого типа. Анализируя условия, можно заметить, что каждое из них состоит из одного или нескольких объектов и некоторой их характеристики. В условии математической задачи опи

сывается ситуация, в которой неизвестна какая-либо характеристика (или характеристики) того или иного объекта (или объектов) [3]. 
Пример. Выделить в задаче объекты и указать их характеристики 
В двух корзинах лежало 86 яблок. Когда из первой корзины во вторую переложили 3 яблока, то яблок в корзинах стало поровну. По сколько яблок было 
в каждой корзине первоначально? 

Таблица 1  
Объекты 
Характеристики 

Корзины 
Количество корзин 

Яблоки 
Количество яблок в каждой корзине; 
Количество яблок всего. 

 
Требование задачи состоит в том, чтобы описать с необходимой полнотой так называемые искомые характеристики, т. е. все или некоторые неизвестные характеристики. Для этого следует использовать связи между известными 
и неизвестными характеристиками. Количество известных и неизвестных характеристик в задаче может быть различным [3]. 
Требование математической задачи может выражаться как вопросительным предложением, так и повествовательным с глаголом в повелительном наклонении. Предложение, которым чаще всего завершается текст задачи, может, 
кроме требования, содержать в себе и часть условия. 
Пример. Выделить условия и требования задачи. 
Собака погналась за лисицей, которая была от нее на расстоянии 30 м. 
Скачок собаки 2 м, скачок лисицы 1 м. В то время, как лисица делает три 
скачка, собака делает только два скачка. Сколько скачков должна сделать собака, чтобы догнать лисицу? Какое расстояние пробежит собака? 
Условия: 
1. Собака бежит вдогонку за лисицей (т.е. движение в одном направлении). 
2. Первоначально расстояние между собакой и лисицей 30 м. 
3. Скачок собаки равен 2 м. 
4. Скачок лисицы равен 1 м. 
5. За то время, как лисица делает три скачка, собака делает только два 
скачка. 
6. Собака догнала лисицу. 
Требования: 
1. Сколько скачков должна сделать собака, чтобы догнать лисицу? 
2. Какое расстояние пробежит собака? 
Решить задачу - это значит выполнить ее требование. 
Трудность задачи является психолого-дидактической категорией и представляет собой совокупность многих субъективных факторов, зависящих от 
особенностей личности, таких, как степень ее новизны, интеллектуальные возможности учащегося, его потребности и интересы, опыт решения задач, уровень владения интеллектуальными и практическими умениями и др. Однако 
основными компонентами трудности задачи являются степень ее проблемности 
и сложность задачи. Сложность задачи является объективной характеристикой, 

не зависящей от субъекта, она определяется числом элементов, связей и видов 
связей, которые образуют внутреннюю структуру задачи. Элементы - это такие 
минимальные компоненты задачи (системы), на которых реализовано основное 
отношение. 
По мнению Л.М.Фридмана, значение величин (известные и неизвестные), 
заданные в текстовых задачах, связанны между собой [11]. 
Первая группа соотношений – это соотношения между значениями одной 
и той же величины. 
Вторая группа соотношений – это соотношения между значениями разных величин. 
Если в текстовой задаче задано одно соотношение между значениями одной и той же величины или разных величин, то такая задача называется простой; если же в задаче задано два или более взаимосвязанных соотношений, то 
такая задача называется сложной. 
Графовое моделирование текстовых задач позволяет выявить структуры 
решений задач.  
Чтобы определить коэффициент уровня сложности структуры решения 
задачи (σ ) необходимо, во-первых, составить граф структуры решения задачи, 
во-вторых, пройти корень и все вершины решения полученного бинарного дерева. Существующую для дерева числовую характеристику – сложность дерева, 
Н.А.Жигачева отождествляет со сложностью структуры решения задачи. 
Для этого фиксируем корень дерева, считаем количество всех вершин, 
учитывая и корень; получившееся число умножаем на число входящих в вершину дуг; полученное число будет первым слагаемым в сумме, значение которой и будет являться величиной σ . Таким образом, обходим все вершины решения графа, учитывая, что попадая в некоторую вершину n, не являющуюся 
листом, рассматриваем соответствующий подграф-дерево, корнем которого будет вершина n. В итоге получаем исходный коэффициент σ , который и будет 
показателем уровня сложности структуры решения задачи 
Пример Из двух городов, расстояние между которыми 150 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Скорость одного автомобиля 65 км/ч, а второго 60 км/ч. Через сколько часов они встретятся? 
Обозначим, V1 – скорость первого автомобиля; V2 – скорость второго автомобиля; V – скорость сближения автомобилей; S – расстояние между городами; t – время встречи автомобилей. 

 
Рисунок 1 - Граф, соответствующий структуре решения задачи