Кратные интегралы. Часть 2. Практикум

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 

Практикум 

Москва 
2023 

УДК 517.37(075) 
ББК 22.161.12я73

 К78 
Рецензент 
Вагер Б. Г., д-р физ.-мат. наук, проф. СПбАСУ 

К78 
    Кратные интегралы : практикум / сост. В. Н. Веретенников, 
Е. А. Бровкина. — Москва : Директ-Медиа, 2023. — 50 с. 

ISBN 978-5-4499-3589-2

Пособие является одиннадцатым выпуском учебника по всем разделам курса математики 
для бакалавров гидрометеорологических направлений, соответствует государственному образовательному стандарту и действующим программам. 
Активизация познавательной деятельности студентов, выработка у них способности самостоятельно решать достаточно сложные проблемы может быть достигнута при такой организации учебного процесса, когда каждому студенту выдаются индивидуальные домашние задания 
(ИДЗ) с обязательным последующим контролем их выполнения и выставлением оценок. 
Предлагаемое пособие адресовано преподавателям и студентам и предназначено для проведения практических занятий и самостоятельных (контрольных) работ в аудитории и выдачи 
ИДЗ. 

УДК 517.37(075) 
ББК 22.161.12я73

ISBN 978-5-4499-3589-2
© Веретенников В. Н., Бровкина Е. А., сост., 2023
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2023

ПРЕДИСЛОВИЕ 
Настоящее учебное пособие написано на основе многолетнего опыта чтения лекций и ведения практических занятий по математике в РГГМУ. Оно предназначено как для студентов, 
так и для преподавателей, особенно молодых, начинающих вести практические занятия. 
 
Пособие преследует цель помочь активному и неформальному усвоению студентами изучаемого предмета. При составлении пособия имелось в виду, что им будут пользоваться студенты заочного факультета. В связи с этим материал каждой темы разбит, как правило, на четыре пункта. 
 
В разделе – «Основные теоретические сведения» – приводятся основные теоретические 
сведения с достаточной полнотой и доказательно (заголовок раздела опускается). Иногда после 
формулировки определения или теоремы даются поясняющие примеры или некоторые комментарии, чтобы облегчить студентам восприятие новых понятий. Там, где это, возможно, дается 
геометрическая и физическая интерпретация математических понятий. 
В разделе – «Опорный конспект» – вводятся и разъясняются все базисные понятия и методы. Даются иллюстрирующие примеры, вопросы для самопроверки, решаются типовые задачи. Материал располагается в той же последовательности, что и на лекциях, но без доказательств. Даются только определения, формулировки и пояснения теорем, их физическая и геометрическая интерпретация, чертежи, выводы, правила. Второстепенные вопросы опущены. 
Опорный конспект целесообразен для первичного, быстрого ознакомления с курсом математики, а далее нужно продолжить изучение теорию по разделу «Основные теоретически 
сведения», где все изложено с достаточной полнотой и доказательно. Опорный конспект полезен и для закрепления изученного материала, для восстановления в памяти нужных понятий 
при изучении последующих разделов курса и других дисциплин, опирающихся на математику. 
 
В разделе «Вопросы для самопроверки» – содержатся вопросы по теории и простые задачи, решение которых не связано с большими вычислениями, но которые хорошо иллюстрируют 
то или иное теоретическое положение. Назначение этого пункта – помочь студенту в самостоятельной работе над теоретическим материалом, дать ему возможность самому проконтролировать усвоение основных понятий. Многие контрольные вопросы направлены на раскрытие этой 
сути. Из этого раздела преподаватель может черпать вопросы для проверки готовности студентов к практическому занятию по той или иной теме. 
 
В разделе «Примеры решения задач» – разобраны типичные примеры, демонстрирующие 
применение на практике результатов теории. При этом большое внимание уделяется обсуждению не только «технических приемов», но и различным «тонким местам», например, условиям 
применимости той или иной теоремы или формулы. 
 
Назначение раздела «Задачи и упражнения для самостоятельной работы» – определено его 
названием. При подборе упражнений были использованы различные источники, в том числе 
широко известные задачники. В конце задачи дается ответ и указание. 
 
Начало и конец доказательства теоремы и решений задач отмечаются соответственно знаками ▲ и ▼. 
 
В пособии приведен перечень знаний, умений и навыков, которыми должен владеть студент; указана используемая литература. 
Авторы надеется, что данное пособие поможет студентам в овладении методами теории 
кратных интегралов, в их самостоятельной работе над предметом. Они также выражает надежду, что пособие будет полезным для преподавателей в работе со студентами, и с благодарностью воспримет все критические замечания и пожелания, направленные на улучшение его содержания. 
 
 

Опорный конспект 

1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ 

1.1. Некоторые вспомогательные понятия 
Приведем определения, которые будут необходимы в дальнейшем. Рассмотрим непустое 
множество   точек некоторой плоскости. 
Открытый круг радиуса ε с центром в точке   (т.е. совокупность всех точек плоскости, 
расстояния которых до точки   меньше  ) называется    окрестностью или просто окрестностью точки  . 
 
Точка   называется предельной для множества  , если любая окрестность содержит бесконечное множество точек, принадлежащих  . Предельная точка множества   может или принадлежать, или не принадлежать этому множеству. Множество   называется связным, если при 
любом его разбиении на два непустых множества        , по крайней мере одно из них содержит предельную точку другого. 
Множество   называется открытым, если для каждой его точки существует окрестность, 
все точки которой принадлежат множеству  . 
 
Открытое и связное множество называется областью. 
Примеры областей: множество всех точек, лежащих внутри некоторого круга (точки ограничивающей его 
окружности исключаются!), вся плоскость. 
Например, совокупность точек, координаты которых удовлетворяют условию        , есть область 
(рис.1.1.1). 
         y  
 
 
 
 
 
         y  
 
 
 
 
 
 
             
 
        
 
 
 1
   O        1     x   
 
 
 
 1
   O       1    2  
       x  
  
Рис. 1.1.1 
 
 
 
 
 
 
Рис. 1.1.2 
Множество, состоящее из двух открытых кругов           (   )      , не является областью: оно 
открыто, но не связано (рис. 1.1.2). 
Открытое множество является областью тогда и только тогда, когда любые две точки его 
можно соединить непрерывной линией, целиком принадлежащей данному множеству. 
Точка   называется граничной для множества  , если ее любая окрестность содержит точки, 
как принадлежащие, так и не принадлежащие множеству  . Сама граничная точка может или 
принадлежать, или не принадлежать множеству  . В частности, открытое множество не содержит ни одной своей граничной точки. Совокупность всех граничных точек множества 
называется его границей. Множество, содержащее все свои граничные точки, называется замкнутым. Присоединив к некоторой области   все ее граничные точки, получим множество, 
называемое замкнутой областью  . 
Множество называется ограниченным, если его можно поместить внутрь некоторого круга достаточно большого радиуса. Ограниченная область   называется односвязной или многосвязной в зависимости от того, является ли ее граница связным или несвязным множеством. 

 
 
 
 
 
 
        y  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
        O       
1
R   
2
R     x  
 
 
     Рис. 1.1.3 
Множество точек, лежащих внутри круга радиуса  , является простейшим примером односвязной области. Множество точек, лежащих между двумя концентрическими окружностями 
радиусов          круговое кольцо (точки окружностей исключены!), − пример многосвязной 

области. Эта область называется двусвязной. Граница этой области состоит из двух окружностей 
радиусов        . (рис. 1.1.3).  
Если внутри некоторой области   выделить     (   ) замкнутых областей           , 
попарно не имеющих общих точек, то множество всех точек исходной области  , не принадлежащих ни одной из указанных областей, представляет собой n-связную область. Её граница 
состоит из   линий: линии  , ограничивающей область  , и линий   , ограничивающих 
сти    (       ). На рис. 1.1.4 и 1.1.5 изображены четырехсвязные области. 
 
 
      y   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
      O   
 
  x  
 
 
 
 
Рис. 1.1.4  
 
 
 
 
 
Рис. 1.1.5 
Пусть    ограниченное множество. Расстояние между двумя его произвольными точками         обозначим через  (     )   
 
Представим, что точки        , независимо друг от друга, пробегают все множества  . 
Очевидно, множество всевозможных расстояний  (     ) ограниченно сверху (расстояние не 
может быть больше диаметра круга, в котором помещается множество  ). 
 
Точная верхняя грань чисел  (     ) называется диаметром  ( ) множества   (см. рис. 
1.1.6; диаметром здесь является наибольшая хорда данного множества). 
 
 
 
 

Рис.1.1.6 
Плоской фигурой называется некоторое ограниченное множество точек плоскости. 
Аналогично определяется понятие области и фигуры в пространстве. (В этом случае ε- 
окрестностью точки   называют открытый шар радиуса   с центром в точке  ) 

1.2. Определение двойного интеграла 
Пусть ограниченная функция    (   ) определена в некоторой замкнутой области  , 
ограниченной замкнутой линией  , плоскости    . Произведем следующие действия.  
1. Разобьем область   произвольно на конечное число   элементарных (частичных) областей (ячеек)           , не имеющих общих внутренних точек, и обозначим площади этих 
ячеек 
             , а диаметры ячеек (максимальное расстояние между двумя точками на границе ячейки)           . Пусть     наибольший из диаметров ячеек. 
2. Выберем в каждой из этих ячеек    произвольную точку   (     ) и вычислим значение 
функции  (     ) в этой точке. 
3. Значение функции в выбранной точке  (     ) (     ) умножим на площадь     соответствующей элементарной области и все произведения сложим. Полученная сумма вида 
   ∑
 (     )   
 
   
, 
 
 
 
 
(1.2.1) 
называется n-й интегральной суммой для функции  (   ) по области  . 
Очевидно, интегральная сумма зависит как от способа разбиения области   на   частичных областей, так и от выбора в них точек   . 
Вследствие произвольного разбиения области   на элементарные области    и случайного выбора в них точек    можно составить бесчисленное множество указанных сумм. 



2


3


1


(G)