Кратные интегралы. Часть 1

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 

  Часть 1 

  Учебное пособие 

Москва 
2023 

УДК 517.37(075) 
ББК 22.161.12я73
     К78 
Рецензент 
Вагер Б. Г., д-р физ.-мат. наук, проф. СПбАСУ 

К78 
    Кратные интегралы : учебное пособие / сост. В. Н. Веретенников, 
Ю. Б. Ржонсницкая. — Москва : Директ-Медиа, 2023. — 31 с. 

ISBN 978-5-4499-3588-5 

Пособие является десятым выпуском учебника по всем разделам курса математики для 
бакалавров гидрометеорологических направлений, соответствует государственному образовательному стандарту и действующим программам. 
Активизация познавательной деятельности студентов, выработка у них способности самостоятельно решать достаточно сложные проблемы может быть достигнута при такой организации учебного процесса, когда каждому студенту выдаются индивидуальные домашние задания 
(ИДЗ) с обязательным последующим контролем их выполнения и выставлением оценок. 
Предлагаемое пособие адресовано преподавателям и студентам и предназначено для проведения практических занятий и самостоятельных (контрольных) работ в аудитории и выдачи 
ИДЗ. 

УДК 517.37(075) 
ББК 22.161.12я73

ISBN 978-5-4499-3588-5
© Веретенников В. Н., Ржонсницкая Ю. Б., сост., 2023
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2023

ПРЕДИСЛОВИЕ 
Настоящее учебное пособие написано на основе многолетнего опыта чтения лекций и ведения практических занятий по математике в РГГМУ. Оно предназначено как для студентов, 
так и для преподавателей, особенно молодых, начинающих вести практические занятия. 
Пособие преследует цель помочь активному и неформальному усвоению студентами изучаемого предмета. При составлении пособия имелось в виду, что им будут пользоваться студенты заочного факультета. В связи с этим материал каждой темы разбит, как правило, на четыре пункта. 
Начало и конец доказательства теоремы и решений задач отмечаются соответственно знаками ▲ и ▼. 
В пособии приведен перечень знаний, умений и навыков, которыми должен владеть студент; указана используемая литература. 
Авторы надеются, что данное пособие поможет студентам в овладении методами теории 
кратных интегралов, в их самостоятельной работе над предметом. Они также выражают надежду, что пособие будет полезным для преподавателей в работе со студентами, и с благодарностью воспримет все критические замечания и пожелания, направленные на улучшение его содержания. 

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 

1. Задача, приводящая к понятию двойного интеграла 
Определение двойного интеграла 
К понятию двойного интеграла мы приходим, решая конкретную задачу вычисления объ 
ема цилиндрического тела. 
Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное плоскостью
z = 0,
некоторой поверхностью 𝑧𝑧 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥; 𝑦𝑦), (𝑥𝑥; 𝑦𝑦) ∈ 𝐺𝐺 и цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси 𝑂𝑂𝑧𝑧, направляющей которой служит контур ℓ области 𝐺𝐺 (рис. 1.1). Область 𝐺𝐺 изменения переменных 𝑥𝑥 и 𝑦𝑦 называется основанием цилиндрического тела. 
 
 
 
 
 
 
    z  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)
( ;
z = f x y
 
 
 
 
 
 
 
 
S  
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
    k  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
      j  
 
 
 
        O  
 
 
        y  
 
 
 
 
 
             i  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
G  
 
     
 
 
 
 
 
      x   
Рис. 1.1 
При определении объема будем исходить из двух принципов: 
1) если разбить тело на части, то его объем равен сумме объемов всех частей (свойство аддитивности);  
2) объем прямого цилиндра, ограниченного плоскостью 𝑧𝑧 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 параллельной плоскости 
𝑂𝑂𝑥𝑥𝑦𝑦, равен площади основания, умноженной на высоту. 
В дальнейшем мы будем предполагать, что область 𝐺𝐺 является 
 связной (состоит из одного куска), 
 квадрируемой (т.е. имеет площадь) 
 и ограниченной (т.е. расположенной внутри некоторого круга с центром в начале координат). 
Пусть 𝑧𝑧 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥; 𝑦𝑦) − непрерывная функция точки 𝑀𝑀(𝑥𝑥; 𝑦𝑦) в области 𝐺𝐺 и 𝑓𝑓(𝑥𝑥; 𝑦𝑦) ≥ 0 всюду 
в области 𝐺𝐺, т.е. что рассматриваемая цилиндрическая поверхность целиком лежит над плоскостью 𝑂𝑂𝑥𝑥𝑦𝑦. Обозначим объем цилиндрического тела через 𝑉𝑉. 
Разобьем область 𝐺𝐺 основание цилиндрического тела – на некоторое число 𝑐𝑐 непересекающихся квадрируемых областей произвольной формы; будем называть их частичными областями. Пронумеровав частичные области в каком-нибудь порядке, обозначим их через 
𝐺𝐺1, 𝐺𝐺2, ⋯ , 𝐺𝐺𝑛𝑛, а их площади –через ∆𝑆𝑆1, ∆𝑆𝑆2, ⋯ , ∆𝑆𝑆𝑛𝑛 соответственно. Обозначим диаметр частичной области  𝐺𝐺𝑛𝑛  через 𝑑𝑑𝑛𝑛, а наибольший из этих диаметров - через 𝜆𝜆𝑛𝑛.  
Очевидно, если 𝑐𝑐 → ∞, то 𝜆𝜆𝑛𝑛 → 0.  
Проведем через границу каждой частичной области цилиндрическую поверхность с образующими параллельными оси 𝑂𝑂𝑧𝑧. В результате цилиндрическое тело окажется разбитым на 
𝑐𝑐 частичных цилиндрических тел. 
Заменим k-ое частичное тело прямым цилиндром с тем же основанием и высотой, равной 
аппликате какой-нибудь точки заменяемой поверхности (рис. 1.2). 
Объем такого цилиндра равен ∆𝑉𝑉𝑘𝑘 = 𝑓𝑓(𝑀𝑀𝑘𝑘)∆𝑆𝑆𝑘𝑘, где точка 𝑀𝑀𝑘𝑘(𝑥𝑥𝑘𝑘, 𝑦𝑦𝑘𝑘) ∈ 𝐺𝐺𝑘𝑘, а ∆𝑆𝑆𝑘𝑘 − площадь области 𝐺𝐺𝑘𝑘. Проделав описанные построения для каждого частичного цилиндрического 
тела, получим n-ступенчатое тело, объем которого