Баллистика и наведение летательных аппаратов

Ю. Г. Сихарулидзе
БАЛЛИСТИКА
И НАВЕДЕНИЕ 
ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ

5-е издание, электронное

Москва
Лаборатория знаний
2024

УДК 629.78
ББК 32.965
С41

Сихарулидзе Ю. Г.
С41
Баллистика
и
наведение
летательных
аппаратов
/
Ю. Г. Сихарулидзе.— 5-е
изд.,
электрон. — М.
:
Лаборатория
знаний, 2024. — 407 с. — Систем. требования: Adobe Reader XI ;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-682-7
Рассматриваются классические и новые актуальные задачи теории
полета летательных аппаратов, включая ракеты-носители и космические
аппараты, спускаемые аппараты, баллистические ракеты и их головные
части, межпланетные аппараты, многоразовые космические транспортные
системы, авиационно-ракетные комплексы воздушного старта и др. Показана
связь оптимальных законов управления в модельных задачах баллистики
с реальными алгоритмами наведения в системах управления летательных
аппаратов. Подробно рассматриваются терминальные алгоритмы наведения
для различных фаз траектории, от активного участка до спуска в атмосфере
и посадки. Обсуждаются также принципы построения робастных алгоритмов
наведения, способных адаптироваться к фактическим условиям полета.
Книга является дополненной и расширенной версией изданной в 1982 г.
книги автора «Баллистика летательных аппаратов» и рассчитана на специалистов в области баллистики и управления летательными аппаратами,
а также на аспирантов и студентов соответствующих специальностей.
УДК 629.78
ББК 32.965

Деривативное издание на основе печатного аналога: Баллистика и наведение летательных аппаратов / Ю. Г. Сихарулидзе. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. — 407 с. : ил. — ISBN 978-5-9963-0531-5.

Первый тираж осуществлен при финансовой поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований по проекту № 10-08-07039

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных
техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать
от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-93208-682-7
© Лаборатория знаний, 2015

ВВЕДЕНИЕ

Современная баллистика изучает широкий круг задач, связанных с выбором
рациональных траекторий движения летательных аппаратов (ЛА), в том числе баллистических ракет, ракет-носителей и многоразовых космических транспортных
систем, головных частей, автоматических межпланетных аппаратов, пилотируемых
кораблей и др.
Российские и зарубежные ученые исследовали различные аспекты теории
динамики полета. Из книг, опубликованных на русском, наиболее известными
являются следующие:
• Аппазов Р. Ф., Лавров С. С., Мишин В. П. Баллистика управляемых ракет
дальнего действия, 1966.
• Иванов Н. М., Лысенко Л. Н. Баллистика и навигация космических аппаратов, 2004.
• Лебедев А. А., Герасюта Н. Ф. Баллистика ракет, 1970.
• Охоцимский Д. Е., Сихарулидзе Ю. Г. Основы механики космического полета, 1990.
• Охоцимский Д. Е., Голубев Ю. Ф., Сихарулидзе Ю. Г. Алгоритмы управления космическим аппаратом при входе в атмосферу, 1975.
• Пономарев В. М. Теория управления движением космических аппаратов,
1965.
• Сихарулидзе Ю. Г. Баллистика летательных аппаратов, 1982.
• Ярошевский В. А. Движение неуправляемого тела в атмосфере, 1978.
Мощным стимулирующим фактором прогресса в вопросах управления движением ЛА явилось появление бортовых вычислительных машин (БЦВМ), что позволило значительно усовершенствовать алгоритмы навигации, управления и стабилизации, повысить их гибкость и эффективность.
После первых десятилетий бурного развития ракетно-космической техники,
когда основные усилия были направлены на решение приоритетных задач, связанных с исследованием космического пространства, наступил этап планомерного
использования достигнутых успехов в освоении космоса для нужд человечества.
Новые задачи требуют существенного увеличения грузопотоков Земля—орбита
и орбита—Земля. В этой связи определенный интерес представляет использование
многоразовых космических транспортных систем, позволяющих разумнее распорядиться имеющимися ресурсами и уменьшить засорение космического пространства
фрагментами конструкции.
Все вышесказанное, как представляется, обуславливает целесообразность нового освещения главных задач баллистики ЛА.
В книге основное внимание уделяется так называемым задачам проектной
баллистики, связанным с общим анализом условий движения, выбором наивы

Введение

годнейшей схемы полета и определением оптимального управления при заданном
критерии. Указанная совокупность проблем обычно требует для своего решения
расчета большого числа траекторий, отвечающих вариациям различных исследуемых факторов. Поэтому в ряде случаев оказывается полезным существенное
упрощение постановки задачи, что позволяет найти решение в аналитической
форме, а затем исследовать его достаточно простыми методами. При таком
подходе расчет маневра сводится к определению требуемого изменения скорости
для перехода на заданную траекторию движения. В ряде случаев расчеты могут
проводиться без привлечения характеристик конкретного ЛА, т. е. получаемые
результаты оказываются достаточно общими.
Более точное рассмотрение задачи движения в рамках по возможности самой
полной математической модели (т. е. с детальным учетом характеристик ЛА,
параметров системы управления, свойств окружающей среды и других факторов)
относится к другому разделу баллистики, который иногда называют исполнительной баллистикой. При таком подходе главным является достаточно полный учет
не только основных, но и второстепенных факторов, влияющих на траекторию
движения, которые в рамках проектной баллистики обычно опускаются. Например,
учет переходных режимов работы двигателя при его включении и выключении,
учет детальной последовательности по времени процесса разделения ступеней
и т. п. Задачи исполнительной баллистики, как правило, решаются с помощью
электронных вычислительных машин (ЭВМ) и поэтому лишь частично отражены
в содержании книги.
При рассмотрении некоторых задач применяется следующий методологический
подход. Сначала выявляется физическая сущность задачи и ее особенности, вытекающие из постановки. Затем формулируется модельная задача по выбору оптимального управления, адекватная в главном исходной задаче. На основе исследования
модельной задачи определяется структура оптимального управления, и решение
краевой задачи сводится к выбору ограниченного числа параметров управления.
Далее обсуждается возврат от модельной задачи к исходной, т. е. разработка
с помощью найденного модельного управления реальных алгоритмов для БЦВМ.
Анализируются основные принципы построения многошаговых (итеративных) алгоритмов терминального управления, обеспечивающих удовлетворение заданных
конечных условий движения. При наличии на борту определенной измерительной
информации такие алгоритмы позволяют реализовать адаптацию к фактическим
условиям полета.
В ограниченных рамках публикуемой книги не все задачи баллистики могли
быть рассмотрены (например, задача разделения и др.). Кроме того, не все задачи
могли быть проанализированы одинаково глубоко, поскольку в ряде случаев
более важным оказывается комплексный подход, когда необходимо рассматривать
совокупность взаимосвязанных задач, пусть даже с некоторым ущербом для детализации каждой. Так, вопросы повышения точности стрельбы требуют совместного
анализа движения на активном участке, внеатмосферном участке и участке входа
в атмосферу. Поэтому основное внимание уделяется фундаментальным задачам
(скажем, движению ЛА в центральном поле притяжения) и комплексным (например, выбору траектории полета ракеты-носителя).

Введение
5

В главе 1 изложены общие вопросы движения ЛА, рассмотрены силы и моменты, действующие на ЛА в полете, установлена их физическая природа, даны
качественные и количественные характеристики гравитационного поля, возмущенной атмосферы, включающей вариации плотности от стандартных значений
и поле ветров. Приведены основные системы координат, матрицы перехода от
одной системы координат к другой и дается вывод уравнений движения ЛА на
активном участке в начальной стартовой (инерциальной) системе координат.
В главе 2 исследованы две модельные задачи по выбору оптимального управления. В первой задаче рассматривается выведение на орбиту максимальной
полезной нагрузки. Вторая задача связана с получением максимальной дальности
стрельбы. Принцип максимума Понтрягина Л. С. используется в обеих задачах для
определения оптимального закона управления вектором тяги на активном участке.
Показана связь закона управления, полученного в модельных задачах, с реальными
программами угла тангажа на активном участке. Установлены диапазоны высот
орбит, в которых используется тот или иной оптимальный закон управления. Рассмотрены способы точного и приближенного интегрирования уравнений движения
на активном участке. С использованием формулы Циолковского и поправок на
потери идеальной скорости получены производные выводимой на орбиту полезной
нагрузки и дальности стрельбы по основным параметрам ЛА. Эти производные
необходимы в процессе баллистического проектирования при выборе основных
параметров ЛА.
Глава 3 посвящена баллистике головной части. Рассмотрена прямая задача
баллистики, которая состоит в определении полной дальности и координат точки
падения головной части. Показана связь дальности пассивного участка траектории
головной части с параметрами движения в конце активного участка. Для обратной
задачи баллистики определена совокупность начальных параметров движения
в конце активного участка, которые обеспечивают попадание головной части
в заданную точку. Определен оптимальный угол бросания, который обеспечивает
максимальную дальность стрельбы. На основе зарубежной информации показаны
основные способы уменьшения рассеивания головных частей, включая наведение
на конечном участке траектории при спуске в атмосфере.
В главе 4 рассмотрено орбитальное движение космического аппарата в центральном поле притяжения. Построены классы оптимальных компланарных и пространственных маневров в импульсной постановке. Показан способ приближенного учета потерь характеристической скорости на выполнение маневра с ограниченной тягой двигателя. Определены области оптимальности одноимпульсного,
двухимпульсного и трехимпульсного маневров. Рассмотрены примеры выведения
стационарного спутника и встречи на орбите. Для задачи встречи на орбите
построены оптимальные программы вектора тяги, обеспечивающие минимальный
расход топлива на маневр.
В главе 5 представлены прикладные задачи механики космического полета,
включая полеты к Луне и планетам Солнечной системы. В рамках задачи трех
тел определены сферы притяжения Луны и планет. С использованием сфер
притяжения построены приближенные траектории перелета к Луне и планетам.
В качестве примера затрат характеристической скорости на лунную экспедицию

Введение

рассмотрена траектория, реализованная в программе «Аполлон». Из рассмотрения
задачи Ламберта по определению траектории перелета между двумя заданными
точками за заданное время построена межпланетная гелиоцентрическая траектория
перелета от Земли к планете назначения. Показан способ приближенного расчета
оптимальных дат старта и определения их цикличности. Рассмотрена возможность
последовательного облета нескольких планет с использованием гравитационного
маневра в сфере притяжения планеты.
Главы 1– 5 представляют собой обновленную версию книги автора «Баллистика
летательных аппаратов» (М.: «Наука», 1982). Глава 6 существенно переработана
и дополнена новыми задачами. Главы 7 и 8, в основном, содержат новые материалы, полученные и опубликованные автором после издания указанной книги.
Глава 6 включает основные сведения об управлении спуском ЛА на поверхность небесного тела с атмосферой и без атмосферы. Подробно рассмотрен
оптимальный маневр спуска с орбиты, который обеспечивает заданный угол входа
в атмосферу с минимальным расходом топлива. Дан анализ баллистической траектории спуска при входе в атмосферу с околокруговой скоростью. Приведены условия достижения максимальной перегрузки и максимального нагрева спускаемого
аппарата для модельной задачи квазистационарного планирования. Рассмотрен
управляемый спуск космического аппарата с малым аэродинамическим качеством
при входе в атмосферу с околокруговой и околопараболической скоростями.
Управление таким аппаратом реализуется по каналу крена. Для многоразового
орбитального корабля с большим гиперзвуковым аэродинамическим качеством
приведено оптимальное управление по каналам углов атаки и крена, которое
обеспечивает максимальный боковой маневр при спуске в атмосфере. При этом
учитываются ограничения по перегрузке и температуре нагрева.
Показаны особенности спуска и посадки в разреженной атмосфере Марса
и описаны некоторые модели вариаций параметров марсианской атмосферы.
Рассмотрена также задача оптимальной по расходу топлива посадки на Луну,
а в качестве примера приведена последовательность операций при посадке на Луну
по программе «Аполлон».
Глава 7 посвящена обсуждению общих проблем терминального наведения
ЛА. На примере транспортной космической системы «Спейс шатл» рассмотрен
алгоритм терминального наведения на активном участке с прогнозом остающейся
части траектории по приближенным конечным формулам. Другим примером является терминальное наведение при спуске с орбиты многоразового космического
корабля типа «Спейс шатл» и «Буран». Траектория движения включает три участка:
спуск от границ атмосферы до высот 20–24 км, предпосадочное маневрирование
до высоты 4 км и посадка на аэродром. На стыках между участками введены
виртуальные «ворота», т. е. ограниченные области в фазовой плоскости параметров
движения, в которые корабль наводится на соответствующем участке. Для прогноза
остающейся траектории движения также используются приближенные конечные
формулы.
Построена система оперативного контроля движения космического корабля на
высотах от 40 до 20 км, когда восстанавливается радиосвязь после выхода из
плазменного «облака».

Введение
7

Метод численного прогноза остающейся части траектории предложен для
корабля-спасателя, который должен выполнять миссию за ограниченное время
и иметь возможность совершать экстренную посадку в неподготовленном месте.
Последнее требование может быть выполнено только при высокоточном наведении
космического аппарата с малым аэродинамическим качеством в район посадки
размером порядка 1 км. Численный прогноз позволяет избежать «привязки» фактической траектории спуска к номинальной, т. е. обеспечивает большую гибкость
наведения.
Другим примером численного прогноза остающейся траектории движения
является робастный алгоритм, предложенный для космического аппарата, который после подлета к Марсу совершает маневр аэродинамического торможения
в атмосфере планеты для снижения гиперболической скорости подлета до первой космической с последующим выходом на орбиту спутника планеты за счет
небольшого приращения скорости. Сложность атмосферного маневра усугубляется
большой разреженностью атмосферы Марса и малым объемом информации о возможных вариациях ее плотности. Поэтому алгоритм наведения предусматривает
адаптацию к фактическому состоянию атмосферы. Адаптация осуществляется за
счет сопоставления измеренной перегрузки на нисходящем участке траектории
с рассчитанной перегрузкой для бортовой модели атмосферы Марса. Полученные
поправки к модельной плотности атмосферы используются на восходящем участке
траектории и позволяют повысить точность получаемой промежуточной орбиты,
что в итоге приводит к уменьшению потребного импульса доразгона для выхода
на заданную орбиту.
В конце седьмой главы обсуждаются некоторые методы верификации бортовых
программ наведения, что является весьма актуальной и трудной проблемой.
Глава 8 включает рассмотрение основных вопросов, связанных с воздушным
запуском ракеты-носителя космического назначения из самолета-носителя. Такая
схема запуска позволяет увеличить почти в 1.5 раза выводимую на орбиту
полезную нагрузку по сравнению с наземным пуском и обеспечивает большую
оперативную гибкость. Вместе с тем, воздушный запуск порождает начальные
ошибки в положении точки старта и времени пуска вследствие «подвижного
стартового стола». Подробно рассмотрены все возмущающие факторы, порождающие начальные ошибки, и получены количественные оценки начальных ошибок.
Предложен простой закон управления на активном участке ракеты-носителя,
который позволяет полностью компенсировать начальную ошибку в продольной
дальности и времени старта путем небольших вариаций величины тяги двигателя
космического разгонного блока при выведении в точку встречи на орбите с космической станцией. При этом потери выводимой полезной нагрузки практически
отсутствуют. В рассмотренных примерах использованы параметры проектируемой
российской системы «Воздушный старт» на базе самолета-носителя Ан-124-100
«Руслан» и ракеты-носителя «Полет».
Важным вопросом является определение безопасного расстояния между самолетом-носителем и ракетой-носителем в момент запуска маршевого двигателя
первой ступени ракеты-носителя. Даже при очень высокой надежности маршевого
двигателя нельзя исключить вероятность его взрыва, так как в любой аварийной

Введение

ситуации необходимо гарантированно обеспечить безопасность экипажа самолетаносителя. Построена модель взрыва, которая включает две фазы: сначала взрыв
двигателя, а затем взрыв горючего ракеты-носителя. Определено минимальное
расстояние, на котором можно включать маршевый двигатель ракеты-носителя
без угрозы для экипажа самолета-носителя и с минимальной потерей выводимой
полезной нагрузки.
Книга содержит много примеров, которые демонстрируют практическую реализацию рассматриваемых задач баллистики, а также статистические данные по
опубликованным российским и зарубежным работам.
Автор надеется, что научный подход и практические рекомендации будут полезны специалистам в области баллистики, так как книга включает фундаментальные
задачи движения летательных аппаратов и современные методы решения проблемы
высокоточного наведения на базе терминальных алгоритмов для БЦВМ. Эта книга
может также служить учебным пособием для аспирантов и студентов старших курсов соответствующих специальностей при углубленном изучении задач баллистики
летательных аппаратов.
Автор признателен члену-корреспонденту РАН Э. Л. Акиму, чья поддержка,
внимание и полезные рекомендации помогали в работе над книгой и способствовали улучшению ее содержания. Автор также благодарен А. П. Леутину за ценные
замечания, которые были учтены при доработке текста.

Глава 1

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Летательные аппараты, такие как ракета, крылатая ракета, космический корабль,
космический самолет и др., имеют общие особенности движения, связанные с использованием тяги двигателя для изменения скорости и траектории полета. Поскольку тяга создается за счет сгорания топлива, то масса ЛА может существенно
меняться в процессе полета. Эта особенность учитывается при выводе векторных
уравнений движения ЛА на участке полета с работающими двигателями.
Для вывода уравнений движения и исследования задач, связанных с полетом
ЛА, используются различные системы координат, каждая из которых позволяет
упростить рассматриваемую задачу. Сложность получающихся уравнений движения зависит также от принятой в задаче модели фигуры Земли и соответствующего
ей гравитационного поля. Поэтому будут обсуждаться некоторые модели гравитационного поля Земли.
Аэродинамические нагрузки, действующие на ЛА в атмосфере, зависят от
скорости полета и плотности атмосферы. Истинная плотность атмосферы по
траектории полета всегда отличается от стандартной, которая представляет собой
результат осреднения измеренных параметров атмосферы на большом интервале
времени и большой территории. Необходимо иметь оценки возможных вариаций
плотности для расчета предельных нагрузок, действующих на ЛА, и разброса
конечных параметров траектории атмосферного участка. В этой связи исследуется
глобальная модель вариаций плотности атмосферы на высотах от 0 до 120 км.
Подробно будут проанализированы действующие силы и моменты. Будут выведены уравнения движения центра масс ЛА в начальной стартовой (инерциальной)
системе координат и уравнения движения относительно центра масс в связанной
системе координат. Эти уравнения наиболее часто используются в задачах баллистики и динамики.

1.1. ОСОБЕННОСТИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ РАКЕТЫ
КАК ТЕЛА ПЕРЕМЕННОГО СОСТАВА

Движение ракеты на активном участке связано с расходом топлива. Следовательно,
масса ракеты является переменной, и этот факт должен учитываться при выводе
уравнений движения ракеты на основе теорем механики об изменении количества
движения и об изменении кинетического момента.
К одним из первых работ по исследованию проблем динамики ракет как систем
переменного состава относятся [1.1 и 1.2]. Различным аспектам динамики ракет
посвящены работы [1.3–1.7] и другие.
На основе проведенного анализа механики движения системы переменного
состава был сформулирован следующий принцип затвердевания для ракеты [1.4].

Глава 1. Уравнения движения

Уравнения движения корпуса ракеты в произвольный момент времени t могут
быть записаны в виде уравнений движения твердого тела (постоянного состава),
если представить себе, что ракета затвердела в момент времени t и к полученному
таким образом фиктивному твердому телу приложены: 1) внешние силы Σ⃗Fi,
действующие на ракету, кроме силы ⃗F∗ = (pa − ph)Sa⃗ex, 2) тяга двигателя ⃗P,
3) кориолисова сила ⃗Fc.
Здесь pa — давление газов на срезе сопла, ph — атмосферное давление, Sa —
площадь сопла, ⃗ex — единичный вектор по направлению к голове ЛА. Сила ⃗F∗

учитывается в тяге двигателя.

1.1.1. Уравнение движения центра масс ракеты.
Количество движения фиктивного твердого тела вычисляется по формуле

⃗K(f ) = m⃗V (f )
c ,

где m — масса фиктивного твердого тела, соответствующая массе ракеты в момент
времени t, ⃗V (f )
c
— скорость центра масс C фиктивного твердого тела.
Тогда
d⃗K(f )

dt
= md⃗V (f )
c
dt
= m⃗W (f )
c
,

где ⃗W (f )
c
— ускорение центра масс фиктивного твердого тела. С учетом принципа
затвердевания имеем уравнение движения центра масс фиктивного твердого тела:

m⃗W (f )
c
=
⃗Fi + ⃗P + ⃗Fc.
(1.1.1)

Рассмотрим теперь движение центра масс ракеты, который помимо переносного движения вместе с корпусом (⃗Vce, ⃗Wce — переносная скорость и переносное
ускорение) перемещается относительно корпуса со скоростью ⃗Vcr и ускорением
⃗Wcr. Абсолютная скорость центра масс ракеты задается уравнением

⃗Vc = ⃗Vce + ⃗Vcr,
(1.1.2)

а абсолютное ускорение центра масс ракеты задается уравнением

⃗Wc = ⃗Wce + ⃗Wcr + 2⃗ω × ⃗Vcr,
(1.1.3)

где ⃗ω — вектор угловой скорости вращения корпуса ракеты, 2⃗ω × ⃗Vcr — ускорение
Кориолиса.
В момент времени t, когда предполагается затвердевание ракеты, центры масс
фиктивного твердого тела и ракеты совпадают.
В этот момент
⃗Vce = ⃗V (f )
c
,
⃗Wce = ⃗W (f )
c
.

С учетом (1.1.3) имеем

⃗W (f )
c
= ⃗Wc − ⃗Wcr − 2⃗ω × ⃗Vcr
(1.1.4)

и после подстановки в (1.1.1) получим уравнение движения центра масс ракеты:

m⃗Wc = Σ⃗Fi + ⃗P + ⃗Fc + m⃗Wcr + 2m⃗ω × ⃗Vcr.
(1.1.5)