Геометрия 2
Учебное пособие для вузов
Покупка
Тематика:
Геометрия и топология
Издательство:
Лаборатория знаний
Год издания: 2024
Кол-во страниц: 546
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-93208-695-7
Артикул: 601816.04.99
В учебнике собран материал второй части единого курса геометрии, изучение которого необходимо будущему учителю математики для успешной работы со школьниками. Изложение теоретического материала проиллюстрировано
типовыми примерами. Для студентов, аспирантов и преподавателей математических факультетов вузов.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.02: Прикладная математика и информатика
- 01.03.04: Прикладная математика
- ВО - Специалитет
- 01.05.01: Фундаментальные математика и механика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
У Ч Е Б Н И К Д Л Я В Ы С Ш Е Й Ш К О Л Ы У Ч Е Б Н И К Д Л Я В Ы С Ш Е Й Ш К О Л Ы С. Л. Атанасян, В. Г. Покровский, А. В. Ушаков ГЕОМЕТРИЯ 2 Учебное пособие для вузов Допущено Учебно-методическим объединением по направлению «Педагогическое образование» Министерства образования и науки РФ в качестве учебного пособия для высших учебных заведений, ведущих подготовку по направлению 050100 «Педагогическое образование» 4-E ИЗДАНИЕ, ЭЛЕКТРОННОЕ Москва Лаборатория знаний 2024
УДК 514 ББК 22.1 А92 Атанасян С. Л. А92 Геометрия 2 : учебное пособие для вузов / С. Л. Атанасян, В. Г. Покровский, А. В. Ушаков ; под ред. С. Л. Атанасяна. — 4-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2024. — 547 с. — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный. ISBN 978-5-93208-695-7 В учебнике собран материал второй части единого курса геометрии, изучение которого необходимо будущему учителю математики для успешной работы со школьниками. Изложение теоретического материала проиллюстрировано типовыми примерами. Для студентов, аспирантов и преподавателей математических факультетов вузов. УДК 514 ББК 22.1 Деривативное издание на основе печатного аналога: Геометрия 2 : учебное пособие для вузов / С. Л. Атанасян, В. Г. Покровский, А. В. Ушаков ; под ред. С. Л. Атанасяна. — 3-е изд. — М. : Лаборатория знаний, 2023. — 544 с. : ил. — ISBN 978-5-93208-326-0. В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации ISBN 978-5-93208-695-7 © Лаборатория знаний, 2015
ВВЕДЕНИЕ Предлагаемое учебное пособие является продолжением пособия «Геометрия 1» авторов С. Л. Атанасяна и В. Г. Покровского. Оно соответствует программе, реализуемой кафедрой алгебры и геометрии и методики их преподавания Государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский городской педагогический университет» при обучении студентов по направлению «Педагогическое образование», профиль «Математика». Пособие будет также полезно магистрантам, обучающимся по соответствующим программам магистратуры. В нем представлен материал заключительной части единого курса геометрии педагогического вуза. Оно крайне необходимо будущему учителю математики, так как помимо фундаментальных математических знаний и общематематической культуры, раскрывает перед студентами основы элементарной, школьной геометрии. Пособие состоит из следующих частей: методы изображений, основания геометрии, проективная геометрия, элементы топологии и дифференциальной геометрии. Они достаточно независимы друг от друга и могут излагаться в любой последовательности. Однако авторы предлагают именно указанный порядок изучения, хотя он отличается от принятого в ставшем уже классическим пособии Л. С. Атанасяна и В. Т. Базылева [1]. Эта рекомендация основана на том соображении, что при четырехлетнем обучении бакалавров достаточно рано, уже на третьем году учебы, студенты выходят на педагогическую практику в школу. Поэтому в первую очередь им следует освоить те разделы, которые крайне необходимы учителю, а именно методы изображений и основания геометрии.
Введение Части I–III подготовлены профессором С. Л. Атанасяном. В части второй «Основания геометрии» глава V «Теория измерений» написана доцентом В. Г. Покровским. Часть IV подготовлена доцентом А. В. Ушаковым. Общая редакция профессора С. Л. Атанасяна.
ЧАСТЬ I МЕТОДЫ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Задача изображения пространственных тел на плоском чертеже рассматривалась различными математиками еще с античных времен. Решение этой задачи крайне необходимо архитекторам, художникам, инженерам. Учитель математики при преподавании стереометрии изображает пространственные тела на классной доске. Самый простой способ решения такой задачи связан с параллельным проектированием трехмерного евклидова пространства на плоскость. Метод изображения пространственных тел с помощью параллельного проектирования является простым, но не всегда удобным для всех классов задач. Например, в живописи с его помощью нельзя получить художественное изображение пространственных тел, художники применяют гораздо более сложные способы изображения, используя так называемое центральное проектирование. Но в техническом черчении и в школьном преподавании этот метод весьма удобен и практичен. Метод изображения пространственных фигур на чертеже с помощью параллельного проектирования впервые был разработан знаменитым французским математиком Гаспаром Монжем в 1779 году. В это время он был преподавателем военно-инженерной школы в городе Мезьере. Метод был настолько удобен и прост по сравнению со старыми способами черчения, что руководство школы его засекретило. Метод Монжа впервые был опубликован в 1794 году. В дальнейшем, не оговаривая особо, будем предполагать, что все точки, прямые, плоскости и другие геометрические тела заданы в некотором трехмерном евклидовом пространстве.
Глава I СВОЙСТВА ИЗОБРАЖЕНИЙ § 1. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКИХ ФИГУР ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПРОЕКТИРОВАНИИ Рассмотрим некоторую плоскость α и вектор ⃗a, который ей не параллелен. Рис. 1 Определение 1. Под параллельной проекцией точки М на плоскость α в направлении вектора ⃗a будем понимать точку M′ пересечения этой плоскости с прямой, проходящей через M и параллельной вектору ⃗a (рис. 1). Если в пространстве дано некоторое тело F, то множество параллельных проекций всех его точек на плоскость α в направлении вектора ⃗a образуют параллельную проекцию F′ тела F на эту плоскость. Плоскость α будем называть плоскостью проекции. Если вектор ⃗a перпендикулярен плоскости проекции, то параллельное проектирование называется ортогональным. В техническом черчении в основном используется ортогональное проектирование. Вектор ⃗a определяет направление параллельного проектирования. Ясно, что это направление может быть задано не только вектором, но и прямой, лучом или отрезком. Мы всегда будем считать, что направление проекции не параллельно плоскости α, а проектируемые прямые, лучи и отрезки не параллельны направлению проектирования. Так как в настоящей главе мы будем рассматривать только параллельную проекцию, то слово «параллельное», если это не вызывает путаницы, будем опускать и говорить проектирование, проекция и т. п. Сформулируем свойства параллельного проектирования. 1. Проекцией прямой служит прямая линия. 2. Параллельные прямые проектируются в параллельные или совпадающие прямые. 3. Отрезок AB проектируется в отрезок A′B′, где A′ и В′ — проекции его концов A и B.
Глава I. Свойства изображений 4. Сохраняется простое отношение точек. 5. Отрезки, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой (в дальнейшем параллельные отрезки), проектируются в параллельные отрезки. 6. Сохраняется отношение длин параллельных отрезков. 7. Сохраняется отношение сонаправленности или противоположной направленности направленных отрезков. Рис. 2 Доказательства сформулированных свойств достаточно просты. Проверим свойство 4, остальные свойства докажите самостоятельно. Пусть A, B и C — точки, принадлежащие одной прямой l (рис. 2). Напомним, что под простым отношением (AB, C) = λ понимается число, удовлетворяющее соотношению −→ AC = λ−→ CB. Проведем через прямую l плоскость π, параллельную вектору ⃗a, обозначим через l′ прямую пересечения плоскостей α и π. Тогда проекции A′, В′ и С′ данных точек принадлежат прямой l′. Исходя из свойства отношения отрезков, отсекаемых от двух прямых l и l′ плоскости π параллельными прямыми АА′, ВВ′ и СС′, получим −→ AC −→ CB = −−−→ A′C′−−→ C′B′ . Поэтому |(AB, C)| = |(A′B′, C′)|. Также ясно, что при параллельном проектировании сохраняется порядок точек на прямой. В данном случае точка B лежит между точками A и C, соответственно точка B′ лежит между A′ и С′ (рис. 2). Отсюда получим (AB, C) < 0, (A′B′, C′) < 0. Таким образом, (AB, C) = (A′B′, C′). Утверждение доказано. Как правило, пользуясь параллельным проектированием, мы изображаем на чертеже не саму параллельную проекцию пространственного тела, а фигуру, ей подобную. Действительно, если, например, ученику требуется решить задачу, в которой рассматривается куб со стороной 1 метр, то он
§ 1. Изображение плоских фигур 9 в тетради делает изображение куба меньших размеров, но подобный параллельной проекции данного. Введем определение. Определение 2. Под изображением фигуры F на плоскости α при параллельном проектировании будем понимать фигуру F1, подобную ее параллельной проекции F′. Плоскость α будем называть плоскостью изображения. На рисунке 3 представлены плоскость изображения α, пространственная фигура F, ее параллельная проекция F′ и изображение F1 фигуры F. Рис. 3 Рассмотрим следующую задачу. Даны две плоскости α и β. В плоскости β расположена некоторая фигура F. Плоскость β параллельно проектируется на плоскость α. Требуется выяснить, какими свойствами будет обладать изображение F1 фигуры F на плоскости изображения α. Для решения этой задачи нам потребуется определить так называемое аффинное отображение одной плоскости на другую. Определение 3. Пусть даны две плоскости α и β. Аффинным отображением плоскости β на плоскость α называется взаимно однозначное отображение f: β → α плоскости β на плоскость α, при котором коллинеарные точки переходят в коллинеарные и сохраняется простое отношение точек. Как мы видим, если плоскости α и β совпадают друг с другом, то аффинное отображение β на α представляет собой аффинное преобразование плоскости. Свойства этого преобразования были рассмотрены нами в главе «Геометрические преобразования» [2]. Нетрудно показать, что
Глава I. Свойства изображений свойства аффинного отображения, по сути, совпадают со свойствами аффинного преобразования. Перечислим их. 1. Неколлинеарные точки плоскости отображаются на неколлинеарные, в частности, аффинный репер1) отображается на аффинный репер. 2. Прямая линия отображается в прямую, параллельные прямые в параллельные прямые. 3. Сохраняется отношение отрезков, лежащих на параллельных прямых или на одной прямой. 4. Если в плоскости β дан аффинный репер R, а в плоскости α аффинный репер R′, то существует единственное аффинное отображение f: β → α, при котором репер R отображается в R′. Если при этом точка M плоскости β имела в репере R координаты x и y, то ее образ f(M) будет иметь в репере R′ те же координаты x и y. Проверьте эти утверждения самостоятельно по аналогии с доказательствами соответствующих свойств аффинных преобразований плоскости (см. [2, § 34]). Пусть нам даны две плоскости α и β и фигуры F′ и F на этих плоскостях. Фигуры назовем аффинно эквивалентными, если существует аффинное отображение плоскости β на плоскость α, при котором F отображается на F′. Пусть фигура F′ служит изображением фигуры F на плоскости изображения α при некотором параллельном проектировании. Тогда, как следует из свойств подобия и параллельного проектирования, F′ и F аффинно эквивалентны. Действительно, при подобии и параллельном проектировании сохраняются как коллинеарность точек, так и их простые отношения. Поэтому эти же свойства инвариантны и при произведении отображений. Таким образом, произведение параллельного проектирования и подобии представляет собой аффинное отображение плоскости β на α. В случае пересекающихся плоскостей справедливо обратное утверждение. Рассмотрим некоторое аффинное отображение f плоскости β на плоскость α. Будем предполагать, что данные плоскости пересекаются по некоторой прямой l (рис. 4). В плоскости β выберем аффинный репер 1) Напомним, что под аффинным репером понимается упорядоченная тройка неколлинеарных точек плоскости.