Вероятность и статистика

Рекомендовано 
учебно-методическим объединением 
вузов Российской Федерации по образованию 
в области авиационной и космической техники
для межвузовского использования 
в качестве учебного пособия для втузов 

ВЕРОЯТНОСТЬ
И СТАТИСТИКА

В. Б. Монсик 
А. А. Скрынников

5-е издание, электронное

Москва
Лаборатория знаний
2024

УДК 519.2
ББК 22.17
М77

Монсик В. Б.
М77
Вероятность и статистика : учебное пособие / В. Б. Монсик, А. А. Скрынников. — 5-е изд., электрон. — М. : Лаборатория
знаний, 2024. — 384 с. — Систем. требования: Adobe Reader XI ;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-689-6
В учебном пособии рассмотрены теоретические основы и прикладные
методы
теории
вероятностей
и
математической
статистики.
Оно
обеспечивает годовой курс изучения дисциплины «Теория вероятностей
и математическая статистика» и может быть использовано как студентами
инженерных специальностей вузов, так и их преподавателями. Теоретические
положения
иллюстрируются
большим
количеством
рисунков,
интересных числовых примеров и задач прикладной направленности, для
решения которых в приложении приводятся необходимые вероятностностатистические таблицы.
Для студентов инженерных специальностей вузов.
УДК 519.2
ББК 22.17

Деривативное издание на основе печатного аналога: Вероятность и статистика : учебное пособие / В. Б. Монсик, А. А. Скрынников. — М. : БИНОМ.
Лаборатория знаний, 2011. — 381 с. : ил. — ISBN 978-5-9963-0637-4.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-93208-689-6
© Лаборатория знаний, 2015

Предисловие

Учебное пособие предназначено для подготовки инженеров всех
специальностей, преподавателей и научных работников, использующих вероятностные и статистические подходы в повседневной
работе, и содержит теоретические основы и прикладные методы теории вероятностей и математической статистики.
В первом разделе книги рассматриваются основные положения
теории вероятностей (ТВ): основные понятия ТВ, комбинаторные
методы решения вероятностных задач, основные теоремы и формулы ТВ, случайные величины, векторы и законы их распределения, некоторые законы распределения, используемые в математической статистике, функции случайных аргументов и предельные
теоремы ТВ.
Во втором разделе даются основы математической статистики:
выборочный метод в математической статистике, оценивание законов распределения и моментных характеристик случайных величин
по результатам наблюдений, статистическая проверка гипотез.
Учебное пособие содержит значительное число примеров, иллюстрирующих теоретические положения. Примеры не являются строго ориентированными на ту или иную инженерную специальность,
что делает книгу достаточно универсальной. Прикладные задачи
могут рассматриваться на практических занятиях.
В список учебной литературы включены известные учебники и
учебнометодические издания, использованные при написании
данного учебного пособия, а в списке вспомогательной литературы
даны ссылки на справочные материалы.
В приложении даны вероятностные и статистические таблицы,
необходимые для решения примеров и задач, приведенных в книге.
Таблицы могут быть использованы при проведении практических
занятий и при самостоятельном изучении дисциплины студентами,
а также аспирантами при сдаче кандидатских экзаменов.

Введение

Дисциплина «Основы теории вероятностей и математической статистики» относится к числу прикладных математических дисциплин, так как она направлена на решение
прикладных задач и возникла из практических потребностей.
Двойное название дисциплины связано с тем, что она состоит
их двух направлений: теории вероятностей и математической
статистики, взаимно дополняющих друг друга.
Теория вероятностей изучает закономерности в массовых
случайных явлениях.
Случайное явление — это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта (испытания, эксперимента) протекает всякий раз несколько по
иному.
Массовые случайные явления — это явления, которые являются результатом многократного повторения одного и того
же опыта (испытания, эксперимента) в одинаковых (неизменных) условиях.
Приведем примеры случайных явлений.
1. Летательный аппарат (ЛА) совершает горизонтальный
полет на заданной высоте H0 с заданной скоростью V0. Фактическая траектория центра массы ЛА отклоняется от теоретической — прямой линии, — имеют место колебания ЛА около
центра масс и отклонения самого центра масс вследствие турбулентности атмосферы, действия случайных порывов ветра,
ошибок в управлении ЛА и т. п. Траектории фактического
движения ЛА в повторных полетах ни разу не повторяются.
Полет ЛА в турбулентной атмосфере — пример случайного
явления.
2. Производится стрельба из орудия по некоторой цели.
Условия стрельбы (тип снаряда, угол установки орудия) — одни и те же для каждого выстрела. Тем не менее, точки попадания снарядов относительно цели образуют так называемое

Введение
5

поле рассеивания. Теоретические траектории полета снарядов совпадают, а фактически траектории различаются за счет
наличия ряда случайных факторов: отклонения веса снаряда
от номинала, ошибок изготовления снаряда, неоднородности
структуры заряда пороха, ошибки наводки ствола, изменения
метеоусловий во время стрельбы и т. п. Поэтому фактические
траектории образуют «пучок» траекторий, объясняющий
«рассеивание» снарядов. Процесс стрельбы — случайное явление.
3. Производится ряд испытаний однотипных технических
систем на безотказность в одинаковых условиях. Результаты
испытаний не остаются постоянными, а меняются от испытания к испытанию. Эти изменения обусловлены действием ряда случайных факторов, таких, как условия хранения, транспортировки систем, надежности подсистем, отклонения токов и напряжений от номинала и т. п. Процесс испытаний
технических систем — случайное явление.
4. Время подготовки воздушного судна (ВС) к полету по
заданному маршруту, при стандартной заправке топливом,
определенном числе специалистов группы обслуживания не
является величиной строго постоянной, а меняется от одного
ВС к другому. Причинами являются случайные факторы: различное состояние ВС, подготовка специалистов, метеоусловия и т. п. Процесс подготовки ВС к полету — случайное
явление.
5. Симметричная монета несколько раз бросается на гладкую поверхность стола, падая, открывает одну из двух своих
сторон: «герб» или «цифру». Исход опыта «герб» или «цифра»
обусловлен действием ряда случайных факторов: скорости
подбрасывания и угловой скорости вращения монеты, неровностей поверхности стола и т. п. Бросание монеты — случайное явление.
Основная черта случайных явлений — их исход невозможно предвидеть. Но это не означает, что случайные явления беспричинны. Существуют основные закономерности,
определяющие равномерный и прямолинейный полет ЛА,
движение снаряда, время безотказной работы технической
системы, время подготовки ВС к полету, результат падения
симметричной монеты на поверхность стола. В силу основного закона диалектики — закона всеобщей связи и обусловленности явлений, каждое явление связано с другими явлениями бесконечным числом различных связей. Проследить

Введение

все это бесконечное множество связей принципиально невозможно, а поэтому невозможно указать и исход случайных явлений. На практике любые закономерности всегда осуществляются с некоторыми отклонениями.
Предмет изучения теории вероятностей — массовые случайные явления — такие явления, которые многократно воспроизводятся в одинаковых условиях. Для таких случайных
явлений характерна так называемая «статистическая» закономерность — устойчивость их некоторых средних характеристик, которая проявляется тем рельефнее, чем большее
число реализаций случайных явлений рассматривается. Так,
при большом числе выстрелов можно наблюдать картину рассеивания снарядов относительно цели и судить о точности и
кучности стрельбы. При проведении испытаний технических
систем на безотказность можно судить о среднем времени наработки на отказ и рассеивании результатов около среднего.
При бросании 1000 симметричных монет на гладкую поверхность можно ожидать, что в среднем около 500 монет лягут
вверх гербом (цифрой). По образному выражению Ф. Энгельса, закономерность всегда прокладывает себе дорогу сквозь
цепь случайностей.
Таким образом, многократно подтвержденная практикой
устойчивость массовых случайных явлений является основой применения вероятностных или статистических методов
исследования для решения многочисленных практических
задач. Эти методы дают возможность предсказать средний,
суммарный результат массовых случайных явлений, исход
каждого из которых остается неопределенным.
Теория вероятностей, как и всякая прикладная наука, нуждается в исходных экспериментальных данных для численных
расчетов. Эти данные дает математическая статистика,
образовавшаяся как раздел теории вероятностей, которая занимается разработкой методов регистрации, обработки и анализа результатов опытов (наблюдений, испытаний, экспериментов).
Математическая статистика, как и теория вероятностей,
имеет дело со случайными явлениями и использует одинаковые с ней определения, понятия и методы. Однако задачи, решаемые методами математической статистики, носят специфический характер. Теория вероятностей исследует явления,
полностью заданные их моделью, и выявляет еще до опыта те
статистические закономерности, которые будут иметь место

Введение
7

после его проведения. В математической статистике
вероятностная модель определена с точностью до неизвестных параметров. Отсутствие сведений о параметрах
компенсируется тем, что допускается проведение «пробных»
испытаний и на их основе восстанавливается недостающая
информация.
В математической статистике выделяют два направления
исследований. Первое связано с оценкой неизвестных параметров распределений по результатам опытов: вероятностей
событий, моментов случайных величин, законов распределения случайных величин. Второе направление связано с проверкой некоторых априорных предположений или статистических гипотез относительно параметров и распределений
случайных величин.
Теория вероятностей является мощным инструментом исследований, поэтому она находит большое число самых разнообразных применений в различных областях науки и
техники. Области ее применения непрерывно расширяются.
В XIX в. теория вероятностей нашла применение в теории
стрельбы и физике, в XX в. стала применяться в аэродинамике
и гидродинамике, радиотехнике, теории управления, динамике полета, теории связи, строительной механике, судостроении, метеорологии и во многих других областях знаний.
В современной теории процессов управления, в теоретической радиотехнике теория вероятностей стала основным
инструментом исследования. Она служит фундаментом для
теории стрельбы и бомбометания, теории боевой эффективности и исследования операций. Вследствие этого теория вероятностей играет важную роль в развитии всей современной
науки и техники.
Развитие теории вероятностей в XVII в., было инициировано необходимостью изучения случайных явлений в азартных играх. Ее развитие связано с исследованиями Б. Паскаля
(1623—1662), П. Ферма (1601—1665) и Х. Гюйгенса (1629—
1695). Якоб Бернулли (1654—1705) дал первый математический вывод основной закономерности массовых случайных
явлений — закона больших чисел. В дальнейшем развитии
теории вероятностей и ее приложений к оценке ошибок измерений выдающуюся роль сыграли исследования А. Моавра
(1667—1754), П. С. Лапласа (1749—1827), К. Р. Гаусса (1777—
1855) и С. Пуассона (1781—1840).

Введение

В развитии теории вероятностей в конце XIX — начале
XX в. решающую роль сыграли русские ученые Петербургской
математической 
школы: 
В. Я. Буняковский 
(1804—1889),
П. Л. Чебышев 
(1821—1894), 
А. А. Марков 
(1856—1922),
А. М. Ляпунов (1857—1918).
В разработке математических основ теории вероятностей особенно велика роль российского ученого академика
А. Н. Колмогорова (1903—1997), одного из крупнейших математиков нашего времени. Он разработал современную систему аксиом и первым (1933) дал строгое математическое построение теории вероятностей. Для современной теории
вероятностей большое значение имеют труды отечественных ученых: С. Н. Бернштейна, А. Я. Хинчина, Е. Е. Слуцкого, Ю. В. Прохорова, В. С. Пугачева и др. Важный вклад в развитие теории вероятностей и математической статистики
внесли зарубежные ученые: Н. Винер, В. Феллер, Дж. Дуб,
Р. Фишер, Д. Нейман, Г. Крамер.

Основные понятия теории вероятностей

1.1. Опыт и событие

Опытом (испытанием) в теории вероятностей называется определенная воспроизводимая совокупность условий <У> и действий
<Д>, результатом которых является тот или иной исход, именуемый
событием:

<опыт> = {<У>, <Д>} → <событие>.

Событием называется исход (результат) опыта, иначе говоря,
всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта.
Результат опыта является случайным — говорят, что производится опыт со случайным исходом, а события, в общем смысле, являются случайными.
Случайные события обычно обозначают первыми заглавными
буквами латинского алфавита — A, B, C, D, E, ... . Могут использоваться буквы и из других алфавитов.

Опыт заключается в однократном бросании симметричной монеты на гладкую поверхность стола.
Возможные события: Г — появление герба, Ц — появление цифры. В результате опыта может появиться либо событие Г, либо событие Ц.

Опыт заключается в однократном бросании игральной
кости на гладкую поверхность стола.
Возможные события: A1, A2, ... , A6 — появление одного, двух, ... , шести

очков. Как исход опыта может появиться любое из перечисленных событий.

Раздел 1. Теория вероятностей

Производится один выстрел по мишени. 
Возможные события: A — попадание в мишень, B — промах. В результате опыта может появиться либо событие A, либо событие B.

В рассмотренных примерах события не могут быть разложены на
более простые. Такие события называются элементарными событиями или элементарными исходами опытов. Множество элементарных исходов опыта образует так называемое полное пространство исходов (событий). Условимся обозначать его символом Ω, а отдельное элементарное событие — символом ω. Тогда
полные пространства исходов в рассмотренных ранее примерах
можно представить в следующем виде:

пример 1.1.1. ω1 = Г, ω2 = Ц; Ω = {ω1, ω2};
пример 1.1.2. ωk = Ak, k = 1, ... , 6; Ω = {ω1, ω2, ... , ω6};
пример 1.1.3. ω1 = A, ω2 = B; Ω = {ω1, ω2}.

Случайные события строятся на множестве элементарных
событий (исходов). 
Рассмотрим условия примера 1.1.2. Событие E — появление не
менее трех очков при бросании игральной кости — может быть
представлено в виде

E = {ω3, ω4, ω5, ω6},

событие D — появление не более двух очков — в виде

D = {ω1, ω2}.

Графическая иллюстрация случайных событий E и D, построенных на множестве исходов опыта, представлена на рис. 1.1.1.
Событие, которое всегда происходит в данном опыте, называется достоверным и обозначается Ω.
Событие, которое никогда не
может произойти в данном опыте,
называется невозможным и обозначается ∅. Например, при однократном бросании игральной кости
(условия примера 1.1.2) появление
числа очков не более шести — достоверное событие, а появление семи
очков — невозможное событие.
Таким образом, события могут
быть случайными, достоверными и
невозможными.

Случайные 
события