Задачи по квантовой физике

Москва
Лаборатория знаний
2 0 2 4
 

Р е к о м е н д о в а н о

учебно-методическим объединением
в области «Ядерные физика и технологии»
в качестве учебного пособия
для студентов физических специальностей
высших учебных заведений

7-е издание, электронное

И. Е. ИРОДОВ

ПО КВАНТОВОЙ
ФИЗИКЕ

З А Д А Ч И

УДК 530.145
ББК 22.31
И83

Иродов И. Е.
И83
Задачи по квантовой физике / И. Е. Иродов.—
7-е
изд.,
электрон. — М.
:
Лаборатория
знаний,
2024. — 220 с. — Систем.
требования:
Adobe
Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. —
Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-706-0
Сборник содержит около 800 задач по широкому кругу
вопросов
квантовой
физики
и
ее
приложений:
квантовая
природа электромагнитного излучения, волновые свойства
частиц, элементы квантовой механики, электронная оболочка
атома, молекулы, кристаллы, физика ядра, ядерные реакции
и элементарные частицы. К наиболее сложным задачам даны
подробные указания.
Для
студентов
физических
и
инженерно-технических
специальностей вузов.

УДК 530.145
ББК 22.31

Деривативное
издание
на
основе
печатного
аналога:
Задачи
по
квантовой
физике
/
И. Е. Иродов.— 3-е
изд. —
М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. — 215 с. : ил.
ISBN 978-5-9963-0283-3

В
соответствии
со
ст. 1299
и
1301
ГК
РФ
при
устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты
авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя
возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-93208-706-0
© Лаборатория знаний, 2015

Содержание

Предисловие .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5

Принятые обозначения .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6

1. Истоки квантовой физики
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7

Тепловое излучение. Формула Планка
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8

Корпускулярные свойства электромагнитного излучения .
.
12

Модель атома Резерфорда–Бора
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
19

2. Волновые свойства частиц .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
25

Волны де Бройля.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
26

Соотношение неопределенностей Гейзенберга
.
.
.
.
.
.
30

Уравнение Шредингера
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
32

Прохождение частицы через барьер .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
38

3. Основы квантовой механики
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
42

Квантово-механические операторы
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
44

Средние значения и вероятности .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
47

Изменение во времени состояния.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
50

Четность .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
51

Центрально-симметричное поле. Атом водорода. .
.
.
.
.
53

4. Электронная оболочка атома. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
56

Состояния электронов в атоме .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
58

Интенсивность и ширина спектральных линий
.
.
.
.
.
62

Характеристические рентгеновские спектры.
.
.
.
.
.
.
65

Магнитные свойства атома .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
68

5. Двухатомная молекула
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
73

Вращательные, колебательные и электронные
состояния
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
74

Молекулярные спектры. Комбинационное рассеяние
.
.
.
77

6. Твердое тело
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
80

Структура кристаллов .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
81

Квантовая теория теплоемкости кристаллов.
.
.
.
.
.
.
84

Свободные электроны в металлах и полупроводниках .
.
.
88

3

7. Ядро атома .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
94

Энергия связи, спин и магнитный момент ядра .
.
.
.
.
96

Закон радиоактивного распада .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
99

Альфа- и бета-распады .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
101

Гамма-излучение: внутренняя конверсия, эффект
Мессбауэра.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
104

8. Ядерные реакции .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
107

Законы сохранения в ядерных реакциях
.
.
.
.
.
.
.
109

Уровни ядер. Сечения и выходы ядерных реакций
.
.
.
114

Формула Брейта–Вигнера .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
117

9. Элементарные частицы .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
120

Взаимодействие релятивистских частиц .
.
.
.
.
.
.
.
121

Распад частиц
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
124

Внутренние свойства элементарных частиц
.
.
.
.
.
.
126

Ответы и решения.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
129

Приложения .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
207

1.
Значения некоторых определенных интегралов.
.
.
.
207

2.
Плотность некоторых веществ .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
207

3.
Работа выхода электрона из металлов .
.
.
.
.
.
.
208

4.
Край K- и L-полос поглощения рентгеновского
излучения
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
208

5.
Константы двухатомных молекул .
.
.
.
.
.
.
.
.
209

6.
Соотношение между некоторыми единицами
.
.
.
.
209

7.
Таблица свойств нуклидов
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
210

8.
Греческий алфавит
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
212

9.
Формулы некоторых атомных величин в гауссовой
системе и СИ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
213

10. Основные физические постоянные
.
.
.
.
.
.
.
.
214

Периодическая система элементов Д.И. Менделеева —
на переднем форзаце
Таблица элементарных частиц — на заднем форзаце

Предисловие к третьему изданию

Сборник предназначен в качестве учебного пособия в основном для студентов физических специальностей вузов, где изучают общий курс атомной и ядерной физики. Вместе с тем довольно широкий спектр задач, — как по тематике, так и по
уровню сложности — позволяет использовать данный сборник
и в обычных технических вузах, и при изучении некоторых
спецкурсов.
Сборник содержит около 800 задач с ответами и достаточно
подробными указаниями для решения наиболее трудных из
них. Для облегчения самостоятельной работы студентов в начале каждой главы помещен краткий обзор основных понятий и
соотношений, необходимых для решения задач данной главы.
В конце сборника даны необходимые справочные таблицы и
сводка основных физических постоянных.
Все формулы приведены как в гауссовой системе (СГС), так
и в СИ. Исходные данные и числовые ответы даны с учетом
точности соответствующих величин и правил действий над
приближенными числами.
Основу данного учебного пособия составляет радикально переработанный «Сборник задач по атомной физике» (М., 1984).
При переработке был усилен акцент на вопросах квантования;
исключены вопросы, не имеющие непосредственного отношения к квантовой физике; исключены второстепенные и малоинтересные в физическом отношении задачи; включено довольно
много новых задач; ряд громоздких задач, содержащих много
емких пунктов, разбит на отдельные задачи и др.
В издании уточнены некоторые формулировки, а также исправлены замеченные неточности и опечатки.

И. Иродов

Принятые обозначения

Векторы обозначены жирным прямым шрифтом (например, v, B).
Та же буква светлым шрифтом (v, B) означает модуль соответствующего вектора.
Средние значения величин отмечены скобками p q, например, pq,
pxq.
Терминами Л- и Ц-системы обозначены лабораторная система
отсчета и система центра масс соответственно. Все величины в Ц-системе помечены сверху значком (тильда), напримеp ~p, ~E.
Энергия: K — кинетическая, U — потенциальная, Е — полная.
В— произведение индукции магнитного поля на радиус кривизны траектории частицы.
Все операторы (кроме координат и функций, зависящих только от
координат) отмечены сверху значком ^, например
A, px .

А
— ампер
Е
— ангстрем
атм — атмосфера
б
— барн
Бк
— беккерель
В
— вольт
Вб
— вебер
Вт
— ватт
Гс
— гаусс

Гц
— герц
Дж
— джоуль
дин — дина
К
— кельвин
Ки
— кюри
кг
— килограмм
Кл
— кулон
л
— литр
м
— метр

мин — минута
Мкс — максвелл
Па
— паскаль
Н
— ньютон
с
— секунда
ср
— стерадиан
Тл
— тесла
ч
— час
эВ
— электронвольт

Десятичные приставки к названиям единиц

Э
— экса, 10
18

П — пета, 10
15

Т
— тера, 10
12

Г
— гига, 10
9

М — мега, 10
6

к
— кило, 10
3

г
— гекто, 10
2

д
— деци, 10
–1

с
— санти, 10
–2

м
— милли, 10
–3

мк — микро, 10
–6

н
— нано, 10
–9

п
— пико, 10
–12

ф
— фемто, 10
–15

а
— атто, 10
–18

6

1. Истоки квантовой физики

Энергетическая светимость теплового излучения:

М cu/4,
(1.1)

где с — скорость света, u — плотность энергии теплового излучения.

Формула Вина для спектральной плотности энергии теплового
излучения и закон смещения Вина:

u
f
T
T
b
m
3
( /
),
,
(1.2)

где — круговая частота излучения; Т — температура; m — длина
волны, отвечающая максимуму распределения u; b — постоянная.

Закон Стефана–Больцмана:

M T4,
(1.3)

где — постоянная Стефана–Больцмана.

Формула Планка для спектральной плотности энергии:

u
c
h
kT
h
3

2
3
1
1
exp(
/
)
.
(1.4)

Соотношения между полной энергией Е, импульсом p и кинетической энергией K релятивистской частицы массы m:

E2 – p2c2 m2c4,
pc
K K
mc
(
)
2
2 .
(1.5)

Комптоновское смещение длины волны рассеянного фотона:

C (1 – cos),
(1.6)

где C 2h/mc — комптоновская длина волны частицы.

Угол , на которой заряженная частица рассеивается кулоновским полем неподвижного ядра, определяется формулой:

tg 2
q q
bK

1
2
2
,
(1.7)

7

где q1 и q2 — заряды взаимодействующих частиц, K — кинетическая
энергия налетающей частицы, b — прицельный параметр.
Здесь и далее 1 (СГС) или 1/40 (СИ).

Формула Резерфорда для относительного числа частиц, рассеянных в элементарном телесном угле dпод углом к первоначальному
направлению их движения:

d
d
N
N
n
q q
K
1
2
2

4
4
2

sin (
)
,
(1.8)

где n — число ядер фольги на единицу площади ее поверхности, K — кинетическая
энегия налетающих частиц, dsindd.

Схема возникновения основных серий
водородоподобных
ионов
показана
на
рис. 1.1.

Обобщенная формула Бальмера:

RZ
n
n

2

1
2
2
2
1
1
,
R
e
2
4

2h3
,
(1.9)

где — циклическая частота перехода между
состояниями с квантовыми числами n1 и n2,
Z — заряд ядра (в единицах е), R — постоянная Ридберга, — приведенная масса системы (при me I mя me).

Резонансная линия — спектральная линия, обусловленная переходом атомов из первого возбужденного состояния в основное.

Тепловое излучение. Формула Планка

1.1. Доказать, что энергетическая светимость теплового излучения определяется формулой (1.1).
1.2. Тепловое излучение может быть представлено распределением энергии либо по длинам волн с максимумом при m,
либо по частотам с максимумом при m. Показать, что при одной и той же температуре m < c/m.
1.3. Воспользовавшись формулой Вина, показать, что:
а) наиболее вероятная частота теплового излучения m T T;
б) энергетическая светимость M T T4.
1.4. Показать с помощью формулы Вина, что в спектре распределения теплового излучения по длинам волн:

8

Рис. 1.1

а) наиболее вероятная длина волны m T 1/T;
б) максимальная спектральная плотность энергии пропорциональна T5.
1.5. В результате расширения Вселенной после Гигантского
Взрыва возникшее электромагнитное излучение (его называют
реликтовым) имеет вид теплового излучения с максимумом испускательной способности при длине волны m 1,07 мм. Какова температура этого излучения?
1.6. Начальная температура теплового излучения Т = 2000 К.
На сколько кельвинов изменилась эта температура, если наиболее вероятная длина волны в его спектре увеличилась на
260 нм?
1.7. При переходе от одной температуры к другой площадь
под кривой функции Кирхгофа (уменьшилась в 13 раз.
Как и во сколько раз изменилась при этом длина волны, соответствующая максимуму функции (?
1.8. Найти наиболее вероятную длину волны в спектре теплового излучения с энергетической светимостью М 5,7 Вт/см2.
1.9. Солнечный спектр достаточно близок к спектру теплового
излучения
с
наиболее
вероятной
длиной
волны
m 0,48 мкмНайти мощность теплового излучения Солнца.
Оценить время, за которое его масса уменьшится на один процент (за счет теплового излучения). Масса Солнца 2,0 1030 кг,
его радиус R 7,0 108 м.

1.10. Имеются две полости 1 и 2 с малыми отверстиями одинакового радиуса r 5,0 мм и абсолютно отражающими наружными поверхностями. Полости отверстиями обращены друг к
другу, причем расстояние между этими отверстиями l 100 мм.
В полости 1 поддерживают температуру T1 1250 К. Найти
установившуюся температуру в полости 2. Иметь в виду, что абсолютно черное тело является косинусным излучателем.
1.11. Зная, что давление теплового излучения p u/3, где
u — плотность энергии излучения, найти:
a) давление теплового излучения во внутренних областях
Солнца, где температура T 1,6 7 К;

б) температуру Т полностью ионизированной водородной
плазмы плотностью 0,10 г/см3, при которой давление тепло
9

вого излучеия равно кинетическому давлению частиц плазмы
(при высоких температурах вещества подчиняются уравнению
состояния для идеальных газов).
1.12. Медный шарик радиусом r 10,0 мм с абсолютно черной поверхностью поместили в откачанный сосуд, температура
стенок которого поддерживается близкой к абсолютному нулю.
Начальная температура шарика T0 300 К. Через сколько времени его температура уменьшится в 1,50 раза? Удельная
теплоемкость меди с 0,38 Дж/(гК).
1.13. Вин предложил следующую формулу для распределения энергии в спектре теплового излучения:

uA3e–a/T,

где a 7,64 10–12 Кс. Найти с помощью этой формулы при
Т 2000 К:
а) наиболее вероятную частоту излучения;
б) среднюю частоту излучения.
1.14. Используя условия предыдущей задачи, найти:
а) наиболее вероятную волну излучения;
б) среднюю длину волны излучения.
1.15. Определить число собственных поперечных колебаний
струны l в интервале частот (, d), если скорость распространения колебаний равна v. Считать, что колебания происходят в одной плоскости.
1.16. Найти число собственных поперечных колебаний прямоугольной
мембраны
площадью
S
в
интервале
частот
(, d, если скорость распространения колебаний равна v.
1.17. Показать, что в полости, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда объемом V с абсолютно отражающими
стенками, число собственных колебаний электромагнитного
поля в интервале частот (, dравно dZ(V/2c3)2d.
1.18. Тепловое излучение в полости можно представить как
совокупность осцилляторов (собственных колебаний) с различными частотами. Полагая, что распределение осцилляторов по
энергиям подчиняется закону Больцмана (T e–/kT), найти
при температуре Т среднюю энергию pq осциллятора с частотой
, если энергия каждого осциллятора может иметь:

10