Волновые процессы. Основные законы

ВОЛНОВЫЕ
ПРОЦЕССЫ

И. Е. ИРОДОВ

основные
законы

10-е издание, электронное

Р е к о м е н д о в а н о
в качестве учебного пособия
учебно-методическим объединением
в области «Ядерные физика и технологии»
для студентов физических специальностей
высших учебных заведений

Москва
Лаборатория  знаний
2 0 2 4

УДК 535.12(075)
ББК 22.343я7
И83

Иродов И. Е.
И83
Волновые процессы. Основные законы / И. Е. Иродов. — 10-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний,
2024. — 266 с. — Систем.
требования:
Adobe
Reader
XI
;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. —
Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-690-2
Данное учебное пособие содержит теоретический материал
(основные идеи волновых процессов), а также разбор многочисленных примеров и задач, где показано, как (по мнению
автора) надо подходить к их решению. Задачи тесно связаны
с
основным
текстом
и
часто
являются
его
развитием
и
дополнением.
Материал
книги,
насколько
возможно,
освобожден от излишней математизации — основной акцент
перенесен на физическую сторону рассматриваемых явлений.
Для студентов физических специальностей вузов.
УДК 535.12(075)
ББК 22.343я7

Деривативное издание на основе печатного аналога: Волновые процессы. Основные законы / И. Е. Иродов. — 9-е изд. —
М. : Лаборатория знаний, 2023. — 263 с. : ил.
ISBN 978-5-00101-394-5

В
соответствии
со
ст. 1299
и
1301
ГК
РФ
при
устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты
авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя
возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-93208-690-2
© Лаборатория знаний, 2015

Предисловие .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5

Принятые обозначения .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6

Часть I. Волны .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7

Глава 1. Упругие волны
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7

§ 1.1. Уравнение волны.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7

§ 1.2. Волновые уравнения .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12

§ 1.3. Скорость упругих волн .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
16

§ 1.4. Энергия упругой волны .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
20

§ 1.5. Стоячие волны .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
25

§ 1.6. Звуковые волны.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
29

§ 1.7. Эффект Доплера для звуковых волн .
.
.
.
.
.
.
33

Задачи.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
36

Глава 2. Электромагнитные волны .
.
.
.
.
.
.
.
.
42

§ 2.1. Волновое уравнение электромагнитной волны
.
.
.
42

§ 2.2. Плоская электромагнитная волна .
.
.
.
.
.
.
.
44

§ 2.3. Стоячая электромагнитная волна
.
.
.
.
.
.
.
.
48

§ 2.4. Энергия электромагнитной волны .
.
.
.
.
.
.
.
50

§ 2.5. Импульс электромагнитной волны .
.
.
.
.
.
.
.
52

§ 2.6. Эффект Доплера для электромагнитных волн
.
.
.
54

§ 2.7. Излучение диполя .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
58

Задачи.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
61

Часть II. Волновая оптика .
.
.
.
.
.
66

Глава 3. Вступление
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
66

§ 3.1. Световая волна .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
66

§ 3.2. Электромагнитная волна на границе раздела .
.
.
.
68

§ 3.3. Геометрическая оптика .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
71

§ 3.4. Фотометрические величины
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
80

Задачи.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
84

Глава 4. Интерференция света
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
92

§ 4.1. Интерференция световых волн
.
.
.
.
.
.
.
.
.
92

§ 4.2. Когерентность
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
97

§ 4.3. Интерференционные схемы .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
105

§ 4.4. Интерференция при отражении от тонких
пластинок
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
111

§ 4.5. Интерферометр Майкельсона
.
.
.
.
.
.
.
.
.
121

§ 4.6. Многолучевая интерференция .
.
.
.
.
.
.
.
.
123

Задачи
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
126

Глава 5. Дифракция света
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
133

§ 5.1. Принцип Гюйгенса–Френеля
.
.
.
.
.
.
.
.
.
133

§ 5.2. Дифракция Френеля от круглого отверстия .
.
.
.
136

§ 5.3. Дифракция Френеля от полуплоскости и щели
.
.
145

§ 5.4. Дифракция Фраунгофера .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
152

§ 5.5. Дифракция Фраунгофера от круглого отверстия .
.
154

§ 5.6. Дифракция Фраунгофера от щели
.
.
.
.
.
.
.
159

§ 5.7. Дифракционная решетка .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
162

§ 5.8. Дифракционная решетка как спектральный
прибор.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
170

§ 5.9. Дифракция от пространственной решетки
.
.
.
.
174

§ 5.10. О голографии .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
177

Задачи
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
181

Глава 6. Поляризация света .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
189

§ 6.1. Общие сведения о поляризации
.
.
.
.
.
.
.
.
189

§ 6.2. Поляризация при отражении и преломлении
.
.
.
193

§ 6.3. Поляризация при двойном лучепреломлении
.
.
.
197

§ 6.4. Суперпозиция поляризованных волн
.
.
.
.
.
.
201

§ 6.5. Интерференция поляризованных волн .
.
.
.
.
.
209

§ 6.6. Искусственное двойное лучепреломление .
.
.
.
.
214

§ 6.7. Вращение направления линейной поляризации
.
.
217

Задачи
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
221

Глава 7. Взаимодействие света с веществом .
.
.
.
.
229

§ 7.1. Дисперсия света .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
229

§ 7.2. Классическая теория дисперсии
.
.
.
.
.
.
.
.
230

§ 7.3. Групповая скорость .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
235

§ 7.4. Поглощение света
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
239

§ 7.5. Рассеяние света
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
241

Задачи
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
244

Приложения.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
251

1. Поведение плоской волны на границе двух
диэлектриков .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
251

2. Формула сферической преломляющей поверхности.
.
.
252

3. Излучение Вавилова–Черенкова .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
253

4. Единицы физических величин
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
255

5. Десятичные приставки к названиям единиц .
.
.
.
.
255

6. Греческий алфавит
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
255

7. Единицы величин в СИ и системе Гаусса .
.
.
.
.
.
256

8. Основные формулы электродинамики в СИ
и гауссовой системе .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
257

9. Некоторые физические константы .
.
.
.
.
.
.
.
.
258

Предметный указатель .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
259

4
Содержание

Основная идея предлагаемой книги — органически совместить в
одном учебном пособии изложение принципов теории и практику решения задач. С этой целью в каждой главе сначала излагается теория
соответствующего вопроса (с иллюстрацией на конкретных примерах),
а затем дается разбор ряда задач, где показывается, к а к, по мнению
автора, следует подходить к их решению. Задачи тесно связаны с
основным текстом, часто являются его развитием и дополнением, поэтому работа над ними должна проводиться параллельно с изучением
основного материала. Кроме того, предлагаемый набор задач должен,
по замыслу автора, дать возможность учащемуся дополнительно обдумать ряд важных вопросов и помочь представить (даже если многие
задачи не решать, а просто прочитать их условия) большой диапазон
приложения изучаемых идей.
При изложении теоретического материала автор стремился исключить из текста все второстепенное, с тем чтобы сконцентрировать внимание читателя на основных законах волновых процессов и, в частности, на вопросах наиболее трудных для понимания. Стремление изложить основные идеи кратко, доступно и вместе с тем достаточно
корректно побудило автора насколько возможно освободить материал
от излишней математизации и перенести основной акцент на физическую сторону рассматриваемых явлений. Именно поэтому из двух
форм представления комплексной амплитуды автор предпочел векторную, как более простую и наглядную. С той же целью широко использованы различные модельные представления, упрощающие факторы,
частные случаи, соображения симметрии и др.
Изложение ведется в СИ. Вместе с тем, учитывая достаточно широкое использование системы Гаусса, в Приложении дана сводка основных единиц и наиболее важных формул в СИ и в системе Гаусса.
Курсивом выделены важнейшие положения и термины. Петит используется для материала повышенной трудности и относительно громоздких расчетов (этот материал при первом чтении можно безболезненно опустить), а также для примеров и задач.
В данном издании материал книги дополнен двумя параграфами:
§ 1.6. Звуковые волны и § 3.4. Фотометрические величины. Дополнены также Приложения. Внесены некоторые уточнения, а также исправлены замеченные ошибки и опечатки.
Книга как учебное пособие рассчитана на студентов вузов с расширенной программой по физике (в рамках курса общей физики). Она
может быть полезной и преподавателям вузов.

И. Иродов.

Предисловие

Принятые обозначения

Векторы обозначены полужирным прямым шрифтом (например, v,
E); та же буква курсивом и светлым шрифтом (v, E) означает модуль
вектора.
Средние величины отмечены скобками p q, например pq, pПq.
Символы перед величинами означают:
— конечное приращение величины, т. е. разность ее конечного и
начального значений, например 2 – 1, E E2 – E1;
d — дифференциал (бесконечно малое приращение), например, d, dk.
— элементарное значение величины, например ;
T — знак пропорциональности;
— величина порядка... (10–8 см).
Орты — единичные векторы:
ех, еy, еz (или i, j, k) — орты декартовых координат;
еr — орт радиуса-вектора;
n — орт нормали к элементу поверхности;
t — орт касательной к контуру или границе раздела.
Производная по времени от произвольной функции х обозначена
dх/dt или точкой над функцией, x. То же для второй производной:
d2х/dt2 или x.
Интегралы любой кратности обозначены одним-единственным знаком и различаются лишь обозначением элемента интегрирования:
dV — элемент объема, dS — элемент поверхности, dl — элемент контура. Знак K обозначает интегрирование по замкнутой поверхности или
по замкнутому контуру.
Векторный оператор D (набла). Операции с ним обозначены так:
D— градиент (grad ),
D · E — дивергенция E (div Е),
D E — ротор E (rot E).

§ 1.1. Уравнение волны

Упругой волной называют процесс распространения возмущения в упругой среде. При этом происходит распространение
именно возмущения частиц среды, но сами частицы испытывают движения около своих положений равновесия. Среду будем
рассматривать как сплошную и непрерывную, отвлекаясь от ее
атомистического строения.
Различают волны продольные и поперечные, в зависимости
от того, движутся ли частицы около своих положений равновесия вдоль или поперек направления распространения волны.
Уравнение волны. Несмотря на большое разнообразие физических процессов, вызывающих волны, их образование происходит
по общему принципу. Возмущение, происшедшее в какой-нибудь
точке А среды в некоторый момент времени, проявляется спустя
определенное время на интересующем нас расстоянии от точки А,
т. е. передается с определенной скоростью.
Рассмотрим для простоты распространение возмущения вдоль
длинного натянутого шнура, с которым совместим ось Х. Мы можем представить возмущение — смещение элементов шнура
из положения равновесия — как функцию координаты х и времени t, т. е. f x t
( , ). Легко видеть, что распространение возмущения со скоростью v в положительном направлении оси Х
изобразится той же функцией f, если в ее аргумент x и t будут
входить в виде комбинации (vt – x) или (t – x/v). Действительно, такое строение аргумента показывает, что значение функции f, которое она имела в точке х в момент t, будет в дальней
Глава 1

Часть I

Упругие волны

Волны

шем сохраняться, если vt – x const. Но это так и есть, поскольку именно при этом условии dx/dt v.
Итак, любая функция от аргумента (vt – x) или (t – x/v) выражает распространение возмущения со скоростью v:

( , )
(
/ )
x t
f t
x v
.
(1.1)

Это и есть уравнение волны, распространяющейся в положительном направлении оси Х. Волна же, распространяющаяся в
отрицательном направлении Х, описывается уравнением

( , )
(
/ )
x t
f t
x v
.
(1.2)

Особую роль среди различных волн играет гармоническая
волна. Во многих отношениях это простейшее волновое движение и его выделенность связана с особыми свойствами гармонических осцилляторов. Уравнение гармонической волны
имеет вид

( , )
cos
(
/ )
x t
a
t
x v
,
(1.3)

где а — амплитуда волны, — циклическая (круговая) частота
колебаний частиц среды (с–1). Эта волна периодична во времени
и пространстве, поскольку сама функция периодична и ее период равен 2. Из периодичности во времени t 2находим
t 2/. Этот промежуток времени называют периодом колебаний:

T 2/.
(1.4)

Из периодичности в пространстве x/v 2находим x 2v/vT . Расстояние х называют длиной волны . Таким
образом, длина волны — это расстояние между ближайшими
точками среды, колеблющимися с разностью фаз 2. Другими
словами, это расстояние, на которое распространяется волна за
время, равное периоду колебаний Т:

vT.
(1.5)

Поскольку Т 1/n, где n — частота колебаний (Гц), формулу
(1.5) можно представить и так:

v/n.
(1.6)

8
Глава 1

Уравнение гармонической волны (1.3) принято записывать в
симметричном более удобном и простом виде. Для этого внесем
в скобку, тогда

t – x/v t – kx,

где k /v 2/Tv, или

k 2/.
(1.7)

Величину k называют волновым числом.
Тогда уравнение (1.3) примет следующий симметричный вид:

a
t
kx
cos(
).
(1.8)

Отметим, что фигурирующая выше скорость v — это фазовая скорость волны,

v /k,
(1.8’)

т. е. скорость, с которой распространяется определенное значение фазы волны — величины в скобках формул (1.1), (1.2),
(1.8). Именно фаза характеризует определенное состояние движения частиц среды при прохождении волны.
Вообще говоря, в фазу волны должна быть включена и начальная фаза , определяемая выбором начал отсчета x и t. В
случае одной волны всегда можно добиться того, чтобы была
равна нулю, что мы и предполагаем. При совместном же действии нескольких волн это сделать, как правило, не удается.
До сих пор предполагалось, что волна распространяется в непоглощающей упругой среде, поэтому ее амплитуда а = const. С
учетом же поглощения амплитуда волны, как показывает опыт,
уменьшается с расстоянием x по закону a
a
x
0e, где — коэффициент затухания волны (м–1), и уравнение волны будет
иметь вид:

a
t
kx
x
0e
cos(
).
(1.9)

Уравнение плоской волны. Уравнения (1.1), (1.2), (1.8) описывают и плоскую волну в упругой среде. В плоской волне волновые поверхности (где точки среды колеблются в одинаковой

Упругие волны
9

фазе) имеют вид плоскостей. Когда говорят, что плоская волна
распространяется вдоль оси Х, то это надо понимать так, что ее
волновые поверхности (плоскости) перпендикулярны этой оси.
Если же плоская волна распространяется в произвольном
направлении, которое характеризуется единичным вектором n
(рис. 1.1), то

f t
l v
f t
v
(
/ )
(
rn/ )
,
(1.10)

где rn = x
y
z
cos
cos
cos
, — углы между вектором
n и осями координат.

Для гармонической волны cos
(
/ )
cos (
/ )
t
v
t
v
nr
rn
и

a
cos ( t
)
kr ,
(1.11)

где k — волновой вектор:

k
n
n
v
2
.
(1.12)

До сих пор, говоря о фазовой скорости v, мы имели в виду
(как обычно и предполагают, если нет оговорок) скорость распространения данной фазы в направлении волнового вектора k, т. е.
v /k согласно (1.8). А как обстоит дело, если нас интересует
скорость ее распространения в другом направлении, составляющем, например, угол с вектором k? Для ответа на этот вопрос
воспользуемся уравнением волны (1.11).
Из условия, что фаза (выражение в скобках) должна быть постоянной, т. е. t – kr const, следует после дифференцирования
по t

kv,
(1.12)

10
Глава 1

Рис. 1.1