Теория вероятностей в примерах и задачах на языке R

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ 

НА ЯЗЫКЕ R

С.Я. КРИВОЛАПОВ

УЧЕБНИК

Москва 
ИНФРА-М 

202

УДК 519.2(075.8)
ББК 22.17я73
 
К82

Р е ц е н з е н т ы:

Н.В. Белотелов, кандидат физико-математических наук, доцент, 

старший научный сотрудник Федерального исследовательского 
центра «Информатика и управление» Российской академии наук;

О.В. Шашков, кандидат физико-математических наук, доцент, до
цент Департамента математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации

ISBN 978-5-16-017941-4 (print)
ISBN 978-5-16-110952-6 (online)

Материалы, отмеченные знаком 
, 

доступны в электронно-библиотечной системе Znanium

© Криволапов С.Я., 2023

Криволапов С.Я.

К82  
Теория вероятностей в примерах и задачах на языке R : учебник / 

С.Я. Криволапов. — Москва : ИНФРА-М, 2024. — 412 с. + Доп. материалы [Электронный ресурс]. — (Высшее образование). — DOI 
10.12737/1898404.

ISBN 978-5-16-017941-4 (print)
ISBN 978-5-16-110952-6 (online)
В учебнике излагаются основные понятия и методы теории вероятно
стей, их реализация средствами языка R. Приведено много примеров и задач с подробными решениями.

Соответствует требованиям федеральных государственных образова
тельных стандартов высшего образования последнего поколения.

Для студентов, обучающихся по направлениям подготовки «Экономи
ка», «Бизнес-информатика», аспирантов, научных сотрудников и преподавателей.

УДК 519.2(075.8)

ББК 22.17я73

Основные обозначения

( )
P A
 — вероятность события A.

(
)
|
P A B
 — условная вероятность события A при условии со
бытия B.

FX ( )
x  — функция распределения случайной величины X.

fX ( )
x  — плотность распределения случайной величины X.

(
E X)
 — математическое ожидание случайной величины X.

2
(
),
X
X
s
Var
 — дисперсия случайной величины X.

X
s  — стандартное (среднее квадратическое) отклонение слу
чайной величины X.

(
νk X)
 — начальный момент k-го порядка случайной величины X.

(
mk X)
 — центральный момент k-го порядка случайной вели
чины X.

X
A  — коэффициент асимметрии случайной величины X.

X
E  — коэффициент эксцесса случайной величины X.

xmed
 — медиана случайной величины X.

xmod
 — мода случайной величины X.

xa — квантиль уровня a случайной величины X.

x1
a
-a
w
=
 — 100 %
a
-ная точка случайной величины X.

Bin( ;
)
n p  — случайная величина, распределенная по биномиаль
ному закону с параметрами n и p.

Geom( )
p  — случайная величина, распределенная по геометриче
скому закону с параметром p.

NB( ;
)
r p  — случайная величина, распределенная по отрицатель
ному биномиальному закону с параметрами r и p.

Pois( )
l  — случайная величина, распределенная по закону Пуас
сона с параметром l.

HGeom( , , )
m n k  — случайная величина, распределенная по ги
пергеометрическому распределению с параметрами m (число 
элемен тов типа I в общей совокупности), n (число элемен тов 
типа II), k (объем выборки).

( ; )
 a s
 — случайная величина, распределенная по нормальному 

закону с параметрами a и s.

za — квантиль уровня a стандартной нормально распределенной 

случайной величины X.

( , )
 a s
 — случайная величина, распределенная по логнор
мальному закону с параметрами a и s.

Unif( ; )
a b  — случайная величина, равномерно распределенная 

на отрезке [ ; ]
a b .

Exp( ; )
a b  — случайная величина, равномерно распределенная 

по экспоненциальному закону с параметром l.

n
T  — случайная величина, распределенная по закону Стьюдента 

с числом степеней свободы n.

;n
ta  — квантиль уровня a случайной величины, распределенной 

по закону Стьюдента с числом степеней свободы n.

2n
χ  — случайная величина, распределенная по закону хи-квадрат 

с числом степеней свободы n.

2;n
χa
 — квантиль уровня a случайной величины, распределенной 

по закону хи-квадрат с числом степеней свободы n.

F ;n k
 — случайная величина, распределенная по закону Фишера 

с числом степеней свободы n и k.

fa; ;n k
 — квантиль уровня a случайной величины, распределенной 

по закону Фишера с числом степеней свободы n и k.

C( 0
x , )
g  — случайная величина, распределенная по закону Коши 

с параметрами 
0
x  и g.

( ; )
Γ a
q  — случайная величина, имеющая гамма-распределение 

с параметрами a и q.

( )
Γ x
 — гамма-функция, ( )
1

0

a
t
x
t
e dt

∞

Γ
= ∫
.

P( 0
;
)
x
a  — случайная величина, распределенная по закону Па
рето с параметрами 
0
x  и a.

cov(
,
)
X Y  — ковариация случайных величин X и Y.

xy
r  — коэффициент корреляции случайных величин X и Y.
x — выборочное среднее.

2
ˆ X
s  — выборочная дисперсия.
ˆ X
s  — выборочное стандартное отклонение.

Значок ∫
 обозначает начало решения задачи или доказа
тельство утверждения, проводимое аналитическим способом, без 
использования средств языка R.

Значок R  обозначает начало решения задачи, проводимое с ис
пользованием средств языка R.

Значок 
 обозначает окончание решения задачи или доказа
тельства утверждения.

Предисловие

Книга представляет собой изложение основ теории вероятностей. Особенностями изложения являются подробный разбор 
примеров на каждую тему и полное решение приведенных 175 
задач с активным применением средств языка R. Использование 
языка R дало возможность включить в рассмотрение отдельные задачи и некоторые темы, важные с точки зрения приложений теории 
вероятностей и не рассматриваемые в традиционных курсах из-за 
их повышенной сложности. Много внимания уделено методу статистических испытаний (методу Монте-Карло) как для проверки 
имеющихся аналитических решений, так и для получения приближенного решения задач, не имеющих аналитических решений.
Приводится справочный материал о математических средствах 
языка R, используемых в дальнейшем изложении. Дается понятие 
о методе Монте-Карло и методах его применения в задачах теории 
вероятностей.
Рассмотрены традиционные разделы учебного курса теории вероятностей:
 
• исчисление событий;
 
• введение в комбинаторику;
 
• вероятностные модели с конечным и бесконечным вероятностным пространством;
 
• условные вероятности, формулы полной вероятности и Байеса;
 
• способы описания законов случайных величин, функция распределения и плотность распределения случайной величины;
 
• числовые характеристики случайных величин;
 
• примеры законов дискретных и абсолютно непрерывных случайных величин;
 
• производящие и характеристические функции;
 
• функции от случайных величин;
 
• случайные векторы, условные распределения;
 
• предельные теоремы.
Книга может быть полезной бакалаврам, магистрантам и аспирантам, изучающим дисциплины «Теория вероятностей», «Математическая статистика», «Анализ данных», а также преподавателям 
соответствующих специальностей.
В результате изучения материалов учебника студент приобретет 
способность применять математические методы для решения стандартных теоретических и прикладных задач теории вероятностей, 

интерпретировать полученные математические результаты. Кроме 
того, он будет:
знать
 
• основные понятия теории вероятностей, в том числе исчисление 
случайных событий и случайных величин;
 
• предельные теоремы теории вероятностей;
уметь
 
• выбирать вероятностные модели, подходящие для исследования 
соответствующих случайных признаков;
 
• моделировать с помощью метода статистических испытаний 
случайные признаки, описывающие статистические системы;
владеть навыками
 
• использования компьютерных технологий при реализации математических методов и моделей;
 
• вычислительной работы в RStudio.

Глава 1.  

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

1.1. ВВЕДЕНИЕ В СРЕДСТВА ЯЗЫКА R

Установка. Для установки R нужно перейти по ссылке https://

cran.r-proect.org и скачать загрузчик R.

Для установки RStudio нужно перейти по ссылке https://www.

rstudio.com/products/rstudio/downloads/ и скачать загрузчик 
RStudio.

Оператором комментария является символ решетки #. Строчные 

и прописные буквы различаются.

Для вывода на экран нужно набрать имя переменной или ис
пользовать функцию печать print().

Для вывода справки о функции с именем F набрать ?F.
Загрузка библиотек. Библиотеки, отсутствующие в базовой 

версии языка, необходимо установить один раз для каждого 
компьютера. Например, требуется библиотека «DeskTools». Команда для установки: install.packages(“DeskTools”). В дальнейшем 
всякий раз, когда нужно использовать этот пакет, необходимо в начале сессии запускать команду активации: library(DeskTools). Альтернативным вариантом является запись используемой функции 
пакета с указанием перед ее наименованием названия пакета 
с двойным двоеточием. Например, вызов функции числа размещений: DeskTools::CombN. В тексте книги используется второй вариант.

Арифметические операции. Присваивание: x <– 10 или x = 10. 

Сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень: 
+, -, *, \, ^. Целочисленное деление: целая часть — %/%, остаток 
от деления — %%.

Типы данных
Логические (logical): TRUE — истина, FALSE — ложь.
Проверка на равенство: ==.

Пример 1.1

a <- 5
a == 4

FALSE

Целочисленные (integer).
Вещественные числа (numeric).

Комплексные числа (complex).
Текстовые (character).
Списки (list).
Проверить тип.

Пример 1.2

x <- 1:7
is.integer(x)

TRUE

Векторы. Векторы могут содержать данные только одного типа.
Способы задания векторов
1. Функция c().

Пример 1.3

c(1,3,7)
c

1,3,7

2. Совокупность последовательных целых чисел.

Пример 1.4

1:10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5:0

5 4 3 2 1 0

3. Функция seq(from, to, by).

Пример 1.5

seq(2, 14, 3)

2 5 8 11 14

4. Совокупность одинаковых чисел.
rep(x, times)

Пример 1.6

rep(0,5)

0 0 0 0 0

Индексирование

Пример 1.7

a <- 11:20
a[3]

13

a[6:8]

16 17 18

a(c(2,4,6))

12 14 16

Все, кроме первых пяти:

a[-c(1:5)]

16 17 18 19 20

С помощью условного оператора:

a[a > 18]

19 20

a[a > 10 & a < 15]   # & — логическое "И"

11 12 13 14

a[a == 12 | a == 20]  # | — логическое "ИЛИ"

12 20

Атрибуты вектора

Тип данных — функция mode().
Длина вектора — функция length().

Пример 1.8

a <- c(1,4,8)
mode(a)

"numeric"

length(a)

3

Действия над векторами. Арифметические операции выполня
ются почленно:

a <- c(1,2,3)
b <- c(5,0,-1)
a+b

6 2 2

a*b

5 0 -3

2^b

32.0 1.0 0.5

Сортировка — функция sort()

Пример 1.9

a <- c(7,3,5,9,6,3,4)
b <- sort(a)
b

3 3 4 5 6 7 9

c <- sort(a, decreasing=TRUE) # В порядке убывания
c

9 7 6 5 4 3 3

Некоторые характеристики вектора

a <- c(1,4,2,5,2)
sum(a)   # Сумма всех элементов

14

prod(a)  # Произведение всех элементов

80

max(a)   # Максимальное значение

5

min(a)   # Минимальное значение

0

diff(a)  # Попарные разности соседних элементов

3 -2  3 -3

mean(a)  # Выборочное среднее
         # (среднее арифметическое)

2.4

var(a)   # Выборочная дисперсия

4.3

sd(a)    # Выборочное стандартное отклонение

2.0736

Матрицы. Функция matrix(x, nrow, ncol) — матрица из nrow 

строк и ncol столбцов, составленная из элемен тов вектора x. 
По умолчанию заполняется по столбцам.

Пример 1.10

M1 <- matrix(c(1,2,3,4,5,6), nrow=2, ncol=3)
         # Можно указать только количество строк
         # или только количество столбцов
M1

      [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    3    5
[2,]    2    4    6

M2 <- matrix(c(1,2,3,4,5,6), nrow=2, byrow=T)
           # byrow=T (или TRUE — истина) –
           # задает способ заполнения по строкам
M2

      [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    2    3