Математика. Двумерное преобразование Фурье и его приложения

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ
№ 4751
УНИВЕРСИТЕТ НАУКИ И ТЕХНОЛОГИЙ МИСИС
ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Кафедра математики
Н.Е. Цапенко
МАТЕМАТИКА
Двумерное преобразование Фурье 
и его приложения
Учебное пособие
Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета
Москва 2023

УДК 51
 
Ц17
Р е ц е н з е н т ы :
канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры математического 
и компьютерного моделирования В.П. Григорьев 
(Институт информационных 
и вычислительных технологий НИУ «МЭИ»)
Цапенко, Николай Евгеньевич.
Ц17  
Математика. Двумерное преобразование Фурье 
и его приложения : учеб. пособие / Н.Е. Цапенко. – 
Москва : Издательский Дом НИТУ МИСИС, 2023. – 
49 с.
ISBN 978-5-907560-83-3
Исходя из формул Грина и их следствий, записаны интегралы Фурье от функций, заданных в различных плоских областях, 
как ограниченных, так и неограниченных. Выведены Фурьепредставления частных производных первого и высших порядков, в которые входят граничные значения как самой функции, 
так и её производных. С помощью этих представлений записаны 
решения граничных задач для двумерного уравнения Лапласа в случае нескольких плоских областей. Также рассмотрена 
сис 
тема уравнений Максвелла, описывающая распространение 
электромагнитных волн в слоисто-неоднородной среде.
Предназначено для студентов старших курсов и магистров, 
специализирующихся по направлению «Прикладная математика».
УДК 51
Н.Е. Цапенко, 2023
ISBN 978-5-907560-83-3
НИТУ МИСИС, 2023

СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
ГЛАВА 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.1. Формулы Грина  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Двумерные преобразования Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Функция, заданная в бесконечной полосе . . . . . . . . . 11
1.4. Функция, заданная 
в бесконечном квадрате 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Круговая область. 
Преобразование Фурье–Бесселя 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
ГЛАВА 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
2.1. Гармонические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. Интегральные уравнения для граничных 
значений гармонических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3. Решение уравнений (2.48), (2.49) 
в случае бесконечной полосы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4. Решение уравнений (2.48), (2.49) 
в круговой области 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
ГЛАВА 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
3.1. Е- и H-волны в слоисто-неоднородной среде  . . . . . . . 42
Библиографический список  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
3

ПРЕДИСЛОВИЕ
В нашем университете существует такой курс, как «Уравнения в частных производных математической физики». 
Он читается для студентов, обучающихся по специальности 
«Прикладная математика» в течение 4-го учебного семестра.
Этот курс построен на изучении задач для основных уравнений математической физики: уравнений Лапласа и Пуассона, уравнения теплопроводности, волнового уравнения. 
Причем, рассматриваются в основном двумерные задачи, 
то есть плоские области. Решения в ограниченных областях 
строятся, как разложения в ряды по ортогональным системам собственных функций. При этом курс ограничивается 
лишь самыми простыми областями: прямоугольными и круговыми. Неограниченные области представлены в виде задач 
на бесконечной оси и полуоси. В этом случае для построения 
решения привлекается обычное преобразование Фурье.
С целью расширения круга задач для плоских неограниченных областей, таких как полуплоскости, плоские полосы 
и полу полосы, квадранты и др., предлагается привлечь технику с двумерными интегралами Фурье. Методике работы 
с такими интегралами и посвящено данное учебное пособие. 
Кроме того, с помощью двумерных интегралов Фурье могут 
решаться и некоторые пространственные граничные задачи для вышеупомянутых основных уравнений. Например, 
разобрано применение этих интегралов для представления 
электромагнитных волн в слоисто-неоднородной среде. В пособии также выведены формулы, показывающие, как двумерные преобразования Фурье позволяют учесть граничные 
условия в случае плоских ограниченных областей с произвольной границей.
Несмотря на все эти, все-таки довольно сложные вопросы, можно надеяться, что материал будет доступен для восприятия студентами, специализирующимися в области прикладной математики. 
4

ГЛАВА 1
1.1. Формулы Грина
Пусть в некоторой плоской области D с границей L заданы две непрерывные и дифференцируемые в каждой точке 
этой области функции P(x, y) и Q(x, y). Имеют место следующие интегральные соотношения:
P dxdy
Pdx
y
, 
(1.1)






D
L
 
Q dxdy
Qdy
x
  
(1.2)






D
L
 
и, соответственно,
Q
P dxdy
Pdx
Qdy
x
y
. 
(1.3)
















D
L
 
Полагая в формулах (1.1), (1.2) 



P
Q
u v , получим двумерные аналоги обычной формулы интегрирования по частям:
u
v
v
dxdy
uvdx
u
dxdy
y
y
, 
(1.4)










D
L
D
 
u
v
v
dxdy
uvdy
u
dxdy
x
x
. 
(1.5)










D
D
 
Если теперь в формуле (1.4) функцию u(x, y) заменить 
на ее производную по y, а в формуле (1.5) эту же функцию 
u(x, y) поменять на ее производную по x и получившиеся таким образом формулы сложить, то придем к такой формуле:
u v
u v
u
u
v udxdy
dxdy
v
dy
dx
x x
y y
x
y
, (1.6)

































D
D
L
2
2
–двумерный оператор Лапласа.
где 






2
2
x
y
5