Математическая статистика и анализ данных

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ
№ 4442
УНИВЕРСИТЕТ НАУКИ И ТЕХНОЛОГИЙ МИСИС
ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Кафедра математики
О.В. Максимова
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 
И АНАЛИЗ ДАННЫХ
Учебное пособие
Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета
Москва 2023

УДК 519.22
 
М17
Р е ц е н з е н т
д-р техн. наук, проф., советник генерального директора 
ФГБУ «Институт стандартизации», 
профессор МГИМО МИД России И.З. Аронов
Максимова, Ольга Владимировна.
М17  
Математическая статистика и анализ данных : 
учеб. пособие / О.В. Максимова. – Москва : Издательский Дом НИТУ МИСИС, 2023. – 172 с.
Пособие представляет теоретический курс с охватом базовых 
тем математической статистики, необходимых для изучения 
дальнейших дисциплин по специальности. В нем рассматриваются современные методы сбора, систематизации и обработки 
результатов наблюдений со справочной информацией использования программного модуля Excel. Материал сопровождается 
практическими примерами и задачами, а также историческими 
сведениями и списком источников. Пособие адаптировано для 
сжатого изложения. 
Предназначено для студентов специальностей 28.03.01 «Нанотехнологии и микросистемная техника», 28.03.03 «Наноматериалы», 03.03.02 «Физика», 11.03.04 «Электроника и наноэлектроника», 22.03.01 «Автоматизация технологических процессов 
и производств (в машиностроении)» Института новых материалов и нанотехнологий.
УДК 519.22
Максимова О.В., 2023
НИТУ МИСИС, 2023

Содержание
Обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
РАЗДЕЛ 1.Случайные события 
и их вероятность  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1. Предмет теории вероятностей 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Случайные события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Вероятность случайных событий, их свойства . . . . . . . . . . . 14
1.4. Независимые и зависимые случайные события, 
условная вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
РАЗДЕЛ 2. Случайные величины и их числовые 
характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1. Понятие случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. Системы случайных величин. Независимые случайные 
величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3. Числовые характеристики случайных величин . . . . . . . . . . 34
РАЗДЕЛ 3. Законы распределения случайных величин 
. . . . . . . . 40
3.1. Законы распределения ДСВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2. Законы распределения НСВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
РАЗДЕЛ 4. Предельные теоремы теории вероятностей  . . . . . . . . 56
4.1. Законы распределения НСВ (продолжение) . . . . . . . . . . . . . 56
4.2. Предельные теоремы теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3. Законы распределения НСВ, часто применяемые 
в математической статистике  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
РАЗДЕЛ 5. Выборочный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1. Задачи и терминология математической статистики 
. . . . . . 70
5.2. Точечные оценки параметров генеральной совокупности, 
их свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3. Понятие доверительного интервала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
РАЗДЕЛ 6. Доверительные интервалы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.1. Доверительный интервал (продолжение раздела 5) . . . . . . . 82
6.2. Доверительный интервал для математического ожидания . . . 83
6.3. Доверительный интервал для дисперсии. . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4. Доверительный интервал для вероятности успеха в серии 
независимых испытаний  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3

РАЗДЕЛ 7. Проверка параметрических гипотез 
для одной выборки 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.1. Вводные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.2. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.3. Проверка параметрических гипотез. 
 Случай одной выборки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
РАЗДЕЛ 8. Проверка параметрических гипотез для двух 
выборок. Критерий согласия Пирсона 2 (хи-квадрат) . . . . . . . . 111
8.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.2. Параметрические гипотезы для двух выборок . . . . . . . . . . 112
8.3. Критерий согласия Пирсона 2 (хи-квадрат) 
. . . . . . . . . . . . 121
РАЗДЕЛ 9. Основы корреляционно-регрессионного анализа 
. . . 126
9.1. Что изучает корреляционно-регрессионный анализ  . . . . . 126
9.2. Корреляционный анализ 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.3. Регрессионный анализ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Библиографический список  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Приложение 1. Формулы, связанные с теоремами сложения 
и умножения вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
П1.1. Формула полной вероятности (ФПВ)  . . . . . . . . . . . . . . . . 144
П1.2. Формула Байеса  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
П1.3. Формула Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Приложение 2. Зависимость случайных величин . . . . . . . . . . . . 148
П2.1. Функции от случайных величин. Нормальный закон 
для линейного преобразования случайной величины . . . . . . . . 148
П2.2. Ковариация. Свойства математического ожидания 
и дисперсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Приложение 3. Методы получения точечных оценок. 
Первичный анализ данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
П3.1. Метод моментов и метод максимального 
правдоподобия 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
П3.2. Систематизация и начальная обработка данных . . . . . . . 152
Приложение 4. Статистики и значения функций некоторых 
распределений в Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Приложение 5. Основные законы распределения . . . . . . . . . . . . 158
Приложение 6. Табулированные таблицы распределений . . . . . 159
4

ОБОЗНАЧЕНИЯ
k
n
C
число сочетаний из n по k
k
n
n
C
k
n
k
!
!
!











 



достоверное событие (пространство элементарных исходов)
A
событие, противоположное событию A
P(A)
вероятность события A


P
|
A B
вероятность события A при условии, 
что произошло событие B
F(x)
функция распределения случайной величины 
(F(x) = P( < x))
f(x)
функция плотности вероятности случайной величины
M
математическое ожидание случайной величины 
D
дисперсия случайной величины 
Mo
мода случайной величины
xp
квантиль уровня p: F(xp) = p
Me
медиана случайной величины 
(квантиль уровня 0,5, т.е. F(x0,5) = 0,5)

среднеквадратическое (стандартное) отклонение
cov(X, Y)
ковариация случайных величин X, Y
rXY
коэффициент корреляции случайных величин X, Y
B(p)
закон распределения Бернулли с параметром p
Bi(n, p)
биномиальный закон распределения с параметрами n, p
G(p)
геометрический закон распределения с параметром p
5

П()
закон распределения Пуассона с параметром 
Exp()
показательный (экспоненциальный) закон распределения 
с параметром 
R[a, b]
равномерный закон распределения с параметрами a, b
N(m, 2)
нормальный закон распределения с параметрами m, 2 
(закон Гаусса)
t(k)
закон распределения Стьюдента с k степенями свободы
2(k)
закон 2-распределения Пирсона с k степенями свободы
F(k1, k2)
закон распределения Фишера с k1 и k2 степенями свободы
(x)
функция Лапласа
H0, H1
основная и альтернативная (конкурирующая) гипотезы 
соответственно

уровень значимости (вероятность ошибки I рода)

доверительная вероятность (уровень надежности,  = 1 – )

вероятность ошибки II рода
 начало и конец доказательства
(*)
пример
6

ПРЕДИСЛОВИЕ
Пора выбрать стратегию «МОЖЕТ БЫТЬ» 
и приступить…
Я.И. Хургин. Да, нет или может быть…
Каждый день мы принимаем решения, анализируя ситуацию вокруг нас. Иногда мы даже не замечаем, что приняли какое-то решение, основываясь на полученной извне 
информации. И если результат оказался не очень удачным, 
пеняем на плохую информацию или просто невезение. Ввиду этого не только в своей повседневной жизни, но и в профессиональной деятельности, мы стараемся придавать решениям бо\льшую надежность, хотя в некоторых ситуациях 
интуиция не срабатывает. Повысить точность принимаемых 
решений можно, применив иногда даже очень простую статистическую модель и статистические методы. Как только 
математика вступает в практическую область, она сразу воплощается в сборе, описании, моделировании и предсказании реальных процессов. Именно в статистике она обретает 
силу, выходя за пределы идеализированных и оторванных 
от жизни формул и расчетов.
Знание основ курса «Математическая статистика и анализ данных» (МСиАД) способствует развитию у студентов 
навыков принятия решений на основе статистического мышления. Этот курс знакомит студентов с терминологией теории вероятностей и математической статистики, важными 
статистическими законами распределения и основами корреляционно-регрессионного анализа.
Между тем потребность изучения МСиАД также продиктована необходимостью систематизации у студентов 
знаний, приобретения умений и формирования компетенций в области принятия решений на основе статистического 
мышления, при выборе лучшей альтернативы из нескольких возможных, а также при изучении в дальнейшем таких 
дисциплин, как «метрология», «статистическое управление 
7

процессами» и др.  Помимо этого, знания, полученные студентами при изучении курса, могут быть использованы ими 
в ходе выполнения дипломной работы, а также при формировании и дальнейшем развитии комплекса собственных 
профессиональных и научных интересов в рамках индивидуальной образовательной траектории.
Настоящее учебное пособие содержит сжатое изложение 
базовых тем теории вероятностей с продвижением и углублением в разделы статистики, сопровождающимися помимо 
практических примеров и справочной информации использованием программного модуля Excel для обработки результатов наблюдений, исторической справкой и полезными 
ссылками на дополнительные литературные источники.
Учебное пособие косвенно состоит из двух блоков, 
в первом блоке содержится три раздела, во втором – шесть. 
В первом блоке даются базовая терминология и необходимые в дальнейшем теоремы теории вероятностей.  Второй 
блок пособия посвящен изложению стандартных приемов 
сбора и систематизации данных, а также подходам к их анализу, раскрывающим возможности изучения в дальнейшем 
современных математических методов в этой сфере. К некоторым разделам дополнительный материал можно найти 
в приложениях.
Учебное пособие предназначено для студентов второго 
года обучения Института новых материалов и технологий 
(ИНМиН), изучающих дисциплину МСиАД. Кроме того, отдельные материалы пособия могут быть востребованы студентами других факультетов университета, осваивающих и 
применяющих основы математической статистики.
Автор будет благодарен за критические замечания и выявление недочетов, которые можно направлять по следующему адресу: ov.maksimova@misis.ru.
8

РАЗДЕЛ 1
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 
И ИХ ВЕРОЯТНОСТЬ
В мире господствует случай и одновременно 
действуют порядок и закономерность, 
которые формируются из массы 
случайностей согласно законам случайного. 
А. Реньи. Трилогия о математике
1. Случайное событие служит «качественной» оценкой 
эксперимента.
2. Изучение закономерностей в случайных экспериментах начинается с построения математической модели этих 
экспериментов.
3. Любая модель начинается с задания вероятностного 
пространства, и выясняется множество всех возможных результатов данного эксперимента.
4. Определяется подход к расчету вероятности интересующего нас события. Затем рассматриваются те подмножества этого множества, которые влекут наступление интересующих нас событий.
5. Если событие сложное (представляется суммой/произведением некоторых событий Ai), то его вероятность можно 
попытаться вычислить с помощью теорем сложения и умножения. Для применения этих теорем важно заранее определить и учитывать совместность и зависимость событий Ai.
1.1. Предмет теории вероятностей
Часто в нашей повседневной жизни, произнося слова наподобие «Вероятно, завтра я пойду на лекцию 
по теории вероятностей», мы определенно, сознательно или бессознательно, приписываем, исходя 
из собственного опыта, некоторую вероятность событию «завтра я пойду на лекцию по теории вероятностей». Но эта веро9

ятность должна быть оценена с помощью совокупности сведений, благоприятствующих и не благоприятствующих этому 
событию, которые учитываются при подсчете вероятности. 
Ваше решение пойти на данную лекцию может зависеть отчасти от погодных условий именно в этот день, от того, успеете 
ли вы покормить вашего кота или вообще успеете ли проснуться к началу лекции, от пробок по пути на дороге и многого другого. Таким образом, ваше решение по отношению 
к этой конкретной лекции служит результатом взаимодействия многих факторов, иногда непредсказуемых. С таким 
типом неопределенных событий мы встречаемся, когда неизвестно, какой из законов случайных событий действует в данном конкретном случае.
Другое дело, когда мы подбрасываем обычную 
игральную кость. Результат ее падения случаен и 
не может быть определен заранее. Но с равной уверенностью можно ожидать появления одного 
из шести очков. Иметь дело с такими событиями, вообще говоря, несложно. Результат такого эксперимента диктуется 
законом случайных событий, проявляющемся в этом частном случае. 
В первом примере мы встречаемся с событиями, которые нельзя повторить многократно в одних и тех же 
условиях, в отличие от второго. Во втором примере мы 
имеем возможность в одинаковых условиях не только многократно, а сколько угодно раз производить наблюдения. 
Но и их результат заранее (до совершения эксперимента) 
точно определить нельзя. Однако вполне правдоподобно, 
что с увеличением числа наблюдений частота наступления 
этого события будет мало и несистематически меняться. 
Установлено, что случайные события в массе своей подчиняются некоторым общим неслучайным закономерностям, 
главная из которых – свойство статистической устойчивости: если некоторое событие A может произойти в результате эксперимента, то доля экспериментов, в которых 
данное событие произошло, с ростом общего числа экспе10