Основы теории нечетких множеств

Основы теории нечетких множеств

2-е издание, исправленное

Яхъяева Г.Э.

Национальный Открытый Университет “ИНТУИТ”
2016

2

УДК 004.032.26+510.6
ББК 12
Я91
Нечеткие множества и нейронные сети / Яхъяева Г. Э. - M.: Национальный Открытый Университет
“ИНТУИТ”, 2016 (Основы информационных технологий)
ISBN 978-5-94774-818-5

Одним из популярных направлений Artificial Intelligence является теория нечетких множеств (fuzzy
sets). Данный курс является систематизированным вводным курсом в это направление.
Нашей целью является обеспечение достаточно конкретной информацией, без углубления в сложные
математические описания, чтобы слушатель мог понять основные идеи и возможности этого
направления.

(c) ООО “ИНТУИТ.РУ”, 2008-2016
(c) Яхъяева Г.Э., 2008-2016

3

Нечеткие множества как способы формализации нечеткости

В лекции формулируется определение нечеткого множества, описываются
характеристики нечетких множеств. Приводится классификация нечетких множеств по
области значений функции принадлежности. Дается аксиоматическое описание
операторов для построения алгебры нечетких множеств.

Основные определения

Теория нечетких множеств представляет собой обобщение и переосмысление
важнейших направлений классической математики. У ее истоков лежат идеи и
достижения многозначной логики, которая указала на возможности перехода от двух к
произвольному числу значений истинности и поставила проблему оперирования
понятиями с изменяющимся содержанием; теории вероятностей, которая, породив
большое количество различных способов статистической обработки
экспериментальных данных, открыла пути определения и интерпретации функции
принадлежности; дискретной математики, которая предложила инструмент для
построения моделей многомерных и многоуровневых систем, удобный при решении
практических задач.

Подход к формализации понятия нечеткого множества состоит в обобщении понятия
принадлежности. В обычной теории множеств существует несколько способов задания
множества. Одним из них является задание с помощью характеристической функции,
определяемой следующим образом. Пусть 
 — так называемое универсальное

множество, из элементов которого образованы все остальные множества,
рассматриваемые в данном классе задач, например множество всех целых чисел,
множество всех гладких функций и т.д. Характеристическая функция множества 

 — это функция 
, значения которой указывают, является ли 
 элементом

множества 
:

Особенностью этой функции является бинарный характер ее значений.

С точки зрения характеристической функции, нечеткие множества есть естественное
обобщение обычных множеств, когда мы отказываемся от бинарного характера этой
функции и предполагаем, что она может принимать любые значения на отрезке 
. В

теории нечетких множеств характеристическая функция называется функцией
принадлежности, а ее значение 
 — степенью принадлежности элемента 

нечеткому множеству 
.

Более строго, нечетким множеством
 называется совокупность пар

где 
 — функция принадлежности, т.е. 
.Пусть, например,

4

Будем говорить, что элемент  не принадлежит множеству 
, элемент  принадлежит

ему в малой степени, элемент  более или менее принадлежит, элемент  принадлежит
в значительной степени,  является элементом множества 
.

Пример. Пусть универсум
 есть множество действительных чисел. Нечеткое

множество 
, обозначающее множество чисел, близких к 10 (см. рис.1.1), можно

задать следующей функцией принадлежности:

где 
.

Рис. 1.1. 

Показатель степени 
 выбирается в зависимости от степени близости к 10. Например,

для описания множества чисел, очень близких к 10, можно положить 
 ; для

множества чисел, не очень далеких от 10, 
.

Пример. Коротко остановимся на понятии лингвистической переменной (более
детальное изучение будет в последующих лекциях). Лингвистическую переменную
можно определить как переменную, значениями которой являются не числа, а слова
или предложения естественного (или формального) языка. Например, лингвистическая
переменная “возраст” может принимать следующие значения: “очень молодой”,
“молодой”, “среднего возраста”, “старый”, “очень старый” и др. Ясно, что переменная
“возраст” будет обычной переменной, если ее значения — точные числа;
лингвистической она становится, будучи использованной в нечетких рассуждениях
человека.

5

Рис. 1.2. 

Каждому значению лингвистической переменной соответствует определенное нечеткое
множество со своей функцией принадлежности. Так, лингвистическому значению
“молодой” может соответствовать функция принадлежности, изображенная на рис.
1.2.

Над нечеткими множествами можно производить различные операции, при этом
необходимо определить их так, чтобы в частном случае, когда множество является
четким, операции переходили в обычные операции теории множеств, то есть операции
над нечеткими множествами должны обобщать соответствующие операции над
обычными множествами. При этом обобщение может быть реализовано различными
способами, из-за чего какой-либо операции над обычными множествами может
соответствовать несколько операций в теории нечетких множеств.

Для определения пересечения и объединения нечетких множеств наибольшей
популярностью пользуются следующие три группы операций:

1. Максиминные:

2. Алгебраические:

3. Ограниченные:

Дополнение нечеткого множества во всех трех случаях определяется одинаково: 

.

Пример. Пусть 
 — нечеткое множество “от 5 до 8” (рис.1.3а) и 
 — нечеткое

множество “около 4” (рис.1.3б), заданные своими функциями принадлежности:

Рис. 1.3. 

Тогда, используя максиминные операции, мы получим множества, изображенные на
рис.1.4.

6

Рис. 1.4. 

Заметим, что при максиминном и алгебраическом определении операций не будут
выполняться законы противоречия и исключения третьего 
, а в

случае ограниченных операций не будут выполняться свойства идемпотентности 

 и дистрибутивности:

Можно показать, что при любом построении операций объединения и пересечения в
теории нечетких множеств приходится отбрасывать либо законы противоречия и
исключения третьего, либо законы идемпотентности и дистрибутивности.

Носителем нечеткого множества 
 называется четкое множество 
 таких точек в 
,

для которых величина 
 положительна, т.е. 
.

Высотой нечеткого множества 
 называется величина 
.

Нечеткое множество 
 называется нормальным, если 
. В противном

случае оно называется субнормальным.

Нечеткое множество называется пустым, если 
. Очевидно, что в

данном универсуме
 существует единственное пустое нечеткое множество. Непустое

субнормальное нечеткое множество можно привести к нормальному (нормализовать)
по формуле

Множеством уровня  (  - срезом ) нечеткого множества 
 называется четкое

подмножество универсального множества
, определяемое по формуле

Множество строгого уровня определяется в виде 
. В частности,

носителем нечеткого множества является множество элементов, для которых 
. Понятие множества уровня является расширением понятия интервала. Оно
представляет собой объединение не более чем счетного числа интервалов.
Соответственно, алгебра интервалов есть частный случай алгебры множеств уровня.

7

Точка перехода нечеткого множества 
 — это такой элемент 
, для которого 

.

Четкое множество
, ближайшее к нечеткому множеству 
, определяется следующим

образом:

Нечеткое множество 
 в пространстве 
 называется выпуклым нечетким

множеством тогда и только тогда, если его функция принадлежности выпукла, т.е. для
каждой пары точек  и  из 
 функция принадлежности удовлетворяет неравенству 

 для любого 
.

Принцип обобщения

Принцип обобщения как одна из основных идей теории нечетких множеств носит
эвристический характер и позволяет расширить область определения исходного
отображения 
 на класс нечетких множеств. Пусть 
 — заданное

отображение, и 
 — нечеткое множество, заданное в 
. Тогда образ нечеткого

множества
 при отображении 
 есть нечеткое множество
, заданное в  с

функцией принадлежности

Виды области значений функции принадлежности

Все нечеткие объекты можно классифицировать по виду области значений функции
принадлежности. Помимо интервала 
, функция принадлежности может принимать

свои значения в интервале 
, на числовой прямой 
, а также в различных

множествах, наделенных некой структурой.

Исторически первым обобщением понятия нечеткого множества стали 
 -нечеткие

множества, т.е. множества, у которых функции принадлежности принимают свои
значения в конечной или бесконечной дистрибутивной решетке 
.

Важным практическим приложением для формулировки качественных представлений
и оценок человека в процессе решения задачи служит случай 
 -нечетких множеств,

где 
 — конечное линейно упорядоченное множество. Например, это может быть

набор значений лингвистической переменной “КАЧЕСТВО” 
 {“плохое”, “среднее”,

“хорошее”, “отличное”}.

Гетерогенные нечеткие множества

8

В том случае, когда набор нечетких множеств 
 в 
 соответствует 

различным свойствам рассматриваемого объекта, каждый элемент 
характеризуется вектором значений принадлежности 
, выражающим

степень соответствия этим свойствам. Таким образом, строится функция 
, где 
 — полная решетка.

Дальнейшим обобщением понятия нечеткого множества является понятие
гетерогенного нечеткого множества. По признаку однородности/неоднородности
области значений функции принадлежности все описанные выше виды нечетких
множеств являются гомогенными в том смысле, что одна и та же структура области
значений функции принадлежности берется при оценке всех элементов универсального
множества 
. Если же допустить, что на различных элементах универсального

множества 
 функция принадлежности может принимать свои значения из

различных наиболее подходящих математических структур, то мы приходим к
понятию гетерогенного нечеткого множества.

Гетерогенные нечеткие множества и связанные с ними составные лингвистические
переменные высокого порядка позволяют моделировать ситуации
многокритериального принятия решения, когда имеются признаки как с
количественными, так и с порядковыми шкалами.

Нечеткие операторы

Важным вопросом использования нечетких множеств в прикладных задачах является
построение соответствующих операторов агрегирования нечеткой информации и
анализ их семантик. В теории нечетких множеств имеется возможность применять
различные операции объединения, пересечения и дополнения множеств в зависимости
от контекста и ситуации. Основные бинарные операции над нечеткими множествами
были описаны выше. Однако можно показать, что для любых нечетких множеств
операторы 
 и 
 являются единственно возможными операторами

пересечения и объединения при выполнении следующих свойств:

1. Коммутативность:

2. Ассоциативность:

3. Дистрибутивность:

4. Монотонность:

С другой стороны, ясно, что жесткие, поточечно однозначные операторы недостаточно

9

полно отражают смысл многозначных лингвистических преобразований термов
лингвистических переменных. Поэтому большой практический интерес представляет
построение обобщенных нечетких операторов, т.е. параметризованных операторов
пересечения, объединения, дополнения и др. Весьма общий и изящный подход к
целенаправленному формированию нечетких операторов пересечения и объединения
заключается в их определении в классе треугольных норм и конорм

Определение. Треугольной нормой (сокращенно  -нормой) называется двухместная
действительная функция 
, удовлетворяющая следующим

условиям:

1. Ограниченность: 
.

2. Монотонность: 
.

3. Коммутативность: 
.

4. Ассоциативность: 
.

Треугольная норма  является архимедовой, если она непрерывна и для любого
нечеткого множества
 выполнено неравенство 
. Она называется

строгой, если функция  строго возрастает по обоим аргументам. Примерами
треугольных норм являются следующие операторы:

Определение. Треугольной конормой (сокращенно  -конормой) называется
двухместная действительная функция 
, удовлетворяющая

следующим условиям:

1. Ограниченность: 
.

2. Монотонность: 
.

3. Коммутативность: 
.

4. Ассоциативность: 
.

Треугольная конорма
 является архимедовой, если она непрерывна и для любого

нечеткого множества
 выполнено неравенство 
. Она называется

строгой, если функция 
 строго убывает по обоим аргументам. Примерами

треугольных конорм являются следующие операторы:

10