Начала алгебры. Часть 1

Введение в алгебру

2-е издание, исправленное

Михалев А.В.
Михалев А.А.

Национальный Открытый Университет “ИНТУИТ”
2016

2

УДК [512.5+519.254](075.8)
ББК 17
М-68
Начала алгебры. Часть 1 / Михалев А.В., Михалев А.А. - M.: Национальный Открытый Университет
“ИНТУИТ”, 2016 (Основы информатики и математики)
ISBN 5-9556-00038-8

В курсе рассматриваются основные алгебраические структуры и операции, комплексные числа,
системы линейных уравнений и матрицы.
Даются основные понятия теории групп, колец и полей. Приводится определение комплексного
числа, примеры основных операций с комплексными числами, рассмотрены тригонометрическая
форма записи комплексного числа, доказаны основные теоремы. Рассматриваются системы
линейных уравнений, методы их решения, приведены основные определения, рассмотрены
элементарные преобразования систем, условия их совместности.

(c) ООО “ИНТУИТ.РУ”, 2005-2016
(c) Михалев А.В., Михалев А.А., 2005-2016

3

Основные алгебраические структуры и операции

В данной лекции рассматриваются понятия алгебраических операций. Приведены
определения понятий группоид, моноид, полугруппа, свойства отображений и понятие
ассоциативных операций. Доказаны основные теоремы, приведены решения задач и
упражнения для самостоятельного решения

В этой лекции мы представим вниманию читателя основные алгебраические
структуры, с которыми мы встретимся при изложении курса и при решении задач.
Детальное знакомство с ними будет происходить по мере нашего продвижения и
накопления фактического материала. Преимущество работы с абстрактными
математическими понятиями может быть оценено лишь при необходимости
рассматривать многочисленные частные примеры.

Предмет алгебры существенно менялся с течением времени: арифметические действия
над натуральными и положительными рациональными числами в глубокой древности
(3 век н. э.); алгебраические уравнения первой и второй степени (9 век); появление
алгебраической символики (15 - 17 века); к 18-му веку алгебра сложилась в том объеме,
который сейчас принято называть “элементарной алгеброй”; в 18-19 веках алгебра - это
прежде всего алгебра многочленов; с середины 19-го века центр тяжести
алгебраических исследований перемещается на изучение произвольных
алгебраических операций. Изучение алгебраических структур (т. е. множеств с
определенными на них операциями) было подготовлено развитием числовых систем
(построением комплексных чисел и кватернионов), созданием матричного исчисления,
возникновением булевой алгебры, внешней алгебры Грассмана, исследованием групп
подстановок. Таким образом,к 20-му веку сформировалась точка зрения на
современную алгебру как на общую теорию алгебраических операций (под влиянием
работ Д. Гильберта, Э. Артина, Э. Нетер и с выходом в 1930 г. монографии Б. Л. ван
дер Вардена “Современная алгебра”).

Алгебраические операции

Если M - непустое множество, n - натуральное число, то через Mn обозначим множество
упорядоченных последовательностей (m1,m2,…,mn), 
, 
. Под n -арной

алгебраической операцией на множестве M понимается отображение

число  называется арностью алгебраической операции . Исторически сначала
возникли бинарные операции ( n=2 ) и унарные операции ( n=1 ). Нульарные операции это фиксированные элементы множества M, поскольку под M(0) понимается
одноэлементное множество.

Группоиды, полугруппы, моноиды

4

Непустое множество M с бинарной операцией 
 называется группоидом.

Иногда нам удобнее использовать обозначение

Бинарная операция 
 называется ассоциативной, если 

, и коммутативной, если 

.

Упражнение 1.2.1.

1. Бинарная операция разность целых чисел 
, не

является ассоциативной и не является коммутативной.

2. Следующие бинарные операции ассоциативны и коммутативны:

2.1) 
 (сложение натуральных чисел); 

 (умножение натуральных чисел);

2.2) пусть P(M) - множество всех подмножеств (включая пустое) множества M, 

 (пересечение подмножеств); 
 (объединение подмножеств); 

 (симметрическая разность

подмножеств).

3. Пусть 
 - совокупность всех отображений из

множества M в множество M,

где 
 для 
 (композиция отображений). Тогда  
ассоциативная операция (она является коммутативной тогда и только тогда, когда

|M|=1, т. е. M - одноэлементное множество), подробнее см. задачу 1.7.1.

4. Бинарная операция 
 (возведение в степень)

неассоциативна и некоммутативна; бинарная операция 

 коммутативна, но не является ассоциативной ( 

 ).

5. Если 
 - группоид с бинарной операцией 
, то подмножество 

, для которого 
 (замкнутое относительно

операции  ), является группоидом, 
,

называемым подгруппоидом. Например:

1. (N,+) - подгруппоид в группоиде (Z,+) (здесь Z - целые числа);
2. подмножество Z\{0} не является замкнутым в группоиде (Z,+) относительно

операции сложения.

Пусть 
 и 
 - группоиды. Отображение

5

называется гомоморфизмом группоидов , если

Биективный гомоморфизм группоидов называется изоморфизмом группоидов ( в случае
его наличия группоиды
 и 
 называются изоморфными ; обозначение 

 ).

Лемма 1.2.2.

1. Пусть f1 и f2, где 
, являются гомоморфизмами

группоидов. Тогда их произведение f2f1, 

, также является

гомоморфизмом группоидов.

2. Пусть 
 - изоморфизм группоидов, тогда обратное

отображение 
 также является изоморфизмом группоидов.

Доказательство.

1. Для любых 
 имеем 
.

2. Пусть 
, z=f(x), w=f(y), где 
. Тогда 

.

Следствие 1.2.3. Отношение “быть изоморфными” является отношением
эквивалентности на классе группоидов: 
 ; если 
, то 
 ; если 

 и 
, то 
.

Упражнение 1.2.4.

1. Тождественное отображение 
, является изоморфизмом 

 группоидов.

2. Отображения 
 являются гомоморфизмами

группоидов (но отображение 
, не является

гомоморфизмом группоидов).

Пусть 
 - группоид, элемент 
 называется (двусторонним) нейтральным

элементом, если 
.

Упражнение 1.2.5. Следующие элементы являются нейтральными:

1. 0 в 
, (Z,+), (Q,+), (R,+) ;

2. 1 в 
, 
, 
, 
 ;

6

3. 1M в 
 ;

4. M в 
 ;

5. 
 в 
 и в 
 ;

6. в (N,+) нет нейтральных элементов (в России 
 ).

Лемма 1.2.6. Пусть 
 - группоид, e и e’ - нейтральные элементы. Тогда e=e’

(другими словами, если в группоиде существует нейтральный элемент, то он
единственный).

Доказательство. 
.

Замечание 1.2.7. В мультипликативных обозначениях операции  в моноиде, 

, нейтральный элемент часто называют единицей и используют для

него обозначение 1=eM ; в аддитивных обозначениях, 
, нейтральный

элемент обычно называют нулем и используют для него обозначение 0=0M.

Определение 1.2.8. Группоид 
 с бинарной операцией 
 называется

полугруппой, если операция  ассоциативна; моноидом, если операция ассоциативна (т.
е. это полугруппа) и в 
 существует нейтральный элемент e .

Замечания 1.2.9.

1. Подгруппоид 
 полугруппы 
 является полугруппой и называется

подполугруппой .

2. Гомоморфизм (изоморфизм) группоидов, являющихся полугруппами, называется

гомоморфизмом (изоморфизмом) полугрупп.

3. Подмоноидом моноида 
 называется подполугруппа 
 (таким

образом, подмножество 
 замкнуто относительно операции  ), содержащая

нейтральный элемент eM.

4. Если 
 и 
 - моноиды, то под гомоморфизмом моноидов

понимается гомоморфизм полугрупп 
 такой, что

f(eM)=eM’. Ясно, что произведение гомоморфизмов моноидов - гомоморфизм
моноидов, обратное отображение к изоморфизму моноидов - изоморфизм
моноидов.

Определение 1.2.10. Пусть 
 - моноид и 
.

1. Элемент 
, для которого mm’=eM, называется правым обратным элемента 

.

2. Элемент 
, для которого m”m=eM, называется левым обратным элемента m .

3. Элемент 
 называется двусторонним обратным элемента m , если mm=eM=mm

(в этом случае элемент m называется обратимым ).

Лемма 1.2.11. Если в моноиде 
 элемент 
 имеет правый обратный m’ и

7

левый обратный m”, то m’=m” и m является обратимым элементом.

Доказательство.

m’=eMm’=(m”m)m’=m”(mm’)=m”eM=m”.

Следствие 1.2.12.

1. Двусторонний обратный элемент m элемента 
 моноида 
 определен (если

он существует) однозначно, для него используется мультипликативное
обозначение m-1.

2. Если для элемента m моноида 
 существует обратный элемент m-1, то (m
1})-1=m.

3. Если элементы x, y моноида 
 обратимы с обратными x-1 и y-1, то

(xy)-1=y-1x-1.

Действительно (при этом см. теорему 1.3.2), (y-1x-1)(xy)=y-1x-1xy=y-1eMy=y-1y=eM=yy
1=yeMy-1=xyy-1x-1=(xy)(y-1x-1).

Обобщенная ассоциативность (применение ассоциативной
операции к n сомножителям при n >= 3

Рассмотрим ассоциативную операцию * на множестве M, 
, 

 для 
, при этом

Для одного или двух сомножителей нет вопроса о различных расстановках скобок: a,

a*b. Для трех сомножителей a, b, c существует всего две расстановки скобок (a*b)*c,

a*(b*c), обозначающие применение бинарной операции * (каждый раз применяемой к
двум элементам). На множестве из четырех элементов a1, a2, a3, a4 расстановок скобок
уже значительно больше: ((a1*a2)*a3)*a4 (регулярная слева расстановка), (a1*a2)*

(a3*a4), (a1*(a2*a3))*a4, a1*((a2*a3)*a4), a1*(a2*(a3*a4)) (регулярная справа
расстановка).

Задача 1.3.1 (трудная).

Найти число всех различных расстановок скобок для применения бинарной операции
на n сомножителях.

Определение ассоциативной бинарной операции ( (a*b)*c=a*(b*c) для всех 
) означает, что для трех сомножителей результат применения операции не зависит от
расстановки скобок (т. е. порядка ее применения). Наша ближайшая цель - показать,
что для ассоциативной бинарной операции это утверждение верно и для n
сомножителей a1,a2,…,an (при всех расстановках скобок после соответствующего

8

применения операции * мы получаем один и тот же элемент, который можно
обозначить a1*a2*…*an, без указания расстановки скобок).

Теорема 1.3.2.

Пусть * - бинарная ассоциативная операция на множестве M 
, 

 для 
, и 
 для всех 
, 
, 

. Тогда результат применения операции * к n сомножителям a1,a2,…,an не зависит

от расстановки скобок.

Доказательство проведем индукцией по n по вполне упорядоченному множеству 

, это означает, что любое непустое подмножество этого множества

имеет наименьший элемент.

Начало индукции n=3 обеспечено определением ассоциативной операции.

Допустим, что утверждение верно для всех k, 
. Рассмотрим произвольную

расстановку скобок на n сомножителях a1,a2,…,an, соответствующую применениям
бинарной операции * (каждый раз к двум элементам). Наша цель - доказать, что
результат применения операции * для произвольной расстановки скобок совпадает с
результатом применения для регулярной слева расстановки скобок (…

((a1*a2)*a3)*…)*an. При этом для n=2 имеем a1*a2, а для n=1 имеем a1.

В каждой расстановке скобок есть последнее применение операции * (например: 

 ; 
 ; 
, здесь 
 обозначает последнее

применение операции * в каждой из приведенных расстановок). Таким образом,
последнее применение операции * происходит к произведению k сомножителей a1,a2,

…,ak с некоторой расстановкой скобок и к произведению (n-k) сомножителей ak+1,…,an
с некоторой расстановкой скобок, при этом 
, 
. Результат

произведения операции * в левом и правом блоке не зависит от расстановки скобок
(возможно, k=1 или k=2 ; возможно, n-k=1 или n-k=2 ; если 
, то в силу

индуктивного предположения; если 
, то также в силу индуктивного

предположения). Выберем в левом произведении регулярную слева расстановку
скобок, а в правом произведении - регулярную справа расстановку скобок. Тогда
имеем, применяя последовательно ассоциативность для трех сомножителей, [(…
((a1*a2)*a3)… ak-1)*ak]*[ak+1*(ak+2*(… (an-1*an)… ))]=[((… ((a1*a2)*a3)… ak
1)*ak)*ak+1]*[ak+2*(… (an-1*an)… )]=…= ((a1*a2)*a3)… an-1)*an (в наших
обозначениях, если k=1, то [a1]=a1 ; аналогично, если n-k=1, то [an]=an ).

Итак, результат применения операции * в соответствии с исходной (произвольной)
расстановкой скобок совпал с результатом применения при регулярной слева
расстановке скобок. Таким образом, результат применения ассоциативной операции не
зависит от расстановки скобок.

Отображения множеств

9

Пусть U, V - непустые множества, 
 - (однозначное) отображение из множества

U в множество V, т. е. каждому элементу 
 сопоставляется элемент 
.

Замечание 1.4.1.

1. Сохраняя единообразие с курсом анализа, мы обозначаем применение

отображения f к элементу 
 через f(u), т. е. f пишем слева от u. Возможно (а

иногда и удобнее) было бы использовать обозначение uf.

2. Если 
, то f=f’, если для любого 
 имеем f(u)=f’(u).

3. Категория Set, в которой объекты - множества, морфизмы - отображения

множеств, является одной из основных категорий в математике.

Инъективные, сюръективные, биективные отображения

Рассмотрим образ отображения 

Можно рассмотреть также полезное отношение эквивалентности 
 на множестве U,

определяемое отображением 
,

Определение 1.5.1.Отображение 
 называется:

1. инъективным, если разные элементы в U при отображении f переходят в разные

элементы в V (т. е. 
 ),

2. сюръективным, если каждый элемент в V является образом некоторого элемента

из U (т. е. 
, другими словами, 
 ),

3. биективным, если отображение f инъективно и сюръективно (т. е. 

 ).

Замечание 1.5.2.

1. В более ранней математической литературе для биективного отображения

использовалась более длинная комбинация слов: “взаимно однозначное
отображение на”,

2. иногда для сюръективного отображения 
 мы будем говорить, что ” f

отображает множество U на множество V “.

Задачи 1.5.3.

1. Пусть |U|=m, |V|=n. Доказать, что 
.

2. Пусть |U|=m, L(U) - совокупность всех подмножеств множества U (включая пустое

подмножество). Доказать, что |L(U)|=2m.

10