Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ  
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 

Учебное пособие 

Москва 
2023 

УДК 517.55(075) 
ББК 22.161.114я73 
 Д50 
Рецензент 
Вагер Б. Г., д-р физ.-мат. наук, проф. СПбАСУ 

Д50 
    Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных : 
учебное пособие / сост. В. Н. Веретенников, Ю. Б. Ржонсницкая. — Москва : 
Директ-Медиа, 2023. — 45 с. 

ISBN 978-5-4499-3402-4 

Пособие является девятым выпуском учебника по всем разделам курса математики для бакалавров гидрометеорологических направлений, соответствует государственному образовательному стандарту и действующим программам. 
Активизация познавательной деятельности студентов, выработка у них способности самостоятельно решать достаточно сложные проблемы может быть достигнута при такой организации учебного процесса, когда каждому студенту выдаются индивидуальные домашние задания (ИДЗ) с обязательным последующим 
контролем их выполнения и выставлением оценок. 
Предлагаемое пособие адресовано преподавателям и студентам и предназначено для проведения практических занятий и самостоятельных (контрольных) работ в аудитории и выдачи ИДЗ. 

УДК 517.55(075) 
ББК 22.161.114я73 

ISBN 978-5-4499-3402-4
© Веретенников В. Н., Ржонсницкая Ю. Б, сост., 2023
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2023

ОГЛАВЛЕНИЕ 
Предисловие……………………………………………………………………………………..  4 
Оглавление……………………………………………………………………………………..    5 
1. Некоторые определения и обозначения…………………………………………………..     5
2. Понятие функции нескольких переменных………………………………………………     8
3. Предел функции нескольких переменных ……………………………………………...      10 
4. Непрерывность функции нескольких переменных………………………………………    12
5. Частные производные……………………………………………………………………….   14
6. Дифференцируемость функции нескольких переменных ………………………………    17
7. Полный дифференциал. Частные дифференциалы………………………………………..  21
8. Производные сложной функции…………………………………………………………..    23
9. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала…………     26
10. Неявные функции…………………………………………………………………………    27
11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности………………………………………..  30
12. Производные высших порядков…………………………………………………………… 34
13. Дифференциалы высших порядков……………………………………………………….  35
14. Функция Тейлора для функции нескольких переменных………………………………...37
15. Экстремум функции нескольких переменных……………………………………………. 39

ПРЕДИСЛОВИЕ 
Настоящее учебное пособие написано на основе многолетнего опыта чтения 
лекций и ведения практических занятий по математике в РГГМУ. Оно предназначено как для студентов, так и для преподавателей, особенно молодых, начинающих вести практические занятия. 
Пособие преследует цель помочь активному и неформальному усвоению 
студентами изучаемого предмета. При составлении пособия имелось в виду, что 
им будут пользоваться студенты заочного факультета.  
Начало и конец доказательства теоремы и решений задач отмечаются соответственно знаками ▲ и ▼. 
В пособии приведен перечень знаний, умений и навыков, которыми должен 
владеть студент; указана используемая литература. 
Авторы надеются, что данное пособие поможет студентам в овладении методами теории функций нескольких переменных, в их самостоятельной работе над 
предметом. Они также выражают надежду, что пособие будет полезным для преподавателей в работе со студентами, и с благодарностью воспримут все критические замечания и пожелания, направленные на улучшение его содержания. 

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 

Функции одной переменной не охватывают всех зависимостей, существующих в 
природе. 
Так, например, площадь прямоугольника      есть произведение длин его сторон. Таким образом, значение   зависит от переменной упорядоченной пары чисел (   ) 
или, как говорят,   есть функция двух переменных   и  . 
Температура  , измеряемая в различных точках водоема, есть функция от координат точки, в которой она измеряется, и от момента времени      (       ). Таким образом, значение   зависит от переменной упорядоченной четверки чисел (       ) 
или,   есть функция четырех переменных       и  . 
Мы ставим себе целью научиться исследовать функции многих переменных так же, 
как мы научились исследовать функции одного переменного. Как и в случае функций 
одного переменного, изучение функций многих переменных начинается с описания их 
области определения. 
 
1. Некоторые определения и обозначения 

Систему из двух чисел   и   геометрически можно интерпретировать как 
точку плоскости, а функцию одной переменной    ( ) можно геометрически 
представить ее графиком. Желая распространить геометрические методы на теорию функций любого числа переменных, в анализе введено понятие  -мерного 
пространства при любом натуральном  . Условимся через    обозначать множество всех упорядоченных наборов (          ), состоящих из   вещественных 
чисел 

     (         ). 

В соответствии с удобной геометрической терминологией каждый такой набор 
будем называть точкой множества   . Число    в наборе (          ) называют  -й координатой точки (          ). 

Множество всевозможных таких точек образует так называемое   - мерное 

пространство, которое иногда называют арифметическим. Точку   - мерного 
пространства в случаях         и     можно представить геометрически 
как точку прямой, плоскости или трехмерного пространства соответственно. 

Геометрические аналогии можно продолжить и ввести на множестве    

расстояние между двумя любыми точками    по формуле 

 (     )  √∑
(  
    
 ) 
 
   
.  
 
 
(1.1) 

 При значении     получаем  (     )  |  
    
 |  расстояние между 
точками   (  
 ) и   (  
 ) прямой (     ). 

 При значении     имеем 

 (     )  √(  
    
 )  (  
    
 )   

  расстояние между точками   (  
    
 ) и   (  
    
 ) плоскости (  ).