Одноканальный принцип инвариантности в динамике измерительных систем

A. M. Азизов



ОДНОКАНАЛЬНЫЙ ПРИНЦИП ИНВАРИАНТНОСТИ в ДИНАМИКЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ





Санкт-Петербург ХИМИЗДАТ 2024

ББК 518
   А 355














        Азизов А. М.


А 355 Одноканальный принцип инвариантности в динамике измерительных .систем. — СПб : ХИМИЗДАТ, 2024. -192 с., изд. 2, сетерот.
         ISBN 978-5-93808-422-3


            Рассматривается физически одноканальный принцип инвариантности, основанный на постановке и решении расширенной задачи динамических измерений. В этой постановке задачи неизвестными считаются как сигнал, подлежащий измерению, так и параметры, характеризующие динамические свойства линейной измерительной системы.
            Указанный принцип инвариантности позволяет решать ряд сложных задач динамических измерений, в том числе важнейшую задачу исключения влияния параметрических явлений на точность измерения.
            Основная прикладная направленность содержания монографии - это область измерения неэлектрических параметров технологических процессов. Но приведенные методы и результаты могут быть использованы при решении общей задачи определения по реакции объекта входного воздействия для линейных нестационарных динамических объектов произвольной природы.
            Для научных и инженерно-технических работников.


А

   1602110000-014
     050(01)-24


Без объявл.

ISBN 978-5-93808-422-3

© А. М. Азизов, 2015
© ХИМИЗДАТ, 2015, 2024

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение                                                    4
Глава 1. Математические модели типовых подсистем,           5
         являющихся источниками параметрических явлений
1.1. Подсистемы с сосредоточенными параметрами              5
1.2. Подсистемы с распределенными параметрами               9
1.3. Источники параметрических явлений                     14
1.4. Проявление и аналитический учет параметрических эффектов 20
Глава 2. Инвариантность в динамике измерительных систем 29
2.1. О постановке задачи динамических измерений             29
2.2. Физически одноканальный принцип инвариантности         37
2.3. Алгоритмы инвариантности для линейных измерительных 45 систем с сосредоточенными параметрами
2.4. Алгоритм инвариантности для одного класса нелинейных   50
    измерительных систем
Глава 3. Модельная реализация одноканального принципа       55
         инвариантности
3.1. Методы построения основных СЛАУ для восстановления     56
    измеряемых сигналов
3.2. Прямые и косвенные критерии точности восстановления    62
    сигналов
3.3. Моделирование процессов восстановления измеряемых      66
    сигналов
    3.3.1. Первая схема реализации алгоритма инвариантности 66
    3.3.2. Вторая схема реализации алгоритма инвариантности 82
3.4. Моделирование процессов восстановления типовых         88
    детерминированных сигналов
Глава 4. Специальные вопросы, связанные с применением       107
         принципа инвариантности
4.1. Об устойчивости алгоритмов инвариантности              107
4.2. Алгоритм инвариантности для линейной измерительной     118
    системы с сосредоточенными параметрами произвольной структуры
4.3. Одноканальный принцип инвариантности для измерительных 131 систем с распределенными параметрами
Глава 5. Параметрические явления в статистической динамике 149 измерительных систем
5.1. Элементы теории марковских случайных процессов       149
5.2. Статистический метод уравнений моментов              156
5.3. Параметрические эффекты в динамике измерительных систем 162
5.4. Принцип инвариантности в статистической динамике     173
    измерительных систем
ЗАКЛЮЧЕНИЕ                                                190
Литература                                                191

3

ВВЕДЕНИЕ

   При постановке расширенной задачи динамических измерений неизвестными считаются как измеряемый сигнал, так и параметры линейной нестационарной измерительной системы заданной структуры. Это по существу означает объединение собственно задачи измерения и задачи параметрической идентификации измерительной системы.
   Аппроксимация в расширенной задаче измеряемого сигнала и неизвестных параметров измерительной системы многочленами позволяет заменить задачу с неизвестными функциями задачей с неизвестными постоянными величинами. Существование различных методов сведения последней задачи к решению некоторых эквивалентных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) обеспечивает реализацию физически одноканального принципа инвариантности.
   Суть указанного принципа инвариантности заключается в том, что использование только показаний нестационарной измерительной системы и заданной математической модели этой системы позволяет находить независимо все неизвестные постоянные величины (коэффициенты аппроксимации), а следовательно, все неизвестные функции -измеряемый сигнал и переменные во времени параметры измерительной системы.
   В данной работе подробно излагается содержание физически одноканального принципа инвариантности применительно к линейным нестационарным измерительным системам заданной структуры, причем рассматриваются как измерительные системы с сосредоточенными параметрами, так и измерительные системы с распределенными параметрами.
   Отдельно рассматривается одноканальный принцип инвариантности применительно к линейным нестационарным измерительным системам с сосредоточенными параметрами, имеющими произвольную (неизвестную) структуру.
   Так как одноканальный принцип инвариантности реализуется при решении обратной задачи, каковой оказывается расширенная задача измерения, то рассматриваются вопросы повышения устойчивости конкретных алгоритмов инвариантности.
   Завершается изложение рассмотрением применения одноканального принципа инвариантности в статистической динамике измерительных систем.
   Приведены результаты компьютерного моделирования процесса восстановления измеряемых сигналов с использованием одноканального принципа инвариантности. В рамках выбранных косвенных и прямых критериев оценки точности восстановления измеряемых сигналов результаты моделирования подтверждают справедливость основного теоретического вывода: применение одноканального принципа инвариантности позволяет получать информацию об измеряемых сигналах, свободную от параметрических искажений. Указанный факт имеет очень важное значение, так как исключение влияния параметрических эффектов существенно повышает точность динамических измерений.

4

Г Л А В А 1
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ПОДСИСТЕМ, ЯВЛЯЮЩИХСЯ ИСТОЧНИКАМИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ


   Параметрические явления в области измерений могут наблюдаться как в подсистемах получения первичной измерительной информации - в, так называемых, измерительных преобразователях (ИП) первичной измерительной информации («датчиках»), так и в подсистемах преобразования измерительной информации -в технических средствах функционального преобразования измерительной информации (усилители, блоки запаздывания, корректирующие звенья, интегрирующие и дифференцирующие цепи, автокомпенсаторы и т. д.).
   Основная направленность данной работы - это область измерения неэлектрических величин, где, как известно, параметрические эффекты проявляются весьма сильно, причем в подсистемах получения первичной измерительной информации указанные эффекты несоизмеримо существеннее, чем в подсистемах преобразования измерительной информации. В связи с этим, ниже приводятся примеры математических моделей лишь типовых подсистем получения первичной измерительной информации в области измерения неэлектрических величин.

1.1. ПОДСИСТЕМЫ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
   Круг приводимых ниже моделей ограничивается областью измерения скорости, температуры и давления потоков жидкостей и газов. В указанных моделях используются обозначения, принятые в соответствующих областях измерения.

Измерительные преобразователи (ИП) скорости потока
   Существует много типов ИП скорости потока, причем основанных на совершенно различных физических принципах действия. Остановимся на простейших из них, а именно, на ИП,


5

которые получили название чашечных, или крыльчатых, анемометров. Если пренебречь трением в частях механизма, то при достаточно больших скоростях потока уравнение, характеризующее динамические свойства анемометра как линейного звена, может быть представлено в виде

IdWt) ⁺ r⁽/⁾w⁽/⁾ = cofⁱ2(*)’ w(⁰) = wo,       (1)

где w(t) - скорость вращения ротора, по которой и судят о скорости потока; □(/) - скорость потока; I - момент инерции ротора анемометра; с₀ -постоянная, зависящая от технологических параметров анемометра; r(t) - переменный во времени параметр, зависящий от вязкого трения и условий измерения, который и является источником параметрических явлений.


Измерительные преобразователи (ИП) температуры потока


   Ограничимся только контактными методами измерения температуры потоков жидкостей и газов. В этом случае типичными ИП температуры (термоприемниками) служат термопары, термисторы и различного типа термометры сопротивления.
   Начнем с простейшей ситуации. Пусть материал термоприемника однороден, и в процессе измерения отсутствуют градиенты температур внутри термоприемника. Тогда уравнением, описывающим динамические свойства указанных видов термоприемников как линейных звеньев будет уравнение


                du⁽t⁾ ak ⁽t⁾ ■ S        ak ⁽t⁾ ■ S . zzv, _

~dt~ ⁺ -V         u = ’■>'⁰⁽t⁾’ u⁽⁰⁾ = U0,

(2)

где u(t) - температура термоприемника; 0(t) - измеряемая температура потока; S, V - площадь поверхности и объем термоприемника; с, у -удельная теплоемкость и плотность материала термоприемника; aₖ(t) -коэффициент конвективного теплообмена между термоприемником и средой, в которой находится термоприемник.


    Переменность во времени коэффициента конвективного теплообмена и является источником параметрических явлений.
    Более сложными ИП температуры потоков являются ИП промышленного типа. В них указанные выше собственно термоприемники, играющие роль чувствительных элементов, помещаются в защитную оболочку. Если предположить, что материал оболочки такого ИП однороден по своим физическим свойствам, и в ней так же, как внутри самого чувствительного элемента, отсутствуют


6

градиенты температур, то уравнение, описывающее динамические свойства этой группы термоприемников, имеет вид


----у^ ⁺ [Pi ⁺в2 ⁺ Рз ' ak⁽t⁾] S + ⁺ Pi' Рз ' ak⁽t⁾ ' u⁽t⁾ = Pi' Рз ' ak⁽t⁾ ' $(t⁾> ⁽³⁾ dt²                            dt

u(0) = u₀, и(0) = u1,


    ₙ kS       ₙ kₗₜS, ₙ Sₙfᵢ
где p1 = ⁰ э ; p₂ = ⁰ э ; p₃ = -об-; сэ, соб - полные теплоемкости термо-сэ                  соб      соб
чувствительного элемента и оболочки соответственно; к₀ - коэффициент теплопередачи между оболочкой и чувствительным элементом; S₃, Sₒ₆ -площади поверхности чувствительного элемента и оболочки соответственно. Обозначения u(t), 0(t), aₖ(t) имеют тот же смысл, что и в уравнении (2).


Измерительные преобразователи (ИП) давления потока

    Типичными измерительными преобразователями давления потока газа являются монометры с упругим чувствительным элементом. Если пренебречь инерционностью упругого чувствительного элемента, то динамические свойства этих ИП будут полностью определяться свойствами аэродинамических передающих трасс. В этом случае уравнением, описывающем динамические свойства ИП, будет

т(p,t)dPt) + p(t) = P(t), p(0) = p₀,       (4)

     1  i 128p(t) • v₀ • l₀
где т(p,t) =--- ⁰—°-; p(t) - текущее значение давления газа в по             nd⁴ • p(t)
лости монометра, которое по сделанному выше предположению без динамического искажения воспроизводится упругим чувствительным элементом, т. е. p(t) - это показания ИП; P(t) - измеряемое давление газового потока; v₀ - объем газа, заключенного в полости монометра; 1₀ и d -длина и диаметр трубки монометра; p(t) - коэффициент динамической вязкости газа, который зависит от времени и является источником параметрических явлений.

    Заметим, что модель (4) является по существу нелинейной, так как параметр т(р, t) содержит функцию p(t). Однако, на практике при оценке параметра т(р, t), вместо входящей в его структуру функции p(t), используют некоторое значение из предполагаемого интервала изменения измеряемого сигнала P(t).


7

    Возможно иное рассмотрение этих ИП давления. Пусть в монометрах с упругим чувствительным элементом динамические свойства ИП определяются только инерционностью упругого чувствительного элемента, а наличием аэродинамических трасс можно пренебречь. Если считать, что упругий элемент является элементом мембранного типа, то динамические свойства ИП как линейного элемента будут описываться уравнением
      м"2^':| + К(Т)d^S- + cW(T) = Р(Т), W(0) = Wo, W'(0) = Wi,       (5)

          DT²       Dt

где W(t) — текущее значение прогиба мембраны; P(t) - измеряемое давление; т, с - масса и жесткость мембраны; k(t) - параметр, характеризующий демпфирование мембраны, который и является источником параметрических явлений.
    Если бы при анализе динамических свойств ИП давления потребовалось учесть как инерцию аэродинамической трассы, так и инерцию упругого чувствительного элемента, то необходимо было бы рассматривать уравнение (4) совместно с уравнением (5), заменив в последнем функцию P(t) функцией p(t).
    Исходя из конкретного вида (1)—(5) приведенных моделей, в качестве общей модели ИП с сосредоточенными параметрами, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, в простейшем случае можно взять уравнение
       п    n-1     li-^r/
     d^Y®- + Уai(t)dYit) = X(t), Y⁽ⁱ⁾(0) = Y₀⁽ⁱ⁾, i = 0,1,..., (n-1), (I)
       dtn          dtⁱ
             ⁱ=⁰
либо уравнение
    n    n-1     i
   D^ + Уaₜ(T)d^⁻ = Ao(Т)Х(Т), Y⁽l⁾(0) = Y₀⁽ⁱ⁾, i = 0,1,...,(n-1), (II)
    DT   t0      Dl
что определяется конкретной областью измерений. В обоих случаях Y(t) - выходной сигнал, т. е. показания ИП; X(t) — измеряемый сигнал; ai(t), i = 0, ..., (n - 1) - переменные во времени параметры ИП.
    В дальнейшем мы раздельно рассмотрим эти модели, так как физические свойства описываемых измерительных преобразователей оказываются различными, и при ссылке на них называем их первой и второй моделью измерительных систем с сосредоточенными параметрами.

8

   Так как целью измерений является определение входного сигнала X(t) по выходному сигналу Y(t), то в структуре модели ИС, вообще говоря, может фигурировать некоторая постоянная величина, которая согласует размерности функций X(t), Y(t). Но для целей анализа точности ИС в динамических измерениях указанная величина не играет никакой роли, поэтому в дальнейшем она не указывается в моделях ИС.


1.2. ПОДСИСТЕМЫ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ


   Рассмотрение ИП с распределенными параметрами обусловлено необходимостью более точного физического и математического описания этих объектов. Здесь мы ограничимся приведением только моделей первичных измерительных преобразователей температуры и давлений, так как эти модели достаточно полно содержат в себе основные проблемы анализа, возникающие при исследовании динамических свойств ИП с распределенными параметрами.


Измерительные преобразователи температуры потока


   Наиболее простыми, с точки зрения анализа параметрических явлений, измерительными преобразователями температуры с распределенными параметрами являются так называемые термоприемники стержневого типа. Динамические свойства этих ИП в линейном приближении описываются краевой задачей


           du(x,t)   2 d²u(x,t)                          г, ,   ,
—= ’ ' =   On----¹ + ’ + m(t)[0(t) - u(x,t)], 0 < x < l, t > 0
             gt          dx²


(6)

    gu(0,t) = o, ^(1,^) = ист = cₒₙst, u(x,0) = u₀ = const, m(t) = — aₖ(t), (7)
      ox                                                     cy


где u(x, t) - температура стержня в точке х в момент времени t; 0(t) -измеряемая температура потока; aK(t) - коэффициент конвективного теплообмена между термоприемником и средой, в которой находится термоприемник; а0, с, Y - коэффициент температуропроводности, удельная теплоемкость и плотность материала термоприемника соответственно; Р -отношение длины периметра к площади поперечного сечения стержня; l - длина стержня; ист - температура стенки, в которой закреплен термоприемник.


   В зависимости от конструктивного исполнения в качестве выходной величины этих термоприемников используются, как пра

9

вило, либо температура начала стержня, т. е. температура в точке х = 0, либо средняя на длине l₀ температура стержня, определяемая по формуле
L0
иср (Т) = -1 I"u(x,t)dx, l₀ < I.
l0 J
⁰ 0


   Очевидно, что источником параметрических явлений для этих ИП является коэффициент конвективного теплообмена aₖ(t). В дальнейшем анализе модель (6)—(7) будем считать первой моделью измерительной системы с распределенными параметрами.
   В качестве следующей группы термоприемников, описываемых краевой задачей, будем считать измерительные преобразователи температуры, динамические свойства которых в линейном приближении описываются краевой задачей


         2 ,     2        22 /           22 ,       2 22 ,
         du(x,y,z,t) _ 2 д u(x, y,z,t) д u(x, y,z,t) д u(x, y, z,t)
dt ⁰ [           dx²           dy²            dz²


(x,y,z)efi₀, t >0;

(8)

du(x, y,z,t) dn

+ H(t)[u(x,y,z,t)|s-0(t)]= 0, u(x,y,z,0) = u₀ = const,

(9)

s

где H(t) = %&)■;
Л

u(x, y, z, t) - температура термометрического тела в про

странственной точке (x, y, z) в момент времени t; 0(t) - измеряемая температура потока; Л и а2 - коэффициенты теплопроводности и температуро-du(x, y,z,t)
проводности материала термоприемника соответственно; —------------ -
дп
производная температуры по направлению нормали п к изотермической поверхности.


    Модель (8)-(9) описывает ИП температуры произвольной геометрической формы, но изготовленные из однородных по физическим свойствам материалов. Техническое исполнение ИП температуры обычно ограничивается телами канонических форм: неограниченной пластины (длина и ширина пластины во много раз больше ее толщины), шара и неограниченного цилиндра (длина цилиндра во много раз больше его диаметра). При этом общая модель (8)-(9) для указанных тел канонических форм соответствующим образом преобразуется. Для ИП, имеющих форму неограниченной пластины, модель (8)-(9) принимает вид


10