Исследование операций. Модели экономического поведения

Исследование операций и модели экономического
поведения

2-е издание, исправленное

Стронгин Р.Г.

Национальный Открытый Университет “ИНТУИТ”
2016

2

УДК 519.7(075.8)
ББК 10
С86
Исследование операций. Модели экономического поведения / Стронгин Р.Г. - M.: Национальный
Открытый Университет “ИНТУИТ”, 2016 (Основы информационных технологий)
ISBN 978-5-94774-547-4

Курс посвящен теории исследования операций и теории игр, которые читаются студентам
математических специальностей.
Рассматриваются модели выбора решений в условиях неопределенности и несовпадения интересов
сторон, участвующих в экономических взаимодействиях. Основное внимание уделено вопросам
анализа реализуемости (устойчивости) принимаемых решений в задачах с двумя участниками,
определяемой стремлением сторон к увеличению выгодности решений. Рассматриваются также
модели прогноза договоренностей, которые достигнут участники в условиях существования
механизмов, обеспечивающих выполнение принятых сторонами обязательств.

(c) ООО “ИНТУИТ.РУ”, 2007-2016
(c) Стронгин Р.Г., 2007-2016

3

Противоречия и компромиссы в задачах выбора решений

Исследование операций как математическая теория моделирования процессов
принятия решений. Оперирующие стороны и их цели. Конфликт интересов.
Неопределенность условий выбора. Проблема рационального поведения.

Деятельность, осуществляемая людьми, обычно носит целенаправленный характер, т.е.
связана с достижением определенных целей. Указанная направленность
обеспечивается соответствующими действиями, реализация которых предполагает
наличие ресурсов. Таким образом, выбор способа поведения, переключающий процесс
принятия решений, является неотъемлемой частью целенаправленной деятельности.

Математическая теория, задачей которой является моделирование процессов принятия
решений, получила название исследования операций, поскольку рассматриваемые ею
задачи выбора поведения обычно (следуя традициям анализа военных операций)
называют операциями. При этом участников операции, т.е. лиц, принимающих
решения в ходе операции и осуществляющих действия, называют оперирующими
сторонами, или сторонами в этой операции. В некоторых случаях возникает
необходимость подчеркнуть, что работу по анализу операции и фактическое принятие
конкретного решения осуществляют разные лица (или группы лиц). В таких случаях о
разработчиках вариантов решений говорят как об исследователях операции

Заметим, что в одной и той же операции могут участвовать несколько сторон. Это
типично, например, для экономических, социальных и многих других взаимодействий.
Поскольку возможны различия в интересах сторон, то возникает конфликт интересов.
Такую ситуацию принято характеризовать как принятие решений и в условиях
конфликта (именно в этом положении оказались лебедь, рак и щука - герои известной
басни И.А.Крылова). Возникающее конфликтное взаимодействие в зависимости от
характера расхождения интересов может приводить и к компромиссам, и к острому
противостоянию сторон.

Еще одна особенность заключается в том, что условия реализации планируемых
действий могут быть не известны той или иной стороне, как это зачастую имеет место,
например, в отношении погодных условий, играющих существенную роль для ведения
сельскохозяйственных работ в районах с неустойчивым климатом. Похожая ситуация
возникает при разработке многофункциональных технических систем. Решение об
эффективной структуре системы, разумеется, зависит от относительной частоты
использования тех или иных ее возможностей, однако эти интенсивности
использования различных режимов могут быть недостаточно известны в период
проектирования. Подобные ситуации обычно характеризуют как принятие решений в
условиях неопределенности.

Более того, сама цель, преследуемая конкретной стороной, может быть
противоречивой. Эта противоречивость зачастую является следствием изначальной
противоречивости тех требований, которые предъявляются к решению. Например,
требования высокой прочности и одновременно малой материалоемкости, или
требования высокого качества и одновременно низкой стоимости обычно оказываются
противоречивыми. Разумеется, время от времени создаются новые материалы,

4

открываются новые физические эффекты и появляются основанные на них новые
технологии, позволяющие улучшить одновременно все показатели. Но такие
возможности возникают относительно редко. В рамках же существующих подходов
приходится искать компромиссы, примиряющие противоречивые требования к
принимаемым решениям.

Сами по себе цели операции могут иметь различные источники возникновения. Они
могут задаваться (как это имеет место при постановке задач в военных операциях).
Они могут внушаться (именно эту цель преследует реклама, как в сфере торговли, так
и в сфере политики). Они могут воспитываться опытом. При этом следует отметить
возможную противоречивость самого процесса целеполагания, поскольку цели могут
изменяться в процессе разработки операции. Яркий пример такого рода приведен в
работе В.Г. Карманова и В.В. Федорова1) Пример связан с задачей создания
акустического прибора для обнаружения подводных лодок, поставленной
правительством США перед известным изобретателем Т.А.Эдисоном2) в 1917 году.
Анализируя более широкую проблему защиты надводного флота от действий
подводных лодок, Т.А. Эдисон установил, что, с одной стороны, пароходные компании
продолжают использовать в военное время известные маршруты мирного времени, а с
другой стороны, только 6% судов потоплено в ночное время. Кроме того, оказалось,
что подводные лодки редко атакуют на мелководье. В результате (вместо
акустического прибора) Т.А. Эдисон предложил рекомендации, согласно которым
следовало отказаться от стандартных маршрутов, в глубоководные порты и опасные
зоны заходить только ночью, а в дневное время укрываться в гаванях и на мелководье.

Еще одна грань проблемы выбора решений связана с тем, что стороны могут
неадекватно оценивать условия операции, включая случаи неправильных
представлений о возможностях друг друга и о собственных возможностях. Разумеется,
степень информированности или недостаточная информированность могут быть
различными для разных сторон.

Следствием отмеченных выше обстоятельств (список которых может быть продолжен)
является, как уже было отмечено, противоречивый характер задач выбора решений, что
усложняет формирование представлений о “лучших” решениях. Ситуация еще более
усложняется, если в операции участвуют более двух сторон, поскольку в этом случае
одни из них могут объединяться в коалиции против других. Тогда возникает
необходимость анализа конфликтных отношений как между коалициями, так и внутри
коалиций. Более того, требуется исследовать сам процесс формирования коалиций.

Поскольку принятие решений является одной из старейших областей человеческой
деятельности, то неудивительно, что история дает многие образчики высочайшего
искусства политического, экономического и военного руководства странами и
народами, продемонстрированные выдающимися лидерами в разные эпохи. Однако
обучение через медленное накопление опыта в практике реального управления
становится сегодня недостаточным.

В новое время стремительно возрастает сложность современных изделий и
технологических процессов, а также усложняются взаимоотношения людей,
обеспечивающих создание и использование новых изделий путем глубокого

5

разделения труда и широчайшей кооперации. Усложняются и средства,
обеспечивающие эти масштабные взаимодействия. Достаточно заметить, что
скоростной транспорт, телеграф, телефон и радиосвязь дополнились возможностями
глобальных компьютерных сетей, совершивших переворот в мире транспорта,
снабжения, банковского дела и во многих других областях.

Эти усложнения “социально-технологических” взаимодействий сопровождаются
усложнениями взаимодействий социально-политических (достаточно отметить,
например, процесс европейской интеграции). В новых условиях возникает острая
потребность дополнить арсенал средств, характерных для искусства принятия
решений, массовым применением эффективных научных подходов (с учетом тех
обстоятельств, о которых коротко говорилось выше). Теория исследования операций,
сложившаяся в ХХ веке (преимущественно в период после Второй мировой войны), во
многом является ответом на указанную потребность.

Многие разделы прикладной математики (в некоторых классификациях их называют
разделами кибернетики) рассматриваются как составные части теории исследования
операций. К их числу относят теорию массового обслуживания, методы оптимизации,
линейное и нелинейное программирование и др. Отличительной чертой перечисленных
разделов является то обстоятельство, что рассматриваемые в них задачи выбора
решений включают математическую формулировку цели операции как некоторой
оптимизационной задачи. При этом центр исследования смещается к вопросам выбора
решения, обеспечивающего оптимум заданного функционала (при тех или иных
дополнительных условиях). Кроме того, в сложившейся практике отечественной
высшей школы эти разделы обычно представлены самостоятельными дисциплинами в
учебных планах по многим специальностям.

Главной задачей настоящей книги является введение читателя в область исследования
фундаментальных черт поведения сторон, находящихся в конфликте и в условиях
неопределенности. Предлагаемый аппарат исследования основан на анализе
соответствующих математических моделей и имеет целью формирование (с
использованием средств математики) адекватных представлений о рациональном
поведении в описанных выше противоречивых ситуациях3) Книга знакомит как с
нормативным подходом (когда даются рекомендации по наилучшему поведению в
конфликтных ситуациях определенного типа), так и с методами прогнозирования
поведения сторон, позволяющими оценивать возможные исходы конфликтов.

Предисловие

Настоящая книга написана на основе лекций по курсу теории игр и исследования
операций, ежегодно читаемому автором на факультете вычислительной математики и
кибернетики Нижегородского государственного университета им.Н.И.Лобачевского.
Дисциплина преподается в течение семестра и сопровождается упражнениями.

За долгие годы преподавания (более трех десятилетий) содержание курса претерпело
изменения. С одной стороны, ряд тем стали самостоятельными разделами учебного
плана факультета. К их числу относятся линейное, целочисленное и нелинейное

6

программирование, методы оптимизации (включая многокритериальную,
многоэкстремальную и стохастическую), теория оптимального управления, теория
массового обслуживания и др.

Процесс такого выделения не является чем-то специфичным для конкретного
университета. Линейное программирование уже много лет является самостоятельной
дисциплиной в циклах подготовки по многим специальностям. Преподавание данного
курса обеспечено как обширными руководствами4) так и многими учебными
пособиями5) Новые модели выбора, расширяющие этот класс задач, также отражены в
литературе6) Аналогично обстоит дело с учебной литературой по курсу методов
оптимизации7) и оптимального проектирования8) Следует также отметить, что вопросы
моделирования многих объектов, в отношении которых ставятся задачи выработки
рациональных решений, также стали предметами отдельных дисциплин. Некоторые из
них можно рассматривать как становление новых направлений в преподавании9)

Происходящая дифференциация во многом объясняется существенным усложнением
моделей таких объектов. Масштабы усложнения (например, в экономическом
моделировании) вполне ощутимы при сопоставлении моделей, ставших уже
классическими10) с новыми моделями развивающейся экономики11).

С другой стороны, в конце ХХ века произошел переход российского общества на
новые пути развития. В экономике идет становление рыночных отношений,
отличающихся высокой соревновательностью. В стране формируется политическая
система с более широкими (и остро конкурентными) возможностями выдвижения в
лидеры. Признается допустимость различных взглядов на проблемы государства и
граждан. Все это превращает ситуацию конфликта (т.е. ситуацию взаимодействия при
несовпадающих интересах) в нормальный аспект общественных отношений. Новые
обстоятельства отразились в необходимом расширении разделов курса, относящихся к
моделированию конфликтов, взаимозависимые участники которых вынуждены (в силу
несовпадения интересов) искать компромиссные решения.

В результате ядром курса стало изучение основных понятий, моделей и утверждений,
играющих фундаментальную роль в анализе конфликтных взаимодействий. При этом
рассмотрение фокусируется на следующих принципиальных вопросах12)

Каким образом в формальной модели операции отражаются основные моменты,
присущие задачам выбора решений в условиях конфликта? Т.е. как описываются
возможные варианты действий сторон, неопределенность некоторых условий
выбора, зависимость результатов выбора от взаимодействия участников?
Какова мотивация действий сторон, и какие механизмы их взаимодействия могут
обеспечивать устойчивость (реализуемость) принятых решений?
Как сочетается устойчивость выбираемых решений с их выгодностью для каждой
стороны, и какие механизмы взаимодействия могут обеспечивать сочетание
выгодности и реализуемости?

Непосредственным толчком к написанию этой книги (помимо давно созревшего
понимания ее необходимости) послужило участие автора в инновационном
образовательном проекте - Программа “Поддержка инноваций в высшем образовании”

7

Национального фонда подготовки кадров. Конкретный проект13) координатором
которого является автор, ставит одной из своих основных целей обеспечение
преподавания математических методов в экономике. В связи с этим, объектами,
которые используются в настоящей книге для получения ответов на поставленные
вопросы и для иллюстрации идей учебного курса, являются модели, описывающие
экономическое поведение. Эти модели отражают зависимость интересов
взаимодействующих сторон от принимаемых ими решений. В их основе лежат
“попытки точного описания стремления индивидуума к извлечению максимальной
пользы или, в случае предпринимателя, к получению максимальной прибыли”14)

Проводимое ниже рассмотрение относится к случаю двухсторонних взаимодействий.
Многосторонним взаимодействиям (допускающим образование коалиций) посвящено
другое пособие, предусмотренное упомянутым выше проектом.

Отражаемый этой книгой взгляд на начальный курс исследования операций как на
введение в моделирование экономического поведения, несомненно, лежит в русле
фундаментальных представлений, развившихся благодаря выходу в свет цитированной
выше работы Дж.фон Неймана и О.Моргенштерна, первое (американское) издание
которой появилось в 1944 г. Помимо этой книги (со вторым создателем которой автор
имел единственную встречу в 1971 г.), на постановку обсуждаемого курса в
Нижегородском университете большое влияние оказали работы академика
Н.Н.Моисеева, профессора Ю.Б.Гермейера и их многочисленных учеников.
Многолетнее личное общение с лидерами и участниками этой известной школы
сыграло важную роль в научной биографии автора. Мне приятно отметить это
обстоятельство и выразить свою благодарность этим замечательным людям и
исследователям.

1)   Карманов В.Г., Федоров В.В. Моделирование в исследовании операций. М.: Твема,
1996. 
2)   Эдисон Томас Алва (1847-1931) - американский изобретатель (автор более 1000
изобретений) и предприниматель. 
3)   Во второе издание учебника включены контрольные вопросы, которые подготовил
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического обеспечения
ЭВМ Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского
А.В.Баркалов. .
4)   См., например, Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование. Теория,
методы и приложения. М.: Наука,1969. ,
5)   См., например, Мухачева Э.А., Рубинштейн Г.Ш. Математическое
программирование. Новосибирск: Наука, 1987. .
6)   См., например, Еремин И.И. Противоречивые модели оптимального планирования.
М.: Наука, 1988. .
7)   См., например: Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов
оптимизации. М.: Наука, 1986; Васильев Ф.П. Численные методы решения
экстремальных задач. М.: Наука, 1988. 
8)   См., например: Батищев Д.И. Методы оптимального проектирования. М.: Радио и
связь, 1984; Малков В.П., Угодчиков А.Г. Оптимизация упругих систем. М.: Наука,
1981. .

8

9)   См., например: Моисеев Н.Н. Математические модели системного анализа. М.:
Наука, 1981; Неймарк Ю.И., Коган Н.Я., Савельев В.П. Динамические модели теории
управления. М.: Наука, 1985. .
10)   См., например: Немчинов В.С. Экономико-математические методы и модели. М.:
Соцэкгиз, 1962; Стоун Р. Метод затраты - выпуск и национальные счета. М.:
Статистика, 1966. ,
11)   Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования
экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996. 
12)   Программа курса, утвержденная Научно-методическим Советом по прикладной
математике Учебно-методического объединения университетов, опубликована в
сборнике: Программы по направлению “Прикладная математика и информатика”. М.:
Изд-во факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, 1997. :
13)   Проект 16/99 Нижегородского государственного университета имени
Н.И.Лобачевского “Методологические, учебно-методические и организационные
новации для повышения качества подготовки специалистов в области социальноэкономических дисциплин (социология, экономика) в Нижегородском регионе”.
Предметная область “Математические методы в экономике”. ,
14)   Фон Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.:
Наука, 1970. .

9

Математическая модель задачи выбора решений

Стратегии сторон и исходы операции. Описание интересов сторон. Модель операции в
нормальной форме. Классификация разделов. Пример “Подготовка к участию в
тендере”.

Стратегии сторон и исходы операции

Пусть в операции участвуют две стороны, для обозначения которых будем
использовать соответственно символы P1 и P2. Примем, что сторона P1 выбирает
решение x из множества X, а сторона P2 - решение y из множества Y. При этом
допускается, что решения x и y могут определять не только отдельные действия, но и
некоторые планы действий сторон, которые будут ими последовательно
реализовываться в условиях конфликта (с учетом реакций другой стороны). В связи с
этим, будем называть выбираемые сторонами решения стратегиями.

Заметим, что принятое описание возможностей сторон не раскрывает указанных выше
деталей их допустимого поведения. Способы создания таких описаний будут
рассмотрены позже. Фактически, на данном этапе рассмотрения символы x и y
рассматриваются как “указатели” конкретных стратегий. Следует также отметить, что
вводимое описание не характеризует ресурсов, необходимых для реализации
выбираемых стратегий. Принимается, что во множества X и Y включены указатели
лишь таких стратегий, реализация которых обеспечена необходимыми ресурсами.

Действия сторон в ходе операции завершаются некоторым исходом, который зависит
от стратегий, использованных сторонами. Однако этот исход может зависеть и от
некоторых других факторов (например, от погодных условий), которые не управляются
сторонами, участвующими в операции. Будем называть эти факторы состояниями
природы (или неконтролируемыми параметрами) и обозначать символом 
(оговорим, что множество U содержит все возможные значения состояний природы).
Здесь, как и в случае обозначений, использованных для стратегий сторон, символ u
играет роль указателя определенного состояния природы. В каждой конкретной задаче
неконтролируемые параметры могут иметь собственную интерпретацию.

Обозначим исход операции символом 
 (знак Z соответствует множеству всех

возможных исходов) и опишем зависимость исхода от стратегий, выбранных
сторонами, и от неконтролируемых параметров как отображение вида:

(1.1)

Для каждой конкретной задачи принятия решений должно быть построено свое
отображение указанного вида. Запись (1.1) означает лишь, что соответствующее
отображение входит в рассматриваемую схему моделирования.

Описание интересов сторон

10