Математика и анализ данных с поддержкой MS Excel и языка R. Практикум. Часть 1

Москва
Л.Р. Борисова, И.Ю. Седых, М.Б. Хрипунова
Математика
и анализ данных с поддержкой 
MS Excel и языка R
Практикум 
Часть 1
Учебное пособие
Под редакцией Седых И.Ю. 
Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение 
высшего образования 
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
(Финансовый университет)

УДК 517(073)
ББК 22.161я73
          Б82
Б82
Борисова Л.Р.
Математика и анализ данных с поддержкой MS Excel 
и языка R. Практикум. Часть 1: Учебное пособие / 
Л.Р. Борисова, И.Ю. Седых, М.Б. Хрипунова; под ред. 
И.Ю. Седых — М.: Прометей, 2024. — 374 с.
ISBN  978-5-00172-595-4
Данное учебное пособие представляет собой первую часть практикумов, разработанных для обеспечения учебного процесса по дисциплинам «Математика и анализ данных» и «Цифровая математика на языке R и Excel» для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 
«Гостиничное дело», «Государственное и муниципальное управление», 
«Политология»,  «Социология», «Туризм», «Управление персоналом» 
по программе подготовки бакалавра в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами высшего образования 
последнего поколения.
В пособии излагаются общие характеристики MS Excel и языка R 
с  дальнейшим применением их по мере изучения основных положений 
линейной алгебры и математического анализа. Каждый параграф начинается с кратного изложения теоретических сведений. Затем — большое количество решенных примеров разного уровня сложности. Для основных 
типов задач приводится реализация решения в MS Excel и R. В каждом 
разделе находятся задачи для самостоятельного решения. Представлены 
типовые варианты контрольной и демонстрационные варианты зачетной 
работы.
Пособие предназначено для студентов, стремящихся освоить современные инструментальные средства. Оно может быть рекомендовано для 
программ прикладного бакалавриата, при обучении слушателей бизнесшкол, колледжей, для программ повышения квалификации и всем желающим приобрести основы математических знаний.
ISBN  978-5-00172-595-4	
© Борисова Л.Р., Седых И.Ю., 
Хрипунова М.Б., 2024
© Издательство «Прометей», 2024
Рецензенты: 
Губернаторов А.М., доктор экон. наук, доцент, профессор кафедры 
«Бизнес-информатика и экономика» ФГБОУ ВО Владимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых;
Жукова Г.С., доктор физ.-мат. наук, профессор, профессор департамента анализа данных и машинного обучения Финансового университета 
при Правительстве Российской Федерации.
Авторы: 
Борисова Людмила Робертовна, кандидат физ.-мат. наук, доцент, доцент департамента математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации;
Седых Ирина Юрьевна, кандидат физ.-мат. наук, доцент, доцент департамента математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации;
Хрипунова Марина Борисовна, кандидат физ.-мат. наук, доцент, доцент департамента математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации.

Оглавление
Предисловие. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Введение в MS EXCEL. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Введение в язык программирования R . .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . 14
Раздел I
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Глава 1. Векторы, матрицы, определители
1.1. Матрицы и операции над ними. .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . 24
1.2. Определитель квадратной матрицы . .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . 31
1.3. Обратная матрица. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4. Векторные пространства и n-мерные векторы. .  .  . . . . 36
1.5. Ранг матрицы. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.6. Типовые задачи. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.7. Задачи для самостоятельного решения. .  .  .  .  .  . . . . . . . 56
Глава 2. Системы линейных алгебраических 
уравнений
2.1. Основные понятия и определения. .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . 61
2.2. Методы решений систем линейных уравнений . .  . . . . 63
2.3. Однородные системы линейных уравнений. .  .  .  . . . . . 66
2.4. Типовые задачи . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.5. Задачи для самостоятельного решения . .  .  .  .  . . . . . . . 88
Глава 3. Линейные преобразования (операторы)
3.1. Определение линейного оператора и его матрица . . . . 92
3.2. Собственные векторы и собственные числа . .  .  .  . . . . . 94
3.3. Типовые задачи . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.4. Задачи для самостоятельного решения. .  .  .  .  .  . . . . . . . 98
Глава 4. Задачи оптимизации. 
Линейное программирование
4.1. Выпуклые множества в  n-мерном пространстве. . . . 100
4.2. Основная задача линейного программирования . . . . 104

4.3. Графический метод решения . .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . 107
4.4. Транспортная задача . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . 109
4.5. Типовые задачи . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.6. Задачи для самостоятельного решения . .  .  .  .  . . . . . . 136
Линейная алгебра в R
Операции с векторами в R (RStudio) . .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . 140
Операции с матрицами в R (RStudio) . .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . 147
Определители квадратных матриц. 
Минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы. 
След. Ранг . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Матричные уравнения . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . 163
Системы линейных алгебраических уравнений . .  .  . . . . . 167
Решение задач линейного программирования в R . .  . . . . 169
Раздел II
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Глава 5. Функции одной переменной
5.1. Понятие функции. Основные свойства функций. . . . 178
5.2. Основные элементарные функции и их графики. . . . 180
5.3 Классификация функций. 
Преобразование графиков. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . 185
Глава 6. Пределы и непрерывность
6.1. Числовая последовательность и ее предел . .  .  .  . . . . . 188
6.2. Предел функции. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.191
6.4. Основные теоремы о пределах. Признаки 
существования предела . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . 193
6.5. Первый и второй замечательные пределы . .  .  .  . . . . . 195
6.6. Непрерывность функции. Точки разрыва. 
Асимптоты . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.7. Типовые задачи. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.8. Задачи для самостоятельного решения. .  .  .  .  . . . . . . . 216
Глава 7. Дифференциальное исчисление
7.1 Определение и геометрический смысл 
производной. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

7.2. Правила дифференцирования. Производные 
основных элементарных функций. Производная 
сложной функции. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . 225
7.3. Основные теоремы дифференциального 
исчисления.  Правило Лопиталя. .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . 226
7.4. Интервалы монотонности. Экстремумы функции. . . 229
7.5. Производные высших порядков. Точки перегиба 
функций . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
7.6 Общая схема исследования функций и построения 
их графиков. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
7.7. Дифференциал функции . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . 235
7.8. Экономические приложения пределов 
и производной. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.9 Типовые задачи. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . 243
7.10. Задачи для самостоятельного решения. .  .  .  .  . . . . . . 258
Глава 8. Интегральное исчисление
8.1.   Первообразная функция. 
Неопределенный интеграл. .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . 263
8.2 Основные методы интегрирования. .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . 265
8.3. Определенный интеграл. Геометрический смысл 
определенного интеграла. Формула Ньютона — 
Лейбница. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
8.7. Геометрические приложения определенного 
интеграла . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
8.8. Несобственные интегралы. .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . 276
8.9. Типовые задачи. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . 278
8.10. Задачи для самостоятельного решения. .  .  .  .  . . . . . . 294
Глава 9. Функции нескольких переменных
9.1. Основные понятия. Частные производные функции 
нескольких переменных . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . 305
9.2. Градиент функции двух переменных. .  .  .  .  .  . . . . . . . 307
9.3. Экстремум функции двух переменных. .  .  .  .  . . . . . . . 308
9.4. Метод наименьших квадратов. .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . 309
9.5. Типовые задачи. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . 312
9.6. Задачи для самостоятельного решения. .  .  .  .  . . . . . . . 319

Математический анализ в R
Задание математических функций, исследование 
и построение графиков функций в R. .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . 323
Вычисление производных функции одной переменной 
и экономические приложения производной в R. .  .  . . . . . 337
Использование R при вычислении определенных 
интегралов. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Функции нескольких переменных в R. .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . 348
Экстремумы функции нескольких переменных. .  .  . . . . . 355
Типовые варианты контрольной работы
Вариант 1. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
Вариант 2 . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
Демонстрационные варианты зачетной работы
Вариант 1. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
Вариант 2. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
Литература . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

Предисловие
Данное учебное пособие «Математика и  анализ данных 
с  поддержкой MS Excel и  языка R. Практикум. Часть  1» 
представляет собой первую часть практикумов и  вторую 
часть учебно-методического комплекса пособий, разработанных для учебного и  методического обеспечения организации и  проведения учебного процесса по  дисциплине 
«Математика и  анализ данных» и «Цифровая математика 
на языке R и Excel» для студентов, обучающимся по направлениям подготовки «Гостиничное дело», «Государственное 
и муниципальное управление», «Политология», «Социология», «Туризм», «Управление персоналом» по  программе 
подготовки бакалавра в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами высшего образования последнего поколения. 
Преподавание дисциплины «Математика и  анализ данных» студентам, обучающимся по вышеперечисленным направлениям, имеет ряд особенностей. Прежде всего, это широта круга охватываемых вопросов в течение ограниченного 
промежутка времени. Ситуация осложняется еще и тем, что 
дисциплина преподается на первом курсе — то есть студентам — вчерашним школьникам. 
Все это требует от преподавателя больших усилий по организации и  проведению учебного процесса. И  надо помнить, что цель изучения дисциплины «Математика и  анализ данных» (как и  других дисциплин математического 
цикла) — научить студентов учиться, то есть находить, воспринимать и использовать в своей будущей профессиональной деятельности необходимую информацию. А источников 
этой информации в современной ситуации достаточно много 
(как традиционных, так и новейших).
В учебном пособии последовательно излагаются общие 
характеристики табличного процессора MS Excel и  языка 
программирования R с  дальнейшим применением их 

по  мере изучения основных положений линейной алгебры 
и математического анализа. Пособие включает в себя главы 
«Введение в  MS Excel», «Введение в  язык программирования R» и  два раздела: «Линейная алгебра», «Математический анализ». Каждый раздел начинается с кратного изложения основных теоретических сведений. Затем — большое 
количество решенных примеров разного уровня сложности. 
Для основных типов задач приводится реализация решения 
в MS Excel и с использованием языка R. В каждом разделе 
находятся задачи для самостоятельного решения. Представлены типовые варианты контрольной и демонстрационные 
варианты зачетной работы.
В основе пособия лежат курсы лекций и материалы практических занятий, разработанные авторами по дисциплинам математического цикла по  соответствующим направлениям подготовки в Финансовом университете при Правительстве Российской Федерации. 
Пособие предназначено, в  первую очередь, для студентов, обучающихся по программам академического бакалавриата, изучающих вышеперечисленные разделы математики, и стремящихся освоить современные инструментальные средства и  их применение при решении задач. Также 
оно может быть рекомендовано и  для программ прикладного бакалавриата, при обучении слушателей бизнес-школ, 
колледжей, также для программ повышения квалификации и всем желающим приобрести основы математических 
знаний.

Введение в  MS EXCEL
Microsoft Excel — программа для работы с электронными таблицами, созданная корпорацией Microsoft для 
Microsoft Windows, Windows NT и Mac OS. 
Она предоставляет возможности экономико-статистических расчетов, графические инструменты, поддерживает 
язык макропрограммирования VBA (Visual Basic для приложений). Microsoft Excel входит в состав Microsoft Offi ce 
и на сегодняшний день Excel является одной из наиболее 
популярных программ в мире. 
Открыть программу можно, например, щелкнув правой 
кнопкой мышки по полю Рабочего стола, Создать, Лист 
Microsoft Excel.
Лист MS Excel — это рабочая вкладка, на которой находится двумерная таблица, состоящая из ячеек.
Любой файл Excel состоит, как минимум из одного листа. Лист Excel состоит из 16 384 столбцов и 1 048 576 строк 
(в версиях младше 2007 года их меньше), на их пересечениях находятся ячейки для ввода формул, чисел, текста, 
дат и т.д. Количество самих листов в Excel не ограниченно 
(зависит от оперативной памяти компьютера). 

У каждой ячейки есть свое имя (адрес), состоящее из названия столбца и номера строки на пересечении которых 
она находится, например, желтая ячейка — A4 .
В ячейки Excel можно вводить формулы, в состав которых входят встроенные функции. Чтобы ячейка стала активной нужно ввести “ = “ знак равно. Рассмотрим следующие примеры.
Введем в ячейку А4 “3+4”, в ней так и останется «3+4»
Введем в ячейку А4 “= 3+4”, после выхода из нее, программа посчитает сумму 3+4 и выдаст в ней результат 7
.
А в командной строке 
.
Под функцией в Excel понимают встроенные подпрограммы для организации вычислений в Excel. Количество 
различных функций в различных версиях Excel очень велико (больше 400), но все они распределены по основным 
категориям: финансовые, дата и время, математические, 
статистические, ссылки и массивы и т. д.
Любая функция имеет свое неповторимое (уникальное) 
имя, один или несколько аргументов. В общем виде функция записывается следующим образом: =F (arg1, arg2, …), 
где F – имя функции; arg1, arg2, … - аргументы функции.
Аргумент функции – это значение, с которым оперирует 
данная функция и которое надо задать, чтобы получить результат функции. Аргументами функции могут быть числа,