Математика и анализ данных с поддержкой MS Excel и языка R. Практикум. Часть 1

Москва

2024

Л.Р. Борисова, И.Ю. Седых, М.Б. Хрипунова

Математика 

и анализ данных с поддержкой 

MS Excel и языка R

Практикум 

Часть 1

Учебное пособие

Под редакцией Седых И.Ю. 

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение 

высшего образования  

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ  

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

(Финансовый университет)

УДК 517(073)
ББК 22.161я73
          Б82

Б82
Борисова Л.Р.
Математика и анализ данных с поддержкой MS Excel 
и языка R. Практикум. Часть 1: Учебное пособие / 
Л.Р. Борисова, И.Ю. Седых, М.Б. Хрипунова; под ред. 
И.Ю. Седых — М.: Прометей, 2024. — 374 с.
ISBN  978-5-00172-595-4
Данное учебное пособие представляет собой первую часть практикумов, разработанных для обеспечения учебного процесса по дисциплинам «Математика и анализ данных» и «Цифровая математика на языке R и Excel» для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 
«Гостиничное дело», «Государственное и муниципальное управление», 
«Политология»,  «Социология», «Туризм», «Управление персоналом» 
по программе подготовки бакалавра в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами высшего образования 
последнего поколения.
В пособии излагаются общие характеристики MS Excel и языка R 

с дальнейшим применением их по мере изучения основных положений 
линейной алгебры и математического анализа. Каждый параграф начинается с кратного изложения теоретических сведений. Затем — большое количество решенных примеров разного уровня сложности. Для основных 
типов задач приводится реализация решения в MS Excel и R. В каждом 
разделе находятся задачи для самостоятельного решения. Представлены 
типовые варианты контрольной и демонстрационные варианты зачетной 
работы.
Пособие предназначено для студентов, стремящихся освоить современные инструментальные средства. Оно может быть рекомендовано для 
программ прикладного бакалавриата, при обучении слушателей бизнесшкол, колледжей, для программ повышения квалификации и всем желающим приобрести основы математических знаний.
ISBN  978-5-00172-595-4 
©  Борисова Л.Р., Седых И.Ю., 

Хрипунова М.Б., 2024

© Издательство «Прометей», 2024

Рецензенты: 
Губернаторов А.М., доктор экон. наук, доцент, профессор кафедры 
«Бизнес-информатика и экономика» ФГБОУ ВО Владимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых;
Жукова Г.С., доктор физ.-мат. наук, профессор, профессор департамента анализа данных и машинного обучения Финансового университета 
при Правительстве Российской Федерации.

Авторы: 
Борисова Людмила Робертовна, кандидат физ.-мат. наук, доцент, доцент департамента математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации;
Седых Ирина Юрьевна, кандидат физ.-мат. наук, доцент, доцент департамента математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации;
Хрипунова Марина Борисовна, кандидат физ.-мат. наук, доцент, доцент департамента математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации.

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Введение в MS EXCEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Введение в язык программирования R  . . . . . . . . . . . . . . . 14

Раздел I 
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Глава 1. Векторы, матрицы, определители
1.1. Матрицы и операции над ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2. Определитель квадратной матрицы  . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3. Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4. Векторные пространства и n-мерные векторы . . . . . . 36
1.5. Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.6. Типовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.7. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . 56

Глава 2. Системы линейных алгебраических 
уравнений
2.1. Основные понятия и определения . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2. Методы решений систем линейных уравнений  . . . . . 63
2.3. Однородные системы линейных уравнений . . . . . . . . 66
2.4. Типовые задачи  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.5. Задачи для самостоятельного решения  . . . . . . . . . . . 88

Глава 3. Линейные преобразования (операторы)
3.1. Определение линейного оператора и его матрица  . . . 92
3.2. Собственные векторы и собственные числа  . . . . . . . . 94
3.3. Типовые задачи  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.4. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . 98

Глава 4. Задачи оптимизации. 
Линейное программирование
4.1. Выпуклые множества в  n-мерном пространстве . . . 100
4.2. Основная задача линейного программирования  . . . 104

4.3. Графический метод решения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.4. Транспортная задача  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.5. Типовые задачи  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.6. Задачи для самостоятельного решения  . . . . . . . . . . 136

Линейная алгебра в R

Операции с векторами в R (RStudio)  . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Операции с матрицами в R (RStudio)  . . . . . . . . . . . . . . . 147
Определители квадратных матриц.  
Минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы.  
След. Ранг  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Матричные уравнения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Системы линейных алгебраических уравнений  . . . . . . . 167
Решение задач линейного программирования в R  . . . . . 169

Раздел II 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Глава 5. Функции одной переменной
5.1. Понятие функции. Основные свойства функций . . . 178
5.2. Основные элементарные функции и их графики . . . 180
5.3  Классификация функций.  

Преобразование графиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Глава 6. Пределы и непрерывность
6.1. Числовая последовательность и ее предел  . . . . . . . . 188
6.2. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины 191
6.4.  Основные теоремы о пределах. Признаки 

существования предела  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.5. Первый и второй замечательные пределы  . . . . . . . . 195
6.6.  Непрерывность функции. Точки разрыва.  

Асимптоты  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6.7. Типовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.8. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . 216

Глава 7. Дифференциальное исчисление
7.1 Определение и геометрический смысл  
производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

7.2.  Правила дифференцирования. Производные 

основных элементарных функций. Производная 
сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

7.3.  Основные теоремы дифференциального 

исчисления.  Правило Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . 226

7.4. Интервалы монотонности. Экстремумы функции . . 229
7.5.  Производные высших порядков. Точки перегиба 

функций  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

7.6  Общая схема исследования функций и построения 

их графиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

7.7. Дифференциал функции  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
7.8.  Экономические приложения пределов  

и производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

7.9 Типовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
7.10. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . 258

Глава 8. Интегральное исчисление

8.1.   Первообразная функция.  

Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

8.2 Основные методы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . 265
8.3.  Определенный интеграл. Геометрический смысл 

определенного интеграла. Формула Ньютона — 
Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

8.7.  Геометрические приложения определенного  

интеграла  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

8.8. Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
8.9. Типовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
8.10. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . 294

Глава 9. Функции нескольких переменных

9.1.  Основные понятия. Частные производные функции 

нескольких переменных  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

9.2. Градиент функции двух переменных . . . . . . . . . . . . 307
9.3. Экстремум функции двух переменных . . . . . . . . . . . 308
9.4. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
9.5. Типовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
9.6. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . 319

Математический анализ в R

Задание математических функций, исследование 
и построение графиков функций в R . . . . . . . . . . . . . . . . 323
Вычисление производных функции одной переменной 
и экономические приложения производной в R . . . . . . . 337
Использование R при вычислении определенных 
интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Функции нескольких переменных в R . . . . . . . . . . . . . . . 348
Экстремумы функции нескольких переменных . . . . . . . 355

Типовые варианты контрольной работы
Вариант 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
Вариант 2  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

Демонстрационные варианты зачетной работы
Вариант 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
Вариант 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

Литература  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

Предисловие

Данное учебное пособие «Математика и анализ данных 

с поддержкой MS Excel и языка R. Практикум. Часть 1» 
представляет собой первую часть практикумов и вторую 
часть учебно-методического комплекса пособий, разработанных для учебного и методического обеспечения организации и проведения учебного процесса по дисциплине 
«Математика и анализ данных» и «Цифровая математика 
на языке R и Excel» для студентов, обучающимся по направлениям подготовки «Гостиничное дело», «Государственное 
и муниципальное управление», «Политология», «Социология», «Туризм», «Управление персоналом» по программе 
подготовки бакалавра в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами высшего образования последнего поколения. 

Преподавание дисциплины «Математика и анализ дан
ных» студентам, обучающимся по вышеперечисленным направлениям, имеет ряд особенностей. Прежде всего, это широта круга охватываемых вопросов в течение ограниченного 
промежутка времени. Ситуация осложняется еще и тем, что 
дисциплина преподается на первом курсе — то есть студентам — вчерашним школьникам. 

Все это требует от преподавателя больших усилий по ор
ганизации и проведению учебного процесса. И надо помнить, что цель изучения дисциплины «Математика и анализ данных» (как и других дисциплин математического 
цикла) — научить студентов учиться, то есть находить, воспринимать и использовать в своей будущей профессиональной деятельности необходимую информацию. А источников 
этой информации в современной ситуации достаточно много 
(как традиционных, так и новейших).

В учебном пособии последовательно излагаются общие 

характеристики табличного процессора MS Excel и языка 
программирования R с дальнейшим применением их 

по мере изучения основных положений линейной алгебры 
и математического анализа. Пособие включает в себя главы 
«Введение в MS Excel», «Введение в язык программирования R» и два раздела: «Линейная алгебра», «Математический анализ». Каждый раздел начинается с кратного изложения основных теоретических сведений. Затем — большое 
количество решенных примеров разного уровня сложности. 
Для основных типов задач приводится реализация решения 
в MS Excel и с использованием языка R. В каждом разделе 
находятся задачи для самостоятельного решения. Представлены типовые варианты контрольной и демонстрационные 
варианты зачетной работы.

В основе пособия лежат курсы лекций и материалы пра
ктических занятий, разработанные авторами по дисциплинам математического цикла по соответствующим направлениям подготовки в Финансовом университете при Правительстве Российской Федерации. 

Пособие предназначено, в первую очередь, для студен
тов, обучающихся по программам академического бакалавриата, изучающих вышеперечисленные разделы математики, и стремящихся освоить современные инструментальные средства и их применение при решении задач. Также 
оно может быть рекомендовано и для программ прикладного бакалавриата, при обучении слушателей бизнес-школ, 
колледжей, также для программ повышения квалификации и всем желающим приобрести основы математических 
знаний.

Введение в MS EXCEL

Microsoft Excel — программа для работы с электрон
ными таблицами, созданная корпорацией Microsoft для 
Microsoft Windows, Windows NT и Mac OS. 

Она предоставляет возможности экономико-статисти
ческих расчетов, графические инструменты, поддерживает 
язык макропрограммирования VBA (Visual Basic для приложений). Microsoft Excel входит в состав Microsoft Offi ce 
и на сегодняшний день Excel является одной из наиболее 
популярных программ в мире. 

Открыть программу можно, например, щелкнув правой 

кнопкой мышки по полю Рабочего стола, Создать, Лист 
Microsoft Excel.

Лист MS Excel — это рабочая вкладка, на которой нахо
дится двумерная таблица, состоящая из ячеек.

Любой файл Excel состоит, как минимум из одного ли
ста. Лист Excel состоит из 16 384 столбцов и 1 048 576 строк 
(в версиях младше 2007 года их меньше), на их пересечениях находятся ячейки для ввода формул, чисел, текста, 
дат и т.д. Количество самих листов в Excel не ограниченно 
(зависит от оперативной памяти компьютера). 

У каждой ячейки есть свое имя (адрес), состоящее из на
звания столбца и номера строки на пересечении которых 
она находится, например, желтая ячейка — A4 .

В ячейки Excel можно вводить формулы, в состав кото
рых входят встроенные функции. Чтобы ячейка стала активной нужно ввести “ = “ знак равно. Рассмотрим следующие примеры.

Введем в ячейку А4 “3+4”, в ней так и останется «3+4»

Введем в ячейку А4 “= 3+4”, после выхода из нее, про
грамма посчитает сумму 3+4 и выдаст в ней результат 7

.

А в командной строке 
.

Под функцией в Excel понимают встроенные подпро
граммы для организации вычислений в Excel. Количество 
различных функций в различных версиях Excel очень велико (больше 400), но все они распределены по основным 
категориям: финансовые, дата и время, математические, 
статистические, ссылки и массивы и т. д.

Любая функция имеет свое неповторимое (уникальное) 

имя, один или несколько аргументов. В общем виде функция записывается следующим образом: =F (arg1, arg2, …), 
где F – имя функции; arg1, arg2, … - аргументы функции.

Аргумент функции – это значение, с которым оперирует 

данная функция и которое надо задать, чтобы получить результат функции. Аргументами функции могут быть числа,