Математика и анализ данных с поддержкой MS Excel и языка R. Практикум. Часть 1
Математика и анализ данных: Практикум для бакалавров
Данное учебное пособие, разработанное для студентов бакалавриата, специализирующихся в различных областях, таких как гостиничное дело, государственное управление, политология, социология, туризм и управление персоналом, представляет собой первую часть практикумов по дисциплинам "Математика и анализ данных" и "Цифровая математика на языке R и Excel". Цель пособия – предоставить студентам инструменты для освоения современных методов анализа данных, используя MS Excel и язык R.
Введение в инструменты: Excel и R
Пособие начинается с введения в MS Excel, описывая его основные функции и возможности для работы с электронными таблицами, включая создание формул, использование встроенных функций и анализ данных. Далее следует введение в язык программирования R, который является мощным инструментом для статистического анализа и визуализации данных. Описываются основные типы данных, структуры данных (векторы, матрицы, массивы, списки, датафреймы) и базовые операции в R.
Линейная алгебра: Основы и применение
Первый раздел пособия посвящен линейной алгебре. Рассматриваются векторы, матрицы, определители, операции над ними (сложение, умножение на число, транспонирование, умножение матриц), а также методы нахождения обратной матрицы. Подробно излагаются понятия векторных пространств, линейной зависимости и независимости векторов, базиса и размерности. Отдельное внимание уделяется рангу матрицы и методам его нахождения (метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований). Рассматриваются системы линейных алгебраических уравнений, включая основные понятия, методы решения (метод обратной матрицы, метод Крамера, метод Гаусса) и особенности однородных систем. Завершается раздел рассмотрением задач оптимизации и линейного программирования, включая выпуклые множества, основную задачу линейного программирования, графический метод решения и транспортную задачу.
Математический анализ: Пределы, производные и интегралы
Второй раздел посвящен математическому анализу. Рассматриваются функции одной переменной, их основные свойства и классификация. Подробно изучаются пределы и непрерывность функций, включая основные теоремы о пределах, признаки существования предела, первый и второй замечательные пределы, а также точки разрыва и асимптоты. Далее следует дифференциальное исчисление, включая определение производной, правила дифференцирования, производные основных элементарных функций, геометрический смысл производной, теоремы дифференциального исчисления, правило Лопиталя, интервалы монотонности, экстремумы функции, производные высших порядков, точки перегиба функций, дифференциал функции и экономические приложения производной. Завершается раздел рассмотрением интегрального исчисления, включая первообразную функцию, неопределенный интеграл, основные методы интегрирования, определенный интеграл, геометрический смысл определенного интеграла, формулу Ньютона — Лейбница, геометрические приложения определенного интеграла и несобственные интегралы.
Практическое применение: Excel и R в действии
Каждый раздел содержит краткое изложение теоретических сведений, большое количество решенных примеров различной сложности, а также задачи для самостоятельного решения. Для основных типов задач приводится реализация решения в MS Excel и с использованием языка R, что позволяет студентам применять полученные знания на практике. В конце пособия представлены типовые варианты контрольной и демонстрационные варианты зачетной работы.
Текст подготовлен языковой моделью и может содержать неточности.
- ВО - Бакалавриат
- 38.03.04: Государственное и муниципальное управление
- 39.03.01: Социология
- 41.03.04: Политология
- 43.03.02: Туризм
- 43.03.03: Гостиничное дело
Москва 2024 Л.Р. Борисова, И.Ю. Седых, М.Б. Хрипунова Математика и анализ данных с поддержкой MS Excel и языка R Практикум Часть 1 Учебное пособие Под редакцией Седых И.Ю. Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (Финансовый университет)
УДК 517(073) ББК 22.161я73 Б82 Б82 Борисова Л.Р. Математика и анализ данных с поддержкой MS Excel и языка R. Практикум. Часть 1: Учебное пособие / Л.Р. Борисова, И.Ю. Седых, М.Б. Хрипунова; под ред. И.Ю. Седых — М.: Прометей, 2024. — 374 с. ISBN 978-5-00172-595-4 Данное учебное пособие представляет собой первую часть практикумов, разработанных для обеспечения учебного процесса по дисциплинам «Математика и анализ данных» и «Цифровая математика на языке R и Excel» для студентов, обучающихся по направлениям подготовки «Гостиничное дело», «Государственное и муниципальное управление», «Политология», «Социология», «Туризм», «Управление персоналом» по программе подготовки бакалавра в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами высшего образования последнего поколения. В пособии излагаются общие характеристики MS Excel и языка R с дальнейшим применением их по мере изучения основных положений линейной алгебры и математического анализа. Каждый параграф начинается с кратного изложения теоретических сведений. Затем — большое количество решенных примеров разного уровня сложности. Для основных типов задач приводится реализация решения в MS Excel и R. В каждом разделе находятся задачи для самостоятельного решения. Представлены типовые варианты контрольной и демонстрационные варианты зачетной работы. Пособие предназначено для студентов, стремящихся освоить современные инструментальные средства. Оно может быть рекомендовано для программ прикладного бакалавриата, при обучении слушателей бизнесшкол, колледжей, для программ повышения квалификации и всем желающим приобрести основы математических знаний. ISBN 978-5-00172-595-4 © Борисова Л.Р., Седых И.Ю., Хрипунова М.Б., 2024 © Издательство «Прометей», 2024 Рецензенты: Губернаторов А.М., доктор экон. наук, доцент, профессор кафедры «Бизнес-информатика и экономика» ФГБОУ ВО Владимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых; Жукова Г.С., доктор физ.-мат. наук, профессор, профессор департамента анализа данных и машинного обучения Финансового университета при Правительстве Российской Федерации. Авторы: Борисова Людмила Робертовна, кандидат физ.-мат. наук, доцент, доцент департамента математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации; Седых Ирина Юрьевна, кандидат физ.-мат. наук, доцент, доцент департамента математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации; Хрипунова Марина Борисовна, кандидат физ.-мат. наук, доцент, доцент департамента математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации.
Оглавление Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Введение в MS EXCEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Введение в язык программирования R . . . . . . . . . . . . . . . 14 Раздел I ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Глава 1. Векторы, матрицы, определители 1.1. Матрицы и операции над ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2. Определитель квадратной матрицы . . . . . . . . . . . . . . 31 1.3. Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.4. Векторные пространства и n-мерные векторы . . . . . . 36 1.5. Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.6. Типовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.7. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . 56 Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений 2.1. Основные понятия и определения . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.2. Методы решений систем линейных уравнений . . . . . 63 2.3. Однородные системы линейных уравнений . . . . . . . . 66 2.4. Типовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.5. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . 88 Глава 3. Линейные преобразования (операторы) 3.1. Определение линейного оператора и его матрица . . . 92 3.2. Собственные векторы и собственные числа . . . . . . . . 94 3.3. Типовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.4. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . 98 Глава 4. Задачи оптимизации. Линейное программирование 4.1. Выпуклые множества в n-мерном пространстве . . . 100 4.2. Основная задача линейного программирования . . . 104
4.3. Графический метод решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.4. Транспортная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.5. Типовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.6. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . 136 Линейная алгебра в R Операции с векторами в R (RStudio) . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Операции с матрицами в R (RStudio) . . . . . . . . . . . . . . . 147 Определители квадратных матриц. Минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы. След. Ранг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Матричные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Системы линейных алгебраических уравнений . . . . . . . 167 Решение задач линейного программирования в R . . . . . 169 Раздел II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Глава 5. Функции одной переменной 5.1. Понятие функции. Основные свойства функций . . . 178 5.2. Основные элементарные функции и их графики . . . 180 5.3 Классификация функций. Преобразование графиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Глава 6. Пределы и непрерывность 6.1. Числовая последовательность и ее предел . . . . . . . . 188 6.2. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины 191 6.4. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 6.5. Первый и второй замечательные пределы . . . . . . . . 195 6.6. Непрерывность функции. Точки разрыва. Асимптоты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.7. Типовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 6.8. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . 216 Глава 7. Дифференциальное исчисление 7.1 Определение и геометрический смысл производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.2. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 7.3. Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . 226 7.4. Интервалы монотонности. Экстремумы функции . . 229 7.5. Производные высших порядков. Точки перегиба функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 7.6 Общая схема исследования функций и построения их графиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 7.7. Дифференциал функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 7.8. Экономические приложения пределов и производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 7.9 Типовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 7.10. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . 258 Глава 8. Интегральное исчисление 8.1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 8.2 Основные методы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . 265 8.3. Определенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 8.7. Геометрические приложения определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 8.8. Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 8.9. Типовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 8.10. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . 294 Глава 9. Функции нескольких переменных 9.1. Основные понятия. Частные производные функции нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 9.2. Градиент функции двух переменных . . . . . . . . . . . . 307 9.3. Экстремум функции двух переменных . . . . . . . . . . . 308 9.4. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 9.5. Типовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 9.6. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . 319
Математический анализ в R Задание математических функций, исследование и построение графиков функций в R . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Вычисление производных функции одной переменной и экономические приложения производной в R . . . . . . . 337 Использование R при вычислении определенных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Функции нескольких переменных в R . . . . . . . . . . . . . . . 348 Экстремумы функции нескольких переменных . . . . . . . 355 Типовые варианты контрольной работы Вариант 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 Вариант 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 Демонстрационные варианты зачетной работы Вариант 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 Вариант 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
Предисловие Данное учебное пособие «Математика и анализ данных с поддержкой MS Excel и языка R. Практикум. Часть 1» представляет собой первую часть практикумов и вторую часть учебно-методического комплекса пособий, разработанных для учебного и методического обеспечения организации и проведения учебного процесса по дисциплине «Математика и анализ данных» и «Цифровая математика на языке R и Excel» для студентов, обучающимся по направлениям подготовки «Гостиничное дело», «Государственное и муниципальное управление», «Политология», «Социология», «Туризм», «Управление персоналом» по программе подготовки бакалавра в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами высшего образования последнего поколения. Преподавание дисциплины «Математика и анализ дан ных» студентам, обучающимся по вышеперечисленным направлениям, имеет ряд особенностей. Прежде всего, это широта круга охватываемых вопросов в течение ограниченного промежутка времени. Ситуация осложняется еще и тем, что дисциплина преподается на первом курсе — то есть студентам — вчерашним школьникам. Все это требует от преподавателя больших усилий по ор ганизации и проведению учебного процесса. И надо помнить, что цель изучения дисциплины «Математика и анализ данных» (как и других дисциплин математического цикла) — научить студентов учиться, то есть находить, воспринимать и использовать в своей будущей профессиональной деятельности необходимую информацию. А источников этой информации в современной ситуации достаточно много (как традиционных, так и новейших). В учебном пособии последовательно излагаются общие характеристики табличного процессора MS Excel и языка программирования R с дальнейшим применением их
по мере изучения основных положений линейной алгебры и математического анализа. Пособие включает в себя главы «Введение в MS Excel», «Введение в язык программирования R» и два раздела: «Линейная алгебра», «Математический анализ». Каждый раздел начинается с кратного изложения основных теоретических сведений. Затем — большое количество решенных примеров разного уровня сложности. Для основных типов задач приводится реализация решения в MS Excel и с использованием языка R. В каждом разделе находятся задачи для самостоятельного решения. Представлены типовые варианты контрольной и демонстрационные варианты зачетной работы. В основе пособия лежат курсы лекций и материалы пра ктических занятий, разработанные авторами по дисциплинам математического цикла по соответствующим направлениям подготовки в Финансовом университете при Правительстве Российской Федерации. Пособие предназначено, в первую очередь, для студен тов, обучающихся по программам академического бакалавриата, изучающих вышеперечисленные разделы математики, и стремящихся освоить современные инструментальные средства и их применение при решении задач. Также оно может быть рекомендовано и для программ прикладного бакалавриата, при обучении слушателей бизнес-школ, колледжей, также для программ повышения квалификации и всем желающим приобрести основы математических знаний.
Введение в MS EXCEL Microsoft Excel — программа для работы с электрон ными таблицами, созданная корпорацией Microsoft для Microsoft Windows, Windows NT и Mac OS. Она предоставляет возможности экономико-статисти ческих расчетов, графические инструменты, поддерживает язык макропрограммирования VBA (Visual Basic для приложений). Microsoft Excel входит в состав Microsoft Offi ce и на сегодняшний день Excel является одной из наиболее популярных программ в мире. Открыть программу можно, например, щелкнув правой кнопкой мышки по полю Рабочего стола, Создать, Лист Microsoft Excel. Лист MS Excel — это рабочая вкладка, на которой нахо дится двумерная таблица, состоящая из ячеек. Любой файл Excel состоит, как минимум из одного ли ста. Лист Excel состоит из 16 384 столбцов и 1 048 576 строк (в версиях младше 2007 года их меньше), на их пересечениях находятся ячейки для ввода формул, чисел, текста, дат и т.д. Количество самих листов в Excel не ограниченно (зависит от оперативной памяти компьютера).
У каждой ячейки есть свое имя (адрес), состоящее из на звания столбца и номера строки на пересечении которых она находится, например, желтая ячейка — A4 . В ячейки Excel можно вводить формулы, в состав кото рых входят встроенные функции. Чтобы ячейка стала активной нужно ввести “ = “ знак равно. Рассмотрим следующие примеры. Введем в ячейку А4 “3+4”, в ней так и останется «3+4» Введем в ячейку А4 “= 3+4”, после выхода из нее, про грамма посчитает сумму 3+4 и выдаст в ней результат 7 . А в командной строке . Под функцией в Excel понимают встроенные подпро граммы для организации вычислений в Excel. Количество различных функций в различных версиях Excel очень велико (больше 400), но все они распределены по основным категориям: финансовые, дата и время, математические, статистические, ссылки и массивы и т. д. Любая функция имеет свое неповторимое (уникальное) имя, один или несколько аргументов. В общем виде функция записывается следующим образом: =F (arg1, arg2, …), где F – имя функции; arg1, arg2, … - аргументы функции. Аргумент функции – это значение, с которым оперирует данная функция и которое надо задать, чтобы получить результат функции. Аргументами функции могут быть числа,