Финансовая математика

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  
БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ  
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»  
(ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Департамент математики Факультета информационных  
технологий и анализа больших данных

С.В. Александрович

ФИНАНСОВАЯ  
МАТЕМАТИКА
 
Учебное пособие

Для студентов, обучающихся по направлениям подготовки
38.03.01 «Экономика», 38.03.02 «Менеджмент»

МОСКВА
2023

ISBN 978-5-00172-507-7

УДК 336.6(075.8) 
ББК 65.261я73

А 46
Автор:

Александрович С.В., канд. физ.-мат. наук, доцент 
Департамента математики Факультета информационных 
технологий и анализа больших данных Финансового университета при Правительстве РФ.

Рецензенты:

Аль-Натор М.С., кандидат физико-математических 
наук, доцент, доцент Департамента математики факультета 
информационных технологий Финансового университета при 
Правительстве Российской Федерации;

Попов В.Ю., доктор физико-математических наук, профессор, профессор Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики».

А 46
Александрович С.В.
Финансовая математика: Учебное пособие / 
С.В. Александров. – М.: Прометей, 2023. – 306 с.

ISBN 978-5-00172-507-7

Целью пособия является оказание помощи студентам 
в изучении теоретических основ дисциплины «Финансовая 
математика». В пособии кратко и доступно изложены следующие темы: временные и календарные шкалы, начисление 
простых и сложных процентов, математическое дисконтирование и банковский учет, учет инфляции, финансовые потоки 
и ренты, облигации, портфельный анализ, модели финансовых рынков, производные финансовые инструменты. Изложение сопровождается большим количеством подробно разобранных примеров и задач для самостоятельного решения, 
способствующих лучшему пониманию изложенных теоретических выводов. 
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 38.03.01 «Экономика», 
38.03.02 «Менеджмент».

©  Александрович С.В., 2023
© Издательство «Прометей», 2023

Оглавление

Глава 1. Временная и календарная шкалы.................................4
Задачи к главе 1 .......................................................... 9

Глава 2. Простейшие кредитные операции ..............................12
Задачи к главе 2 .........................................................21

Глава 3. Начисление простых и сложных процентов  ..............24
Задачи к главе 3 .........................................................46

Глава 4. Финансовая эквивалентность обязательств 
и конверсия (перерасчет) платежей ..........................................50
Задачи к главе 4 .........................................................53

Глава 5. Инфляция и доходность. Формула фишера................56
Задачи к главе 5 .........................................................61

Глава 6. Дискретные финансовые потоки .................................63
Задачи к главе 6 .........................................................79

Глава 7. Непрерывные финансовые потоки .............................81
Задачи к главе 7 .........................................................88

Глава 8. Ренты .............................................................................90
Задачи к главе 8 ....................................................... 143

Глава 9. Облигации ...................................................................151
Задачи к главе 9 ....................................................... 179

Глава 10. Портфельный анализ ...............................................182
Задачи к главе 10 ..................................................... 240

Глава 11. Модели финансовых рынков ...................................244
Задачи к главе 11 ..................................................... 265

Глава 12. Производные финансовые инструменты ................267
Задачи к главе 12 ..................................................... 299

Литература.................................................................................303

Приложение. Порядковые номера n(∂) дней в году, 
используемые при применении правил act/365; act/360 .... 304

Глава 1.  

ВРЕМЕННАЯ И КАЛЕНДАРНАЯ ШКАЛЫ

Временной шкалой называется временная координата, заданная началом отсчета и единицей измерения. 
Началом отсчета обычно служит 
0
t =
. Если единицей 
измерения времени является год, то временная шкала 
называется годовой.
Основным элементом календарной шкалы является 
дата. Дата обозначается упорядоченной тройкой чисел:

( .
.
)
d m y
∂ =
,

где d  — номер дня, m  — номер месяца, y  — номер года.

В календарной шкале мерой длины является продолжительность промежутка в днях. Она вычисляется с помощью функции 
( )
N ∂  — порядкового номера даты ∂  
в календарной шкале. Функция 
( )
N ∂  задается таблицей 
(см. Приложение). При вычислении продолжительности 
временного промежутка между двумя датами 
1
∂  и 
2
∂  
календарной шкалы, день, соответствующий дате 
1
∂  
и день, соответствующий дате 
2
∂  считаются за один день.

Временные правила

Обозначим через T  — срок финансовой операции 
в годах. Если срок финансовой операции измеряется 
не в годах T , а в днях D , то в качестве T  нужно взять 
отношение:

 
D
T
K
=
, 
 ( 1.1)

где K  — временная база (число дней в финансовом году).
На практике обычно используются следующие временные правила.

Правило АСТ/365 (английская практика)

Согласно этому правилу, временная база 
365
K =
, 
число дней между двумя датами D  является точным 
и продолжительность месяца равна календарной.

Правило АСТ/360 (французская практика)

Согласно этому правилу, временная база 
360
K =
, 
число дней между двумя датами D  является точным 
и продолжительность месяца равна календарной. Это правило также называется банковским правилом.

Правило 30/360(немецкая практика)

Согласно этому правилу, временная база 
360
K =
, 
число дней между двумя датами D  является приближенным и продолжительность любого месяца равна 30 дням.

Точное и приближенное число дней  
между датами 
1
∂  и 
2
∂

Точное число дней между датами 
1
∂  и 
2
∂  вычисляется 

по формуле:
 
1
2
2
1
2
1
(
;
)
(
)
(
)
365(
)
D
N
N
y
y
k
∂
∂
=
∂
−
∂
+
−
+
, 
 (1.2)

где 
( )
N ∂  — порядковый номер даты по таблице, k  — 
число високосных дат между датами 
1
∂  и 
2
∂ . Високосной 

датой называется дата 29.02.
вy , где 
вy  — номер високос
ного года.
Приближенное число дней между датами 
1
∂  и 
2
∂  

вычисляется по формуле:

1
2
2
1
2
1
2
1
(
;
)
360(
)
30(
)
D
y
y
m
m
d
d
∂
∂
=
−
+
−
+
−

,  (1.3)

где d  — номер дня, m  — номер месяца, y  — номер года.

Пример 
Найти точное и приближенное число дней между 
25.02.2015 и 11.08.2022.
Решение

1
1
25.02.2015;
(
)
56;
N
∂ =
∂
=
 

2
2
11.08.2022;
(
)
223;
2
N
k
∂ =
∂
=
=

Точное число дней между датами 
1
∂  и 
2
∂  равно:

2
1
2
1
(
)
(
)
365(
)
D
N
N
y
y
k
=
∂
−
∂
+
−
+
=

223
56
365*(2022
2015)
2
167
2555
2
2724
=
−
+
−
+
=
+
+
=
 
дня.

Приближенное число дней между датами 
1
∂  и 
2
∂  

равно:

2
1
2
1
2
1
360(
)
30(
)
D
y
y
m
m
d
d
=
−
+
−
+
−
=

 

360 *(2022
2015)
30 *(8
2)
11
25
2520
180
14
2686
=
−
+
−
+
−
=
+
−
=
 
дней.

Пример 
Найти срок в годах между датами 25.02.2015 
и 11.08.2022 по временным правилам 

/ 365;
/ 360; 30 / 360
ACT
ACT
.

Решение 
В предыдущем примере было найдено: 

2724;
2686
D
D
=
=

.

По правилу 
/ 365
ACT
 срок в годах равен:

2724
7,463013699
365
D
T
K
=
=
=
 лет

По правилу 
/ 360
ACT
 срок в годах равен:

2724
7,666666667
360
D
T
K
=
=
=
 лет

По правилу 30 / 360  срок в годах равен:

2686
7,461111111
360

D
T
K
=
=
=



 лет

Часто встречающиеся календарные промежутки

Календарным годом называется промежуток между 
двумя датами 
1
∂  и 
2
∂ , если выполняются соотношения:

1
2
1
2
2
1
;
;
1
d
d
m
m
y
y
=
=
=
+
.

Промежуток между 01.01.y  и 01.01.(
1)
y +
 называется 

стандартным календарным годом.
Календарным месяцем называется промежуток между 
двумя датами 
1
∂  и 
2
∂ , если выполняются соотношения:

1
2
2
1
2
1
1

1
2
2
2
1
1

;
1;
12

;
1;
1
12

d
d
m
m
y
y
при m

d
d
m
y
y
при m

=
=
+
=
≠


=
=
=
+
=


Календарным кварталом называется промежуток 
между двумя датами 
1
∂  и 
2
∂ , если выполняются соотно
шения:

1
2
2
1
2
1
1

1
2
2
1
2
1
1

;
3;
9

;
9;
1
9

d
d
m
m
y
y
при m

d
d
m
m
y
y
при m

=
=
+
=
≤


=
=
−
=
+
>


Календарным полугодием называется промежуток 
между двумя датами 
1
∂  и 
2
∂ , если выполняются соотно
шения:

1
2
2
1
2
1
1

1
2
2
1
2
1
1

;
6;
6

;
6;
1
6

d
d
m
m
y
y
при m

d
d
m
m
y
y
при m

=
=
+
=
≤


=
=
−
=
+
>


Пример 
Кредит выдан 17 марта 2021 год на 7 календарных 
месяцев. Найти дату возврата и срок кредита в днях 
по временным правилам 
/ 365;
ACT
 
/ 360; 30 / 360
ACT
.

Решение 
Дата выдачи: 
1
1
17.03.2021;
(
)
76
N
∂ =
∂
=

Дата возврата: 
2
2
17.10.2021;
(
)
290
N
∂ =
∂
=

По правилам 
/ 365
ACT
 и 
/ 360
ACT
 срок кредита 
в днях равен точному числу дней между датами:

2
1
2
1
(
)
(
)
365(
)
D
N
N
y
y
k
=
∂
−
∂
+
−
+
=  

290
76
365 (2021
2021)
0
214
−
+
⋅
−
+
=
 дней.

По правилу 30 / 360  срок кредита в днях равен приближенному числу дней между датами:

2
1
2
1
2
1
360(
)
30(
)
D
y
y
m
m
d
d
=
−
+
−
+
−
=

 

360 (2021
2021)
30 (10
3)
17
17
210
=
⋅
−
+
⋅
−
+
−
=
 дней.
Пример 
Кредит, выданный на 15 календарных месяцев, был 
погашен 27 августа 2022 года. Найти дату выдачи и срок 
кредита в днях по временным правилам 

/ 365;
/ 360; 30 / 360
ACT
ACT
.

Решение 
Дата погашения: 
2
2
27.08.2022;
(
)
239
N
∂ =
∂
=

Дата выдачи: 
1
1
27.05.2021;
(
)
147
N
∂ =
∂
=

По правилам 
/ 365
ACT
 и 
/ 360
ACT
 срок кредита 
в днях равен точному числу дней между датами:

2
1
2
1
(
)
(
)
365(
)
D
N
N
y
y
k
=
∂
−
∂
+
−
+
=  

239
147
365 (2022
2021)
0
92
365
0
457
·
=
−
+
−
+
=
+
+
=
 дней.
По правилу 30 / 360  срок кредита в днях равен приближенному числу дней между датами:

2
1
2
1
2
1
360(
)
30(
)
D
y
y
m
m
d
d
=
−
+
−
+
−
=

 

360 (2022
2021)
30 (8
5)
27
27
360
90
450
·
·
=
−
+
−
+
−
=
+
=
 
дней.

Правило вычисления количества дней  
по известному количеству лет

При вычислении точного и приближенного количества дней по заданному количеству лет, полученное значение всегда округляется до ближайшего большего целого 
числа.

Пример 
Кредит выдан на 2,1235 года. На сколько дней выдан 
кредит по временным правилам 

/ 365;
/ 360; 30 / 360
ACT
ACT
.

Решение
По правилу 
/ 365
ACT
:

365
365 2,1235
775,0775
D
·T
·
=
=
=
 
Согласно правилу: 
776
D =
 дней.
По правилу 
/ 360
ACT
:

360
360 2,1235
764,46
D
·T
·
=
=
=
.
Согласно правилу: 
765
D =
 дней.
По правилу 30 / 360 :

360
360 2,1235
764,46
D
·T
·
=
=
=

 .
Согласно правилу: 
765
D =

 дней.

Задачи к главе 1

1.1. Найдите точное и приближенное число дней 
между датами 
1
23.12.2015
∂ =
 и 
2
05.04.2023
∂ =
.

Ответ: 
2660
D =
; 
2622
D =


1.2. Найдите срок в годах между датами 
1
23.12.2015
∂ =
 

и 
2
05.04.2023
∂ =
 по временным правилам 
/ 365
ACT
, 

/ 360
ACT
, 30 / 360 .
О т в е т :  
/ 365
ACT
:  
2660 / 365
7,287671233
T =
=
; 

/ 360
ACT
: 
2660 / 360
7,388888889
T =
=
; 30 / 360 : 

2622 / 360
7,283333333
T =
=
.

1.3. Заём сделан 03.10.2019  и возвращен 08.08.2022 . 
Найдите срок займа в годовой шкале по правилам 

/ 365
ACT
, 
/ 360
ACT
, 30 / 360 .
Ответ: 
/ 365
ACT
: 
1040 / 365
1,849315068
T =
=
; 

/ 360
ACT
: 
1040 / 360
2,888888889
T =
=
; 30 / 360 : 

1025 / 360
2,847222222
T =
=
.

1.4. Заём сделан 22.03.2016  и возвращен 17.11.2022 . 
Найдите срок займа в годовой шкале по правилам 

/ 365
ACT
, 
/ 360
ACT
, 30 / 360 .
Ответ: 
/ 365
ACT
: 
2431 / 365
6,660273973
T =
=
; 

/ 360
ACT
: 
2431 / 360
6,752777778
T =
=
; 30 / 360 : 

2395 / 360
6,652777778
T =
=
.
1.5. Кредит выдан 15 мая 2022 года на 5 календарных 
месяцев. Найдите дату возврата и срок кредита в годовой 
шкале по правилам 
/ 365
ACT
, 
/ 360
ACT
, 30 / 360 .
Ответ: Дата возврата: 15.10.2022 .

/ 365
ACT
: 
153 / 365
0,419178082
T =
=
; 
/ 360
ACT
: 

153 / 360
0,425
T =
=
; 30 / 360 : 
150 / 360
0,416666667
T =
=
.
1.6. Кредит, выданный на 14 календарных месяцев, 
был погашен 8 сентября 2022 года. Найдите дату выдачи 
и срок кредита в годовой шкале по правилам 
/ 365
ACT
, 

/ 360
ACT
, 30 / 360 .
Ответ: Дата выдачи: 08.07.2021 .