Метод погружения и его применение в преподавании математического анализа

Москва

2023

Н.И. Коршунова

Метод погружения и его 

применение в преподавании 

математического анализа

Учебно-методическое пособие 

Министерство науки и высшего образования  

Российской Федерации (Минобрнауки России)

Федеральное государственное образовательное бюджетное 

учреждение высшего образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

Ярославский филиал

1919

УДК 51+378
ББК 22.1+74.58
К 66

Рецензенты: 

Иванова Н. И., кандидат физико-математических наук, доцент, 
доцент кафедры «Высшей математики» Ярославского высшего военного училища противовоздушной обороны;
Майорова Н. Л., кандидат педагогических наук, доцент, доцент 
кафедры «Математического моделирования» Ярославского государственного университета им. Демидова П. Г. 

К 66

Коршунова Н. И.

Метод погружения и его применение в преподава
нии математического анализа : Учебно-методическое 
пособие / Н.И. Коршунова. — М.: Прометей, 2023. — 
178 с.

ISBN  978-5-00172-423-0

Настоящая работа адресована, прежде всего, преподавателям 

и студентам экономических вузов и факультетов. Пособие будет полезно также всем изучающим математический анализ в любом нематематическом вузе. Особенностью практической части является отсутствие в большинстве заданий чисто технических вычислительных 
трудностей, что позволяет выдвинуть на первый план логические 
проблемы и прикладное значение изучаемого материала. Каждый параграф снабжён теоретической справкой, как правило, содержащей 
таблицы и структурно-логические схемы, что облегчает усвоение 
и применение материала. Содержание соответствует требованиям государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования.

ISBN  978-5-00172-423-0 
© Коршунова Н. И., 2023

 
© Издательство «Прометей», 2023

ОГЛАВЛЕНИЕ

Методическое введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Раздел I. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ  

ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 

И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Глава I. Введение в математический анализ

§ 1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
§ 2. Основные классы функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
§ 3. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
§ 4. Непрерывность функции в точке и на промежутке . . 40

Глава II. Дифференциальное исчисление  
функции одной переменной и его приложения

§ 1. Производная. Дифференциал  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§ 2.  Пределы. Раскрытие неопределённостей. 

Правило Лопиталя  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

§ 3.  Геометрический, механический и экономический 

смысл производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

§ 4.  Исследование функции с помощью первой и второй 

производной  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

§ 5. Эластичность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
§ 6. Асимптоты графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
§ 7. Общая схема исследования функции  . . . . . . . . . . . . . 93
§ 8. Приближённые методы решения уравнений  . . . . . . . 97

Ответы к заданиям главы II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Раздел II. ИНТЕГРАЛЬНОЕ  ИСЧИСЛЕНИЕ 

Глава I. Первообразная. Неопределенный интеграл  . . . 108
Теоретическая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

§ 1. Первообразная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
§ 2.  Связь между дифференцированием  

и интегрированием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

§ 3.  Непосредственное интегрирование. 

Подведение под знак дифференциала . . . . . . . . . . . . 118

§ 4. Интегрирование по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
§ 5. Интегрирование рациональных дробей . . . . . . . . . . . 125
§ 6. Интегрирование тригонометричесих функций . . . . . 132
§ 7. Метод замены переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
§ 8. Разные методы интегрирования  . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Контрольные вопросы и задания к главе I . . . . . . . . . . . . 140
Ответы к § 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Глава II. Определённый интеграл  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Теоретическая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
§ 1. Свойства определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . 148

Ответы к заданиям § 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

§ 2.  Производная интеграла  

с переменными пределами интегрирования . . . . . . . 158

§ 3.  Метод замены переменной и интегрирование 

по частям в определённом интеграле . . . . . . . . . . . . . 159
Ответы к заданиям § 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

§ 4. Несобственные интегралы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
§ 5.  Геометрические приложения определенного  

интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Контрольные вопросы и задания к главе II . . . . . . . . . . . 173

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

МЕТОДИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Практически не существует учебной и методической 

литературы, адресованной студентам-заочникам и вечерникам, а также преподавателям, работающим на таких отделениях. Нельзя считать разработанной соответствующую 
методику преподавания. И это в то время, когда заочная 
и вечерняя форма обучения в высших учебных заведениях 
(и особенной экономической направленности) за последние 
три десятилетия получила широкое распространение. Она 
востребована и в связи с возросшим спросом на экономические знания, и в силу изменившегося социального положения в стране. 

Кроме этого, в неравном положении находятся сту
денты-очники, поступающие на экономические и финансовые отделения в полной уверенности, что с математикой они 
расстались в школе и замотивированные студенты, понимающие роль математических знаний, приёмов и моделей.

Работу со студентами-заочниками и вечерниками необ
ходимо строить с учётом двух групп особенностей:

— с одной стороны, наличие у них более богатого жиз
ненного опыта по сравнению со студентами, обучающимися 
по очной форме; как правило, имеется опыт работы по избранной специальности, а значит, есть определённые специальные знания, умения и навыки; в достаточной степени сформировалась потребность в дополнительной подготовке и т.п.;

— с другой — более низкий уровень теоретической под
готовки, обусловленный, прежде всего, существенным перерывом в учёбе, и вытекающее отсюда пренебрежительное 
отношение к базовым знаниям.

У них потеряны навыки работы с учебной литературой, 

и сформировался страх перед самостоятельной умственной 
деятельностью.

Сразу со школьной скамьи на заочные отделения идут, 

как правило, наименее подготовленные выпускники средних школ. Именно на них и приходится ориентироваться, 
выбирая те или иные подходы, методы, приёмы.

Экономику неоправданно относят к гуманитарным дис
циплинам, поэтому студенты-экономисты с математическим складом ума скорее исключение, чем правило. На практике же, математические методы всё глубже и прочнее 
проникают в экономическую действительность. Без них 
не обходятся серьёзные исследования в области планирования, прогнозирования, оптимизации и оценке рисков.. 
С бурным ростом возможностей компьютерной техники 
тесно связано развитие и расширение сферы применимости 
экономико-математического моделирования и программирования.

В условиях очень коротких базовых и прикладных мате
матических курсов, при неизбежном дефиците времени для 
самостоятельного изучения материала и неумении организовать самостоятельную работу, при отсутствии или недостаточном количестве учебной, тем более, учебно-методической литературы, ВУЗы должны, тем не менее, выпускать 
полноценных квалифицированных и способных к дальнейшему самосовершенствованию специалистов.

Это предъявляет особые требования как к структуре 

и содержанию аудиторных занятий, так и к роли учебно-методической литературы.

Интенсивность занятий на заочных и очно-заочных от
делениях по сравнению с дневными значительно выше. Да 
и на очном отделении в значительной степени различаются 
уровни базовой математической подготовки студентов и их 
отношение к роли математических знаний в изучении профидьных дисциплин и в будущей практической деятельности. Поэтому добиться успеха можно опираясь не на количественные, а на качественные методы:

— формирование мотивации (здесь можно опираться 

на имеющийся у студентов опыт практической работы, выявляя при этом «белые пятна» и предлагая доступные им 
математические пути их ликвидации);

— возможно раннее использование прикладных задач 

(к каждому вводимому математическому понятию, свойству, факту приходить через решение несложных задач 
с экономическим, финансовым и т.п. содержанием);

— избегать чисто технических вычислительных трудно
стей, акцентируя внимание на содержательной стороне вопроса;

— использовать активные методы обучения, в том чи
сле, метод «погружения» и при проведении аудиторных 
занятий, и при создании их учебно-методического обеспечения.

В.И. Тесленко и В.И. Сосновский [«Технология состав
ления педагогического теста» // Современное образование: 
Сибир. науч.-метод. Ж., 1999, № 1] выделили пять уровней 
усвоения знаний: 1) информационный, 2) репродуктивный, 
3) базовый, 4) повышенный, 5) творческий. С подобной 
классификацией хорошо согласуется применение метода 
«погружения» в любом из возможных способов его интерпретации. 

Чаще всего «погружение» понимается как аккордное, 

в максимально короткий срок, изучение темы (раздела). 
В течение одного-двух учебных дней рассматриваются базовые понятия, основные теоретические факты и практические приёмы, способы, методы и т.п., и осуществляется 
контроль полученных знаний, умений, навыков (лекция + 
практическое занятие + самостоятельная работа под руководством преподавателя + контрольная работа). Как показывает многолетний опыт преподавания, на дневном отделении этот приём обычно даёт положительный результат. Однако есть два «НО». Первое — на высокий результат можно 
рассчитывать лишь в достаточно подготовленной группе, 
а в «слабой» можно получить и нулевой. Второе — сложности, связанные с составлением расписания. На заочном 
и очно-заочном отделении как раз с планированием занятий по упомянутой схеме проблем нет. В один и тот же день 
на изучение отдельного предмета отводится 4–8 часов. Теоретически, вот он простор для применения данного метода! 
Но время на проведение самостоятельной работы под руко

водством преподавателя и полномасштабного промежуточного контроля не планируется. А проводить его за счёт лекционных часов или времени, отводимого на практические 
занятия, — значит «обкрадывать» другие темы.

Поэтому рассмотренный «метод погружения» полезно 

применять в комбинации с другими его разновидностями: 
погружение в материал «по объёму» и «по глубине». Обе 
разновидности включают погружение в теорию и погружение в практическую часть. 

На лекции после формулировки общей цели и опреде
ления места изучаемого раздела (темы) в рамках учебной 
дисциплины формулируем задачи, решение которых ведёт 
к достижению цели (погружаем теоретическое «тело» в живое море практики). Для сформулированных задач определяем их роль и место. Устанавливаем приоритеты (критерии могут быть разными). После ранжирования задач 
выясняем, методами решения которых из них мы уже владеем (и в какой степени), а для каких предстоит построить 
новый математический аппарат. Наполнив задачи подобной 
информацией, составляем план их решения. Выполняем 
пункты плана («всплываем»). При этом на одни и те же вопросы посмотрели с разных сторон: один и тот же объект 
выступает как в роли причины, так и в роли следствия, как 
цель и как средство и т.п.

«Погружение по объёму» коротко схематически можно 

представить так: разбиение задачи на существенные составные части → каждая часть дробится на элементарные 
блоки → для блоков выявляется общее, частное, особенное → изучаются методы решения задач, попавших в один 
блок. Затем начинается движение по цепочке в обратном порядке («всплываем»).

«Погружение по глубине» можно изобразить с помо
щью похожей по структуре схемы (движение от прозрачных 
стандартных задач к задачам творческим).

Пример 1.
Понятие предела функции является базовым по отно
шению к другим основным понятиям математического анализа: производная, эластичность, определённый интеграл, 

несобственный интеграл, сумма ряда и др. А они, в свою 
очередь, позволяют вычислять многие экономические показатели: предельные, суммарные средние показатели, показатели эластичности.

С технической, а, прежде всего, с логической точки зре
ния, вычисление пределов является наиболее сложным для 
студентов. Так, осознание того, что результат вычисления 
предела от одной и той же функции, зависит от точки, в которой он находится. Поэтому отработку темы «Пределы» 
полезно начать с разбора серии групп примеров, подобных 
следующей:

lim
;
lim
;
x
x

x
x
x
x
x
x
→
→

−

−
+

−

−
+
0

3

2
3

3

2
27
5
6
27

5
6
lim
;
lim
;
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→
→
→−
−
−
+
−
−
+
−

−
+
2

3

2

3

2
1

3

2
27
5
6
27
5
6
27
5
6.Очевидно, что первый и последний пределы вычисля
ются на основании теоремы о конечных пределах и равны, 
соответственно, 9/2 и 7/3; во втором приходим к неопределённости вида 0
0



, а в 4-м — к неопределённости вида 



; 

в третьем случае имеем отношение ограниченной и бесконечно малой функции.

Постепенно, рассматривая различные приёмы и под
ходы к вычислению пределов, строим схемы «Схема вычисления пределов» и «Схема раскрытия неопределённостей» 
(Раздел I. Глава 1. § 3).

Изучение методов интегрирования полезно начать с обо
снования роли переменной интегрирования. Рассматриваем 
серию примеров:

1. 
e dx

x
4
∫
=
; 
4. ∫

−
−
(
)
e
d x

x
4 1
4 ;

2. ∫

−
e
dx

x
4 1
;  
5. ∫

−
−
e
de

x
x

4 1
4 1;

3. ∫

−
e
d x
x
4 1
4 ;  
6. ∫

−
−
e
de

x
x

2
2
4 1.

Студенты убеждаются в том, что результат зависит 

не только от вида подынтегральной функции, но и от вида 
переменной интегрирования.

Далее идёт обучение методам интегрирования. Причём 

главное — это обоснование причин выбора того или иного 
способа. Первые интегралы должны быть лишены чисто 
технических трудностей, прозрачны для выбора того или 
иного метода. Постепенно идёт усложнение внутри сферы 
применимости конкретного метода. Затем рассматриваются 
интегралы, для вычисления которых возможно применение различных методов по отдельности и в комбенации. Полезно выполнение заданий на классификацию интегралов 
(к серии интегралов применяются различные основания 
классификации). Затем студентам предлагается сконструировать интегралы, при решении которых разумно применять указанный метод интегрирования. Далее решаются 
(и составляются) задачи, для решения которых необходимо применять интегралы, изученные ранее производные 
и пределы. Анонсируется предстоящее изучение дисциплин 
«Дифференциальные и разностные уравнения» и «Производственные функции».

Работа по очерченной методике успешна лишь в том 

случае, если учебный процесс обеспечен соответствующими учебными и методическими пособиями (для начала — раздаточными материалами или их электронными 
версиями).

 Большую помощь заочникам окажут справочные посо
бия по организации самостоятельной работы.

Математический анализ является одним из наиболее 

сложных для понимания разделов курса высшей математики. В первую очередь это относится к студентам, выбравшим нематематические специальности: биологию, медицину, историю, право, психологию, экономику и т.п. В то 
же время, каждый думающий специалист должен владеть 
определённым арсеналом математических методов. А знание математического анализа функций одной и нескольких 
независимых переменных лежит в основе решения большинства прикладных задач.