Математика и информатика для лингвистов

Москва

2023

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение 

высшего образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ  
ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

(Финансовый университет)

Департамент математики

1919

О.А. Баюк

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА 

ДЛЯ ЛИНГВИСТОВ

Учебное пособие 

для студентов, обучающихся по направлению  

45.03.02 «Лингвистика»

 

Б33

Баюк О.А.

Математика и информатика для лингвистов: Учебное 
пособие / О.А. Баюк. — М.: Прометей, 2023. — 162 с.

ISBN 978-5-00172-476-6

Данное учебное пособие предназначено для студентов очного 

отделения, изучающих дисциплины «Анализ данных в Excel и R» 
и «Математические методы в гуманитарных науках». Пособие написано в соответствии с рабочими программами указанных дисциплин. 
Оно предназначено для подготовки бакалавров по направлению 
«Лингвистика» профиль «Когнитивная лингвистика и межкультурные коммуникации». В пособии отражены темы: теория множеств, 
комбинаторика, математический анализ, выборочный метод, точечные и интервальные оценки, проверка статистических гипотез. Пособие может быть использовано как для проведения семинарских 
занятий, так и для организации самостоятельной работы студентов.

ISBN 978-5-00172-476-6 
©  Баюк О.А., 2023

 
© Издательство «Прометей», 2023

Редакторы: 

Утакаева Ирина Хайрлыевна — к.ф.-м.н., доцент Департамента 

математики Финансового Университета при Правительстве РФ;

Криволапов Сергей Яковлевич — к.ф.-м.н., доцент, доцент Департамента 

математики Финансового Университета при Правительстве РФ;

Глебов Владимир Ильич — к.ф.-м.н., доцент, доцент Департамента 

математики Финансового Университета при Правительстве РФ.

УДК 51-004.7
ББК 22.1-32.973
 
Б33

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

1.1.  Операции над множествами и их свойства. 

Диаграммы Эйлера — Венна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Способы задания множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Числовые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Решения задач  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . 14

Глава 2. КОМБИНАТОРИКА И БИНОМ НЬЮТОНА

2.1. Основные правила комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Размещения без повторений  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3. Перестановки без повторений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4. Сочетания без повторений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5. Свойства числа сочетаний. Треугольник Паскаля . . . 27
2.6. Размещения с повторениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7. Перестановки с повторениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.8. Сочетания с повторениями  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.9. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.10. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . 36

Глава 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА . . . 40
3.1. Последовательность. Предел последовательности . . . 40
3.2.  Определение функции. Предел функции. 

Непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3. Производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4. Интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4.1. Неопределенный интеграл  . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.2.  Определенный интеграл. 

Геометрический смысл  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.4.3. Несобственный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.5. Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . 62

Глава 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

4.1. Случайные события и их вероятности  . . . . . . . . . . . . 69

4.1.1. Случайные события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.2. Классическое определение вероятности . . . . . . 71
4.1.3. Геометрическое определение вероятности . . . . 75
4.1.4. Статистическое определение вероятности . . . . 77

4.2. Алгебра событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3. Аксиоматическая теория вероятностей  . . . . . . . . . . . 83

4.3.1. Теоремы сложения вероятностей . . . . . . . . . . . 83
4.3.2. Теорема умножения вероятностей . . . . . . . . . . 85
4.3.3.  Формула вероятности противоположного 

события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.4. Формула полной вероятности. Формула Байеса  . . . . 89

4.4.1. Формула полной вероятности . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4.2. Формула Байеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.5. Формула Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.6. Случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.6.1.  Дискретные случайные величины.  

Закон распределения дискретных случайных 
величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.6.2.  Независимые дискретные случайные 

величины  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.6.3.  Числовые характеристики дискретных 

случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.6.4. Закон распределения Бернулли  . . . . . . . . . . . 102
4.6.5. Биномиальный закон распределения . . . . . . . 102
4.6.6.  Непрерывные случайные величины и их 

характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.6.7.  Нормально распределенные случайные 

величины  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.6.8. Распределение «хи-квадрат»  . . . . . . . . . . . . . 108
4.6.9. Распределение Стьюдента . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.6.10. Квантили. Процентные точки . . . . . . . . . . . . 109

4.7. Закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.8. Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.9. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . 116

Глава 5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

5.1. Идея выборочного метода  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2. Основные понятия математической статистики  . . . 123
5.3. Графическое представление выборки . . . . . . . . . . . . 125
5.4.  Числовые характеристики выборки и генеральной 

совокупности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.5. Статистические оценки параметров распределения 127

5.5.1. Точечные оценки. Метод моментов  . . . . . . . . 129
5.5.2. Интервальные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.6. Проверка статистических гипотез  . . . . . . . . . . . . . . 141

5.6.1.  Общие принципы проверки гипотез.  

Понятие статистической гипотезы . . . . . . . . . 141

5.6.2.  Критерии для проверки гипотезы о равенстве 

двух математических ожиданий . . . . . . . . . . . 143

5.6.3.  Проверка гипотезы о виде распределения. 

Критерий согласия Пирсона . . . . . . . . . . . . . . 154

5.7. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . 158

ЗАКЛЮЧЕНИЕ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

ВВЕДЕНИЕ

В предлагаемом пособии излагаются базовые сведения 

по разделам математики, необходимым для решения прикладных задач когнитивной лингвистики, в пособии приведены задания по дисциплинам «Математические методы 
в гуманитарных науках» и «Анализ данных в Excel и R».

В первой главе излагаются основные сведения по теории 

множеств, также рассматриваются основные числовые множества, предложены задачи для самостоятельного решения.

Во второй главе излагаются основные методы комбина
торики. Как будет показано далее, методы комбинаторики 
используются при решении ряда задач по теории вероятностей.

В третьей главе излагаются основные понятия и методы 

математического анализа, необходимые для дальнейшего 
изложения. Здесь вводится определение функции, определение предела функции. Понятие предела является фундаментальным понятием математического анализа, поскольку 
большинство остальных понятий математического анализа 
определяются с помощью предела. В этой главе определено понятие производной, неопределенного, определенного 
и несобственного интегралов, также в этой главе вводится 
определение числового ряда. 

В четвертой главе рассматриваются основные сведения 

из теории вероятностей, излагаются методы решения ряда 
задач. Продемонстрировано решение указанных задач с использованием Excel. 

В окружающем нас мире повсюду встречаются случай
ные события и случайные величины. Случайными называются события, которые могут произойти, а могут не произойти. Например, утром может пойти дождь, а может быть 
ясная погода, курс доллара или евро может вырасти, а мо

Введение

жет понизиться или не измениться. Существует множество 
подобных примеров. Случайной величиной называется такая величина, которая может принимать не единственное 
значение, а одно из некоторого набора возможных значений, например температура воздуха, скорость ветра, номер 
билета, доставшегося на экзамене, и так далее. Отметим, 
что случайные события и случайные величины подчиняются определенным закономерностям, изучением которых 
занимается теория вероятностей. Поскольку теория вероятностей является разделом математики, то она оперирует, 
как правило, с абстрактными объектами и понятиями и связана с теорией множеств, математической логикой, теорией 
графов и комбинаторикой. Для того чтобы эффективно использовать методы теории вероятностей в других науках используется математическая статистика. 

Основные задачи и методы математической статистики 

приведены в пятой главе. При решении некоторых задач 
математической статистики также используется Excel.

В пособии приводятся образцы решения некоторых ти
повых задач, также предложены задачи для самостоятельного решения.

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

1.1. Операции над множествами и их свойства. 

Диаграммы Эйлера — Венна

Поскольку понятие множества является одним из ос
новных понятий математики, то максимально строго и точного определения множества пока не известно, как правило, 
в математической литературе используется приблизительно 
следующее определение.

Определение. Множеством называется совокупность 

объектов одной природы, которые рассматриваются как 
единое целое.

Например, множество всех чисел, множество нату
ральных чисел, кратных шести, множество элементарных функций, множество людей, проживающих в Европе 
и т. д.

Объекты, из которых состоит рассматриваемое множе
ство, называются элементами этого множества. Как правило, множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, а их элементы — соответствующими 
строчными буквами (в некоторых случаях с индексами). 
Например, x1, x2, x3 — элементы множества X.

Тот факт, что некоторые элементы принадлежат дан
ному множеству, обозначается с помощью символа «∈», таким образом: x1, x2, x3 ∈ X.

Между множествами устанавливаются следующие отно
шения.

Определение. 
Множествто 
А 
называют 
подмно
жеством множества В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В.

1.1. Операции над множествами и их свойства. Диаграммы Эйлера — Венна

Имеют место обозначения: А ⊆ В (А принадлежит В, 

А включено в В, А содержится в В и т.д.), B ⊇ A (В включает А, В содержит А и т.д.) 

Множества А и В называются равными, если А ⊆ В 

и B ⊆ A ⇒ А = B.

Можно сказать так: множества A и B называются рав
ными (A = B), если они состоят из одних и тех же элементов.

Если А ⊆ В и существует хотя бы один элемент мно
жества В, не принадлежащий множеству А, то А — собственная часть В, т. е. А строго включается в В и обозначается как А ⊂ В.

Например, N — множество натуральных чисел, М — 

множество четных чисел, тогда М ⊂ N.

Пусть Х — множество студентов группы, Y — множество 

студентов данной группы сдавших экзамен, тогда можно построить отношение Y ⊆ Х, т. к. возможно, что все студенты 
успевающие.

При рассмотрении множеств, состоящих из элементов 

какой-либо одной природы, например, числовых множеств, 
множеств функций или множеств элементами, которых являются люди, часто вводятся в рассмотрение, так называемые, универсальные множества, то есть множества, состоящие из всех элементов той же природы. В отмеченных 
примерах – это множества всех чисел, всех функций, всех 
людей, живущих на Земле, соответственно. Универсальные 
множества, как правило, обозначаются буквой U. В теории 
множеств также рассматривается множество, не содержащее ни одного элемента, такое множество называется пустым и обозначается символом «∅».

Если U — универсальное множество некоторой теории, 

то любое множество этой теории является его подмножеством. Например, множество комплексных чисел С – универсальное множество в теории чисел. Для всех классов чисел можно построить цепочку включений
 
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ С.

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Отметим свойства включений:
1. Для всякого множества В: B ⊆ В;
2.  Для любых множеств А, В, С, если А ⊆ В и В ⊆ С, 

то А ⊆ С;

3. Для всякого множества В: ∅ ⊆ В.
Над множествами выполняются следующие операции: 

объединение (сумма), пересечение (произведение), разность, 
симметрическая разность. Для наглядного представления 
этих операций используются так называемые диаграммы 
Эйлера-Венна.

Определение. Объединением, или сум
мой, множеств A и B называется множество A 2 B,  состоящее из всех элементов 
множеств A и B (рисунок 1.2).

Для обозначения операции объедине
ния используется знак «2».

Например, А = {2, 5, 7, 9}, В = {3, 5, 8, 9, 12}.
A 2 B = {2, 5, 7, 9} 2 {3, 5, 8, 9, 12} = {2, 5, 7, 9, 3, 8, 12}.
Определение. Пересечением, или про
изведением, множеств A и B называется 
множество A 3 B, состоящее из всех элементов множества A, принадлежащих 
множеству B (рисунок 1.3).

Для обозначения операции пересече
ния используется знак «3».

Например, А 3 В = {2, 5, 7, 9} 3 {3, 5, 8, 9, 12} = {5, 9}.
Определение. Разностью множеств A 

и B называется множество A \ B, состоящее из всех элементов множества A, 
не принадлежащих множеству B (рисунок 1.4).

Для обозначения разности использу
ется знак « \ ».

Например, А \ В = {2, 5, 7, 9} \ {3, 5, 8, 9, 12} = {2, 7}.
Определение. Симметрической разностью. множеств A 

и B называется множество A D B, состоящее из всех элементов множества A, не принадлежащих множеству B и всех 

A

B

A 2 B

Рисунок 1.2.

A
B

A 3 B

Рисунок 1.3.

A

B

A \ B

Рисунок 1.4.