Математика. Общий курс. Анализ данных. Часть 1

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  
БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ  
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»  
(ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

МАТЕМАТИКА

ОБЩИЙ КУРС. АНАЛИЗ ДАННЫХ

ЧАСТЬ 1

Учебное пособие  
для студентов онлайн-образования

МОСКВА
2023

ISBN 978-5-00172-528-2

УДК 517(073)
ББК 22.161я73
 
М34
Авторы:
Борисова Л.Р., канд. физ.-мат. наук, доцент Департамента 
математики Финансового университета при Правительстве РФ;
Кремер Н.Ш., канд. экон. наук, доцент Департамента математики Финансового университета при Правительстве РФ;
Степанов С.Е., докт. физ.-мат. наук, профессор Департамента 
математики Финансового университета при Правительстве РФ;
Фридман М.Н., доцент Департамента математики Финансового университета при Правительстве РФ;
Цыганок И.И., канд. физ.-мат. наук, доцент Департамента 
математики Финансового университета при Правительстве РФ.

Рецензенты:
Шевченко Ю.И., канд. физ.-мат. наук, профессор Института 
высоких технологий Балтийского федерального университета им. 
И. Канта; 
Александрова И.А., канд. физ.-мат. наук, доцент, первый заместитель декана Факультета информационных технологий и анализа 
больших данных Финансового университета при Правительстве РФ.

М34
МАТЕМАТИКА. Общий курс. Анализ данных. 
Часть 1: Учебное пособие для студентов онлайн-образования / Л.Р. Борисова, Н.Ш. Кремер, С.Е. Степанов [и др.]. — М.: Прометей, 2023. — 516 с.

ISBN 978-5-00172-528-2

В первой части пособия проведен обзор основных понятий 
и положений разделов «Математический анализ», «Линейная алгебра и линейное программирование» дисциплины «Математика». 
Даны методические указания по ее изучению, выделены типовые 
задачи с решениями, представлены вопросы, задачи и тестовые 
задания для контроля и самоподготовки (в том числе в среде Мооdle 
и Excel), варианты контрольных работ и примеры экзаменационных 
(зачетных) заданий по данной дисциплине. Отражен опыт использования электронного учебного курса, реализованного в Департаменте 
математики Финансового университета при Правительстве РФ. 

Пособие предназначено для студентов бакалавриата и  специалитета различных форм обучения по  направлениям экономики 
и управления, в первую очередь для студентов онлайн-образования, 
а также магистрантов и аспирантов, преподавателей и лиц, занимающихся самообразованием.

© Коллектив авторов, 2023
© Издательство «Прометей», 2023

Оглавление

Предисловие ..................................................................................5

Введение .........................................................................................8

Методика изучения дисциплины «математика» cтудентами 
института открытого образования в среде МООDLE ..............11

Основные правила приближенных вычислений ......................25

Раздел 1.  

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема 1. Числовые множества и функции ..................................30
Задачи для самоподготовки ........................................49
Ответы ....................................................................51

Тема 2. Пределы и непрерывность.............................................53
Задачи для самоподготовки ........................................77
Ответы ....................................................................79

Тема 3. Дифференциальное исчисление функций одной 
переменной ..................................................................................80
Задачи для самоподготовки ...................................... 118
Ответы .................................................................. 120

Тема 4. Интегральное исчисление функций одной 
переменной ................................................................................122
Задачи для самоподготовки ...................................... 157
Ответы .................................................................. 161

Тема 5. Функции нескольких переменных .............................162
Задачи для самоподготовки ...................................... 211
Ответы .................................................................. 213

Тема 6. Ряды ..............................................................................214
Задачи для самоподготовки ...................................... 232
Ответы .................................................................. 235

Тема 7. Дифференциальные уравнения ..................................237
Задачи для самоподготовки ...................................... 268
Ответы .................................................................. 271

Раздел 2. 

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 

Тема 8. Векторы и матрицы ......................................................274
Задачи для самоподготовки ...................................... 329
Ответы .................................................................. 332

Тема 9. Системы линейных уравнений и неравенств .............333
Задачи для самоподготовки ...................................... 371
Ответы .................................................................. 374

Тема 10. Линейное пространство .............................................375
Задачи для самоподготовки ...................................... 397
Ответы .................................................................. 398

Тема 11. Линейные преобразования и квадратичные 
формы.........................................................................................399
Задачи для самоподготовки ...................................... 431
Ответы .................................................................. 432

Тема 12. Линейное программирование ...................................434
Задачи для самоподготовки ...................................... 452
Ответы .................................................................. 454

Контрольные задания ...............................................................455

Вопросы для подготовки к зачету ...........................................503

Вопросы для подготовки к экзамену .......................................506

Пример зачетного задания ......................................................509

Пример экзаменационного задания .......................................511

Литература.................................................................................513

ПРЕДИСЛОВИЕ

Совершенствование деятельности в любой области 
экономики в значительной мере связано с применением 
математических методов исследования.
В настоящее время в экономических вузах все более 
востребованным становится онлайн-образование. В то же 
время практически отсутствуют учебные пособия, отражающие его специфику. В первую очередь, это касается 
базовых математических дисциплин. 
Цель курса математики в системе подготовки экономиста — освоение необходимого математического аппарата, 
помогающего анализировать, моделировать и решать 
прикладные экономические задачи. Изучаемые в математике методы и модели являются не только инструментами 
количественного расчета, средствами решения прикладных задач, но и эффективными методами проведения экономических исследований, элементами общей культуры.
Пособие состоит из двух частей. Часть 1 посвящена 
дисциплине «Математика», изучаемой на первом курсе 
экономического вуза. 
Задачи изучения дисциплины «Математика» вытекают 
из требований к результатам освоения программ бакалавриата, компетенций, установленных Образовательными 
стандартами высшего образования ФГОБУ «Финансовый 
университет при Правительстве РФ» (ОС ВО) по направлениям 38.03.01 «Экономика» и 38.03.02 «Менеджмент». 
В процессе изучения дисциплины перед студентами 
ставятся следующие задачи: 
• освоение приемов исследования и решения математически формализованных задач; 
• использование классического математического 
аппарата для решения прикладных задач; 
• выработка умения моделировать реальные объекты 
и процессы; 
• развитие логического и алгоритмического мышления студентов; 

• повышение уровня математической культуры студентов; 
• развитие навыков самостоятельной работы по изучению учебной и научной литературы.
В соответствии с ОС ВО по направлениям «Экономика», «Менеджмент» (уровень бакалавра) процесс изучения дисциплины «Математика» направлен на формирование следующих
а) универсальных компетенций: 
инструментальных компетенций 
– способность использования прикладное программное обеспечение при решении профессиональных задач 
(УК-4);
социально-личностных компетенций
– способность и готовность к самоорганизации, продолжению образования, к самообразованию на основе 
принципов образования в течение всей жизни (УК-8);
системных компетенций
– способность осуществлять поиск, критически анализировать, обобщать и систематизировать информацию, 
использовать системный подход для решения поставленных задач (УК-10);
– способность к постановке целей и задачи исследования, выбору оптимальных путей и методов их достижения (УК-11);
цифровых компетенций
– способность релевантно решаемым задачам использовать информационные ресурсы и информационно-коммуникационные технологии для достижения целей, связанных 
с профессиональной деятельностью, обучением, участием 
в жизни общества и других сферах жизни (УК-15);
б) профессиональных компетенций:
аналитических компетенций
– способность применять математические методы для 
решения стандартных профессиональных задач, интерпретировать полученные математические результаты 
(ПКН-2);

прикладных компетенций
– способность применять инструменты прогнозирования, методы планирования и выработки управленческих решений, а также использовать способы обеспечения координации и контроля деятельности организации 
(ПКН-3);
– владение методами количественного и качественного анализа информации, а также навыками построения моделей, применяя для анализа моделирования 
и поддержки принятия решений современные информационные технологии и программные средства, включая 
инструменты бизнес-аналитики, обработки и анализа 
данных (ПКН-10);
– способность анализировать рыночные и специфические риски при решении задач управления организацией 
(ПКН-11).
В результате изучения дисциплины студент должен:
а) знать основные понятия линейной алгебры и аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений, дифференциальных уравнений и рядов, 
используемые в экономических исследованиях и при изучении других дисциплин естественнонаучного и профессионального циклов;
б) уметь применять основные классические математические методы решения прикладных задач; строить математические модели прикладных задач;
в) владеть навыками классического математического 
инструментария для решения прикладных (экономических) задач.

ВВЕДЕНИЕ

Цель данного учебного пособия (часть 1) оказать 
студенту онлайн-образования максимальную помощь 
и сопровождение по всем видам учебной деятельности, 
обеспечить оптимальную организацию его самостоятельной работы при изучении дисциплины «Математика», 
представляющей основу курса математики в экономическом университете. 
Дисциплина «Математика» с традиционными лекциями и семинарами в вузе может быть дополнена параллельно изучаемой дисциплиной «Цифровая математика», 
в которой, в частности, реализуются графические, аналитические и численные методы решения ряда математических задач на компьютере. При этом важно, чтобы решение задач на семинарах по математике подкреплялось их 
наглядной визуализацией на цифровых носителях, вариативностью в динамике на занятиях по цифровой математике. Такой опыт параллельного изучения взаимно 
дополняющих двух дисциплин реализован в Финансовом 
университете.
Для освоения дисциплины «Математика» в вузе 
записаны видеолекции, проводятся аудиторные занятия. 
Основной формой обучения для студентов онлайн-образования является самостоятельная работа над изучаемыми курсами с видео-лекциями, учебником и учебными 
пособиями. (рекомендуемый список приведен в разделе 
«Литература»).
Для эффективной организации самостоятельной 
работы студентов в Финансовом университете разработан 
электронный учебный курс (ЭУК). ЭУК — это электронный образовательный ресурс, реализованный в виртуальной обучающей среде MOODLE (аббревиатура от англ. 
Modular Object-Oriented Dynamic Learning Environment 
(модульная объектно-ориентированная динамическая обучающая среда)). ЭУК содержит всю необходимую информацию по дисциплине, а также тематические тренинги 

и тесты. Текущие и промежуточные испытания проводятся 
с использованием ЭУК. Задания онлайн-контроля генерируются системой из созданного электронного банка задач. 
Подробно вопросы работы с ЭУК рассматриваются 
в разделе «Методика изучения дисциплины «Математика» студентами Института открытого образования 
в среде МООDLE».
Далее в разделе «Содержание разделов, типовые задания и рекомендации по изучению дисциплины» по каждой теме приводится учебно-программный материал, 
который должен изучить студент со ссылками на рекомендованные (в качестве основной литературы) учебники 
и учебные пособия, методические рекомендации по изучению темы, справочный материал (формулы для справок), традиционные и тестовые задания (с решениями) 
и для самоподготовки (с ответами) — в т.ч. со ссылкой 
на номера задач из рекомендуемых учебников)). 
При этом особое внимание уделяется приложениям 
математических понятий и методов в экономике и управлении, иллюстрируемых практико-ориентированными 
(экономическими) задачами с решениями. 
В разделе «Контрольные задания» приводятся варианты контрольных работ №1 и №2, которые должен 
выполнить студент онлайн-образования соответственно 
в первом и втором семестрах, контрольные вопросы для 
подготовки к зачету (I семестр) и экзамену (II семестр). 
Завершается раздел примерами зачетного и экзаменационного заданий с решениями.
Каждый студент с самого начала занятий должен 
выработать для себя рациональную систему работы над 
курсом и постоянно практиковаться в решении задач. 
В противном случае усвоение и практическое использование учебного материала затруднены. Чрезвычайно важны 
систематические занятия. Работа урывками не приносит 
положительных результатов.
Студенту рекомендуется вести конспект (рабочую 
тетрадь), в которой целесообразно конспектировать опре

деления, формулировки теорем, схемы их доказательств, 
формулы и решения задач. Формулы следует выписывать в специальные таблицы для каждой части (раздела) 
курса. Постоянное пользование конспектом, в частности 
таблицами формул, способствует их запоминанию и дает 
возможность решать примеры и задачи, не обращаясь 
к учебным пособиям.
При решении различных задач нередко приходится 
вычислять приближенно значения функции, определенного интеграла и др. Незнание правил приближенных 
вычислений часто приводит к тому, что их результаты 
оказываются не только неточными, но и ошибочными, 
настолько они далеки от истинных (точных) значений. 
При этом многие стремятся удержать больше цифр 
в окончательном ответе, показать, какой «высокой» степени точности они добились. Точность такого ответа, 
как правило, оказывается ложной, так как определенное 
число последних цифр просто ошибочно. Чтобы этого 
не случилось, необходимо знать и применять правила 
приближенных вычислений (см. раздел «Основные правила приближенных вычислений»). Ими надлежит пользоваться при выполнении арифметических операций 
с приближенными числами и для получения приближенного результата.