Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

В. Н. Веретенников, Е. А. Бровкина 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ  
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 

Практикум 

Учебное пособие 

Москва 
2022 

УДК 512(075) 
ББК 22.14я7 
        В31 

Рецензент: 

Вагер Б. Г., д-р физ.-мат. наук, проф. СПбАСУ 

Веретенников, В. Н. 

В31      Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных: 
учебное пособие / В. Н. Веретенников, Е. А. Бровкина. – Москва : 
Директ-Медиа, 2022. – 60 с. 

ISBN 978-5-4499-3220-4 

Пособие является девятым выпуском учебника по всем разделам курса математики для бакалавров гидрометеорологических направлений, соответствует государственному образовательному стандарту и действующим программам. 
Активизация познавательной деятельности студентов, выработка у них способности самостоятельно решать достаточно сложные проблемы может быть достигнута при такой организации учебного процесса, когда каждому студенту выдаются индивидуальные домашние задания (ИДЗ) с обязательным последующим 
контролем их выполнения и выставлением оценок. 
Предлагаемое пособие адресовано преподавателям и студентам и предназначено для проведения практических занятий и самостоятельных (контрольных) работ в аудитории и выдачи ИДЗ. 

УДК 512(075) 
ББК 22.14я7 

ISBN 978-5-4499-3220-4
© Веретенников В. Н., Бровкина Е. А., текст, 2022
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2022

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Оглавление…………………………………………………………………………..3 
Предисловие…………………………………………………………………………4 
Опорный конспект…………………………………………………………………..5 
Вопросы для самопроверки………………………………………………………..16 
Примеры решения задач …………………………………………………………..18 
Задачи и упражнения для самостоятельной работы……………………………..38 
Индивидуальные домашние задания……………………………………………...42 
Решение задач типового варианта ………………………………………………..50 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Настоящее учебное пособие написано на основе многолетнего опыта чтения 
лекций и ведения практических занятий по математике в РГГМУ. Оно предназначено как для студентов, так и для преподавателей, особенно молодых, начинающих вести практические занятия. 
Пособие не является сборником задач в обычном смысле слова. Как явствует из его структуры, оно преследует цель помочь активному и неформальному 
усвоению студентами изучаемого предмета. При составлении пособия имелось в 
виду, что им будут пользоваться студенты заочного факультета. В связи с этим 
материал каждой темы разбит, как правило, на четыре пункта. 
В разделе – «Опорный конспект» – вводятся и разъясняются все базисные 
понятия и методы. Даются иллюстрирующие примеры, вопросы для самопроверки, решаются типовые задачи. Материал располагается в той же последовательности, что и на лекциях, но без доказательств. Даются только определения, формулировки и пояснения теорем, их физическая и геометрическая интерпретация, 
чертежи, выводы, правила. Второстепенные вопросы опущены. 
В разделе «Вопросы для самопроверки» – содержатся вопросы по теории и 
простые задачи, решение которых не связано с большими вычислениями, но которые хорошо иллюстрируют, то или иное теоретическое положение. Назначение 
этого пункта – помочь студенту в самостоятельной работе над теоретическим материалом, дать ему возможность самому проконтролировать усвоение основных 
понятий. Многие контрольные вопросы направлены на раскрытие этой сути. Из 
этого раздела преподаватель может черпать вопросы для проверки готовности 
студентов к практическому занятию по той или иной теме. 
В разделе «Примеры решения задач» – разобраны типичные примеры, демонстрирующие применение на практике результатов теории. При этом большое 
внимание уделяется обсуждению не только «технических приемов», но и различным «тонким местам», например, условиям применимости той или иной теоремы 
или формулы. 
Назначение раздела «Задачи и упражнения для самостоятельной работы» – 
определено его названием. При подборе упражнений были использованы различные источники, в том числе широко известные задачники. В конце задачи дается 
ответ и указание. 
Начало и конец доказательства теоремы и решений задач отмечаются соответственно знаками ▲ и ▼. 
В пособии приведен перечень знаний, умений и навыков, которыми должен 
владеть студент; указана используемая литература. 
Авторы надеются, что данное пособие поможет студентам в овладении методами линейной алгебры, в их самостоятельной работе над предметом. Они также выражают надежду, что пособие будет полезным для преподавателей в работе 
со студентами, и с благодарностью воспримут все критические замечания и пожелания, направленные на улучшение его содержания. 

Опорный конспект 

Последовательность точек в  -мерном евклидовом пространстве 
Понятие мерного евклидова пространства 

 

Совокупность   чисел называется упорядоченной, если указано, какое из 
этих чисел считается первым, какое – вторым, и т.д. 

Произвольную упорядоченную совокупность   чисел часто записывают в 
виде (          ), где     первое число из совокупности   чисел,     второе 
число, и т.д. 

Множество 
всевозможных 
упорядоченных 
совокупностей   
чисел 
ся  -мерным координатным пространством и обозначается   . 
Каждая упорядоченная совокупность (          ) называется точкой это
го пространства и обозначается так  (          ). 
При этом числа            называются координатами точки  . 
Расстоянием между двумя произвольными точками 

  (          ) и   (          )  

координатного пространства    называется число  (     ), определяемое формулой 
 (     )  √(     )  (     )    (     ) . 
 
(1) 

Определение. Координатное пространство    с введенным по формуле (1) расстоянием между точками называется  -мепрным евклидовым пространством и 
обозначается   . 
 Отметим, что евклидово пространство    представляет собой числовую 
прямую (т.е. множество всех вещественных чисел) и геометрически изображается координатной прямой. 
 Аналогично евклидовы пространства    и    геометрически представляют 
собой соответственно плоскость и трёхмерное пространство.  В этих пространствах введены прямоугольные системы координат. 
Формула (1) обобщает известную из аналитической геометрии формулу расстояния между точками на случай -мерного пространства. 
 
Множество точек пространства    
 
Пусть точка         некоторое положительное число. 

Множество точек {   (   )   } (т.е. множество всех точек евклидова пространства   , удовлетворяющих условию  (   )   ), называется  -мерным 
шаром радиуса   с центром в точке  . 
Множество точек {   (   )   } называется открытым  -мерным шаром 
радиуса   с центром в точке  . 
Множество точек {   (   )   } называется  -мерной сферой радиуса   с 
центром в точке  . 

Отметим, что при      (т.е. на евклидовой плоскости) эти множества представляют собой 
соответственно круг, открытый круг и окружность радиуса   с центром в точке  . 
Открытый шар радиуса   с центром в точке   называется  -окрестностью точки  . 

Пусть точка   имеет координаты(          ), а             положи
тельные числа. 

Множество точек 

{ (          ) |     |     |     |       |     |    } 

называется  -мерным параллелепипедом. 
При     это множество представляет собой прямоугольник. 
Пусть { }   некоторое множество точек пространства   .

Определение. Точка   называется внутренней тоской множества { }, если 
существует  -окрестность точки  , целиком принадлежащая множеству { }, 
(т.е. все точки этой  -окрестности принадлежат множеству { }; рис.1) 

Определение. Точка   называется граничной точкой множества { }, если в 
любой  -окрестности точки   содержатся точки, как принадлежащие множеству { }, так и не принадлежащие ему (рис.2). 
Отметим, что граничная точка множества может, как принадлежать этому 

множеству, так и не принадлежать ему. 
Определение. Множество { } называется открытым, если все его точки – 
внутренние. 
Определение. Множество { } называется замкнутым, если оно содержит все 
свои граничные точки. Множество всех граничных точек множества { } 
называется его границей. 
Определение. Точка   называется предельной точкой множества { }, если в 
любой  -окрестности точки   содержатся точки множества { }, отличные от  . 

Образно говоря, точка   называется предельной точкой множества { }, ес
ли «к точке   можно подойти сколь угодно близко, идя по точкам 
ства { } и не наступая на саму точку  ». Отметим, что предельная точка множества может принадлежать, а может и не принадлежать этому множеству. 

Множество { } называется ограниченным, если все его точки содержатся в 

некотором шаре. 

Множество 
  { (          )      ( )      ( )        ( )      },