Основы качественной теории динамических систем с ударными взаимодействиями.

С.П. ГОРБИКОВ
ОСНОВЫ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ 
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 
С УДАРНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ
КАК И КАКИЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ 
ВЛИЯЮТ НА ХАРАКТЕРНОЕ ПОВЕДЕНИЕ 
ТРАЕКТОРИЙ ВИБРОУДАРНЫХ СИСТЕМ
МОНОГРАФИЯ
Москва
ИНФРА-М
2024

УДК 517.938(075.4)
ББК 22.161.6
 
Г64
Р е ц е н з е н т ы:
Филатов Л.В., кандидат физико-математических наук, доцент Нижегородского государственного архитектурно-строительного университета;
Пакшин П.В., доктор физико-математических наук, профессор, 
заведующий кафедрой прикладной математики Арзамасского политехнического института (филиала) Нижегородского государственного технического университета
Горбиков С.П.
Г64 
 
Основы качественной теории динамических систем с ударными взаимодействиями. Как и какие аналитические условия влияют 
на характерное поведение траекторий виброударных систем : монография / С.П. Горбиков. — Москва : ИНФРА-М, 2024. — 193 с. — (Научная мысль). — DOI 10.12737/2083333.
ISBN 978-5-16-019030-3 (print)
ISBN 978-5-16-111830-6 (online)
В монографии вводится наиболее общий вид динамических систем 
с ударными взаимодействиями. Дается понятие локальных особенностей 
этих систем. Изучаются локальные особенности динамических систем 
с ударными взаимодействиями первых шести типов. Доказывается их топологическая эквивалентность, т.е. их одинаковость. Изучаются две простейшие виброударные системы, имеющие основополагающее значение 
для практики.
Рассчитана на научных работников, инженеров, студентов и аспирантов, интересующихся изучением динамических систем и процессов.
УДК 517.938(075.4)
ББК 22.161.6
ISBN 978-5-16-019030-3 (print)
ISBN 978-5-16-111830-6 (online)
© Горбиков С.П., 2024

О Г Л А В Л Е Н И Е
Список основных обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Глава I. ЛОКАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ
СИСТЕМ С УДАРНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ.
ОПИСАНИЕ БЕСКОНЕЧНОУДАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ
ВНУТРИ ОБЛАСТИ ИХ СУЩЕСТВОВАНИЯ . . . . . . . . . . . .
10
§1. Описание рассматриваемого класса динамических
систем с ударными взаимодействиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
§2. Изучаемые типы локальных особенностей динамических
систем с ударными взаимодействиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
§3. Изучение локальных особенностей первых трех типов . . . . . . . . . . .
18
§4. Изучение локальной особенности четвертого типа . . . . . . . . . . . . . . .
23
§5. Дифференциальные уравнения вспомогательных
скользящих движений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
§6. Некоторые применения полученного описания
бесконечноударных движений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Выводы главы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Глава II. ЛОКАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ
СИСТЕМ С УДАРНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ.
ГРАНИЦА ОБЛАСТИ БЕСКОНЕЧНОУДАРНЫХ
ДВИЖЕНИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
§1. Уравнения движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
§2. Изучение локальной особенности пятого типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
§3. Изучение локальной особенности шестого типа . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
§4. Область бесконечноударных движений и ее граница. Способ
численного изучения динамических систем с ударными
взаимодействиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
§5. Применения полученного описания локальной особенности
шестого типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123
Выводы главы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
Глава III. ОСНОВНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ
ОДНОЙ СИСТЕМЫ ИЗ ТЕОРИИ
ВИБРОПЕРЕМЕЩЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
§1. Уравнения движения рассматриваемой системы . . . . . . . . . . . . . . . .
126
§2. Описание фазового пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128
§3. Сведение задачи к рассмотрению точечного отображения . . . . . .
130
3

§4. Некоторые особенности точечного отображения . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
§5. Периодические движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
§6. Структура пространства параметров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
§7. Расчет безразмерной средней скорости
вибротранспортирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
Выводы главы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
145
Глава IV. ПОДСЧЕТ СРЕДНЕЙ СКОРОСТИ
ВИБРОТРАНСПОРТИРОВАНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
§1. Уравнения движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
§2. Методика расчета средней скорости вибротранспортирования . .
147
§3. Результаты расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
Выводы главы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152
Глава V. ОСНОВНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ
ОСЦИЛЛЯТОРА БЕЗ ВЯЗКОГО ТРЕНИЯ
С НЕПОДВИЖНЫМ ОГРАНИЧИТЕЛЕМ . . . . . . . . . . . . . .
154
§1. Уравнения движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
§2. Фазовое пространство осциллятора с предварительным
натягом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
§3. Точечное отображение осциллятора с предварительным
натягом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
§4. Особенности точечного отображения осциллятора
с предварительным натягом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158
§5. Структура пространства параметров осциллятора
с предварительным натягом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
§6. Фазовое пространство осциллятора с зазором . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173
§7. Точечное отображение осциллятора с зазором . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173
§8. Особенности точечного отображения осциллятора с зазором . . .
175
§9. Структура пространства параметров осциллятора с зазором . . .
179
Выводы главы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
188
4

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
В монографии используются следующие обозначения:
(x1, x2, . . . , xn) - точка n −мерного евклидова векторного пространства Rn;
t −время;
функция f(x1, . . . , xn) или векторная функция
(f1(x1, . . . , xn), . . . ,
fr(x1, . . . , xn)) принадлежит классу Cm( ¯
D)(либо классу Cm), если она имеет во внутренности некоторого множества D, на котором она рассматривается, все частные производные до порядка m включительно, непрерывные
на замкнутом множестве ¯
D(если m = 0, то под частными производными
порядка m, естественно, подразумевается сама функция f);
для любых функций h(x1, . . . , xn) и f(x1, . . . , xn−1) запись h




xj=a
обозначает функцию h(x1, . . . , xj−1, a, xj+1, . . . , xn), а
h




M0
= h(x0
1, . . . , x0
n) и
f




M0
= f(x0
1, . . . , x0
n−1), если M0 = (x0
1, . . . , x0
n−1, x0
n);
∂g1
∂x1
. . .
∂g1
det
- определитель соответствующей мат⎛
⎞
∂xj
⎝∂gi
⎠=
∂xn
. . .
. . . . . .
∂gn
∂x1
. . .
∂gn
∂xn




























рицы; 1, n = 1, 2, 3, . . . , n;
для любой функции x(t) дифференцирование по времени обозначается
dx
dt2 = Ё
x, d3x
dt3 = x
′′′;
dt = ˙
x, d2x

(x1, . . . , xn)|fi(x1, . . . , xn) = 0, i = 1, k

- множество точек пространства Rn, удовлетворяющих перечисленным условиям;
B\A - разность множеств B и A (т.е. множество точек, входящих в
B и не входящих в A).
5

ПРЕДИСЛОВИЕ
В различных областях современной техники широко используются
устройства с соударяющимися элементами. Они применяются в машиностроении, строительстве, в горной, лесной, пищевой промышленности, в
металлургии, при механизации различных работ в сельском хозяйстве и
т.д.
Изучение динамических систем, описываюших функционирование таких устройств, проводилось в значительном числе работ, авторы которых -
В.И.Бабицкий, Н.Н.Баутин, И.И.Блехман, В.Ф.Журавлев, А.А. и А.Е.Кобринские,
М.З.Коловский,
Э.Э.Лавендел, Р.Ф.Нагаев,
Ю.И.Неймарк,
К.М.Рагульскис, М.И.Фейгин, C.N.Bapat, P.J.Holmes, S.F.Masri, F.Peterka,
S.W.Shaw и многие другие.
Но построение качественной теории динамических систем с ударными
взаимодействиями происходило фрагментарно, хотя необходимость такого
подхода была осознана после работ А.А.Андронова. Тем более, что еще в
1953 г. Ю.И. Неймарк провел уникальное исследование [Н5], на которое авторы прикладных работ до сих пор ссылаются. Он выполнил характерное
для него теоретическое исследование, которое имело сугубо практическое
значение. В [Н5] изучается процесс вибропогружения в случае упругого
грунта; открыт новый эффект вибраций: они способны снижать сопротивление при внедрении в грунт.
В настоящее время при изучении виброударных систем, когда к действию вибраций (результаты действия вибраций на технические системы
описаны в монографии [Б5]) добавляются удары, исследователи занимаются:
методами расчета виброударных систем (например, [А11, Б6 и др.]);
разработкой моделей, методов синтеза и анализа динамики виброударных систем различного типа (например, [Б4, В4, М2 и др.]).
Более подробное представление о современном состоянии теории виброударных систем можно получить, например, из [Д2].
В то же время в теории виброударных систем известны движения,
при которых за конечный промежуток времени траектория бесчисленное
число раз попадает на многообразие разрыва. Это -бесконечноударные движения [М1, c. 291; Ф2; Н4], т.е. движения с бесконечным числом ударных
взаимодействий за конечное время.
В плане изучения локальных качественных особенностей динамических систем с ударными взаимодействиями сделано следующее. В работе
[Д1] для конкретной системы, а в [Ф1] для неавтономной динамической
6

системы общего вида с прямым ударом, описываемым гипотезой Ньютона,
устанавливается структура фазового пространства в окрестности точки на
поверхности S = 0 удара, в которой первая и вторая производные функции
S (в силу дифференциальных уравнений движения) равна нулю, а третья
- положительна (движение системы происходит в области S ≥0).
В [Г4] предлагается наиболее общая модель динамических систем с
ударными взаимодействиями (в частности, виброударных систем), включающая в том числе и системы, используемые в [Н4]. Для введенных систем
(в одном общем случае) в [Г4] дается описание бесконечноударных движений с помощью гладких дифференциальных уравнений. Интегральные
кривые этих уравнений получили название вспомогательные скользящие
движения.
При выполнении работы [Г4] Ю.И.Неймарк предложил идею об описании бесконечноударных движений с помощью дифференциальных уравнений. Эта идея сразу решала проблему о единственности предельной точки бесконечноударного движения и кривой, в которой начинаются, продолжаются бесконечноударные движения, заканчивающиеся в выделенной
точке. Оказывается, что эта же идея работает и для локальной особенности [Г5] пятого [Г10] и шестого [Г13] типа. Идеи Ю.И.Неймарка всегда
благотворны и имеют далекое идущее будущее.
В [Г11, Г12, Г14] устанавливается топологическая эквивалентность
указанных локальных особеннстей.
Цель данной монографии состоит в исследовании локальных качественных особенностей динамических систем с ударными взаимодействиями, а также в изучении (с помощью полученных при этом исследовании
результатов) установившихся движений ряда конкретных систем, составляющих основу теории виброударных систем.
Она содержит пять глав, каждая из которых заканчивается выводами
(из полученных в данном разделе результатов).
В главе I вводятся в рассмотрение шесть типов локальных особенностей динамических систем с ударными взаимодействиями, и изучаются
первые четыре выделенных типа особенностей. В §1 дано описание рассматриваемого класса динамических систем с ударными взаимодействиями и обоснование выделения именно такого класса. В §2 определяются
6 типов локальных особенностей, которые в дальнейшем изучаются. В §3
доказываются утверждения о структуре фазового пространства и топологической эквивалентности (при соответствующих условиях) малых окрестностей первых трех выделенных типов локальных особенностей. В §4 −§6
исследуется локальная особенность четвертого выделенного типа. В§4 вво7

дится в рассмотрение некоторое точечное отображение и доказываются достаточные условия существования бесконечноударных движений. В §5 доказывается теорема об описании бесконечноударных движений вспомогательными гладкими дифференциальными уравнениями, указывается сходящаяся итерационная процедура для их отыскания. §6 посвящен примерам использования полученного описания бесконечноударных движений.
Здесь: находятся предельные значения бесконечноударных движений; рассматриваются бифуркации периодических решений, включающих участок
бесконечноударных движений, происходящие при изменении коэффициента восстановления нормальной составляющей скорости от нуля; для одной
частной задачи численно исследуются бесконечноударные движения; доказывается при соответствующих условиях топологическая эквивалентность
локальных особенностей четвертого типа.
В главе II изучаются локальные особенности пятого и шестого выделенных типов. В §1 уравнения движения рассматриваемого класса динамических систем приводятся к виду, более удобному для предстоящих исследований. В §2 доказывается теорема о структуре фазового пространства
изучаемых динамических систем в малой окрестности локальной особенности пятого выделенного типа. Дается описание (с помощью гладких дифференциальных уравнений) бесконечноударных движений в малой окрестности особенности пятого типа как на границе области существования бесконечноударных движений, так и внутри этой области. В §3 доказывается
теорема о структуре фазового пространства рассматриваемых систем в малой окрестности локальной особенности шестого выделенного типа. Бесконечноударные движения этой окрестности описываются с помощью гладких дифференциальных уравнений. Доказывается при соответствующих
условиях топологическая эквивалентность локальных особенностей шестого типа. В §4 дается определение области бесконечноударных движений.
Формулируется один способ численного исследования таких систем. В §5
даются применения полученного описания локальной особенности шестого
типа.
В главе III изучаются основные установившиеся движения одной задачи из теории виброперемещения. В преамбуле главы предлагается определение таких движений, которое в дальнейшем используется. В §1 приводятся уравнения, которым подчиняется движение рассматриваемой динамической системы. §2 посвящен описанию особенностей структуры фазового пространства системы. В §3 - §6 изучается система, описывающая
движение частицы в направлении, нормальном к вибрирующей плоскости.
В §3 задача об изучении движений в такой системе сводится к исследо8

ванию точечного отображения T. В §4 устанавливается ряд особенностей
отображения T, которые в дальнейшем используются. В §5 рассматриваются периодические точки отображения T, а также некоторые их бифуркации. Обнаружено наличие в системе гомоклинических структур, образованных сепаратрисами седловых неподвижных точек. В §6 на основании результатов численных экспериментов на ЭВМ делаются выводы о
структуре пространства параметров, о характере установившихся движений, об их областях притяжения. В §7 приводятся результаты численного
счета средней скорости виброперемещения вдоль плоскости при условии,
что для описания изменения касательных составляющих скорости при ударе используется "гипотеза сухого трения". Описываются закономерности
поведения средней скорости вибротранспортирования в зависимости от изменения параметров системы.
В главе IV подсчитывается средняя скорость вибротранспортирования, оптимальная по углу вибраций. В §1 приводятся уравнения движения
рассматриваемой системы. В §2 описывается методика подсчета средней
скорости вибротранспортирования. В §3 указываются закономерности поведения (при изменении параметров) средней скорости виброперемещения,
оптимальной по углу вибраций. Даются практические рекомендации для
увеличения средней скорости виброперемещения.
В главе V найдены основные установившиеся движения осциллятора
без вязкого трения с неподвижным ограничителем. В §1 уравнения, описывающие движения такого осциллятора, приводятся к наиболее удобному
для дальнейших рассмотрений виду. В §2 и §6 описываются особенности
фазового пространства осциллятора с предварительным натягом и с зазором, соответственно. В §3 и §7 изучение соответствующих динамических
систем сводится к рассмотрению соответствующих точечных отображений.
В §4 и §8 для осциллятора с предварительным натягом и с зазором, соответственно, доказана диссипативность и наличие при определенных условиях
периодического движения с одним ударом, после которого фазовая точка
попадает в область бесконечноударных движений. В §5 и §9 для осциллятора с предварительным натягом и с зазором, соответственно, описана
структура пространства параметров на базе выделения основных установившихся движений и указания тех из них, которые имеют значительные
области существования в пространстве параметров.
В заключении монографии приводятся основные результаты, с указанием тех разделов, где они получены. Также формулируется ряд нерешенных задач качественной теории динамических систем с ударными взаимодействиями, примыкающий к изученным в работе проблемам.
9

Глава I. ЛОКАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
С УДАРНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ. ОПИСАНИЕ
БЕСКОНЕЧНОУДАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ВНУТРИ
ОБЛАСТИ ИХ СУЩЕСТВОВАНИЯ
Данная глава посвящена описанию рассматриваемого класса динамических систем с ударными взаимодействиями, выделению шести типов
локальных особенностей таких систем и изучению особенностей первых четырех типов.
Основные результаты главы I опубликованы в работах [Г4, Г5, Г11,
Г14].
Ÿ1. ОПИСАНИЕ РАССМАТРИВАЕМОГО КЛАССА
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
С УДАРНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ
Предполагается [Г4], что мгновенные ударные взаимодействия происходят на гиперповерхности xn = 0, по достижении которой фазовые переменные x1, x2, . . . , xn−1 меняются скачкообразно (переменная xn остается
равной нулю) в соответствии с формулами
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
¯
x1 = H1(x−
1 , . . . , x−
n−1) = x−
1 H11(x−
1 , . . . , x−
n−1),
¯
xi = Hi(x−
1 , . . . , x−
n−1) = x−
i + x−
1 H1i(x−
1 , . . . , x−
n−1),
i = 2, n −1,
(1.1.1)
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
а при xn > 0 изменение фазовых переменных подчиняется дифференциальным уравнениям вида
dxi
dt = ˙
xi = Φi(x1, . . . , xn), i = 1, n −1,
dxn
(1.1.2)
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
dt = ˙
xn = Φn(x1, . . . , xn) =
= x1Φn1(x1, . . . , xn) + xnΦnn(x1, . . . , xn).
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
Фазовое пространство системы составляют
точки
(x1, . . . , xn−1,
xn ≥0). В соотношениях (1.1.1): x−
1 , . . . , x−
n−1 и ¯
x1, . . . , ¯
xn−1 - соответственно
доударные и послеударные значения переменных.
На протяжении всей работы предполагается, что всякий раз при использовании уравнений (1.1.1), (1.1.2) выполняются следующие условия:
10