Теоретические основы построения развёрток поверхностей. Конструирование развёрток оболочек в программе Компас-3D

В Ы С Ш Е Е  О Б Р А З О В А Н И Е 
 
 
Л.Р. ЮРЕНКОВА 
А.Б. МИНЕЕВ 
Ю.В. ЩЕРБАКОВА 
И.В. ТОРБИНА 
 
 
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 
ПОСТРОЕНИЯ РАЗВЕРТОК 
ПОВЕРХНОСТЕЙ 
 
КОНСТРУИРОВАНИЕ  
РАЗВЕРТОК ОБОЛОЧЕК 
В ПРОГРАММЕ «КОМПАС-3D» 
 
 
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 
ИНФРА-М 
2024 

УДК 004.94(075.8)
ББК 30в6я73 

Ю69

ФЗ 

№ 436-ФЗ 

Издание не подлежит маркировке 

в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1 

 
 
 
 
 
 
 
 
Юренкова Л.Р. 
Ю69 
Теоретические 
основы 
построения 
разверток 
поверхностей. 
Конструирование разверток оболочек в программе «Компас-3D» : учебное 
пособие / Л.Р. Юренкова, А.Б. Минеев, Ю.В. Щербакова, И.В. Торбина. — 
Москва : ИНФРА-М, 2024. — 55 с. — (Высшее образование). 
 
ISBN 978-5-16-112416-1 (online) 
 
Учебное пособие посвящено построению разверток поверхностей. Дана 
теоретическая 
основа 
построения 
разверток. 
Описаны 
развертки 
криволинейных 
развертываемых 
и 
неразвертываемых 
поверхностей. 
Охарактеризовано 
построение 
разверток 
деталей 
в 
«Компас-3D». 
Рассмотрено создание оболочек без построения разверток. 
Для студентов, аспирантов и преподавателей технических вузов 
и факультетов. 
 
УДК 004.94(075.8) 
ББК 30в6я73 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-16-112416-1 (online)  
 
   © Юренкова Л.Р., Минеев А.Б. 
       Щербакова Ю.В., Торбина И.В.,  
       2024 

Содержание  
Стр. 
       Введение  .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .     .   .   .    4  
                                                                                                                
1. Теоретическая основа построения  разверток   .   .   .   .   .  .   .   .   .  .   6   
  
2. Развертки криволинейных развертываемых поверхностей .   .  .  .  . 7 
                                                     
       2.1. Цилиндрические поверхности.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  7 
 
 2.2. Коническая поверхность  .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  .   9 
 
 2.3.Торсовая поверхность  .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  .   .   .   .   .  11 
 
3.  Развертки криволинейных неразвёртываемых поверхностей .   .   .  13  
 
       3.1. Поверхность вращения.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  .   .  .   14 
   
       3.2. Винтовая поверхность  .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  .   .   . 17 
 
       3.3. Кольцевая поверхность  .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  .   .  . 22 
 
  4. Построение разверток деталей в Компас-3D  .   .   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  25 
 
        4.1. Развертки деталей  из листового материала    .    .    .    .    .   .    .   .   .   .      25 
                  
  4.2.  Развертка патрубка.    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .   .   .    .    .    .    .    .   33 
 
       4.3. Развертки деталей в форме  конуса .    .    .    .    .   .    .    .    .  .   .   .   .    .   .   .   37  
 
 4.4.  Развёртка винтовой поверхности   .   .   .   .  .   .   .    .  .   .   .   .   .   .  39 
 
 4.5.  Развертка отвода .    .    .    .    .    .   .   .   .   .  .   .   .   .  .   .  .   .   .  .  .  42 
       
 5.  Создание  оболочек без построения развертки.   .   .    .   .   .   .   .   .    48 
  
       5.1. Способ намотки  .  .  .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  .   .   .   .   .   . . 48  

       5.2. Способ выкладки  .    .    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  .   .   .   .  .  52 
 
     Список литературы   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  .   .   .   .  .   .  .  .  55     
 

 

Введение 

                                                                

      Построение разверток является важной технической задачей. В 

современной промышленности широко применяются разнообразные изделия, 

выполненные из листового материала путем гибки, например:  

− детали машин; 

− трубопроводы;  

− сосуды;  

− обувные изделия 

− швейные изделия и другие. 

Способы построения разверток поверхностей 

 Преобразование поверхности, в результате которого она совмещается с 

плоскостью, называется развертыванием. Фигура на плоскости, получаемая 

в результате этого преобразования, называется разверткой. 

Развертываемые поверхности могут быть совмещены с плоскостью 

путем изгибания без складок и разрывов, всеми своими точками. 

Неразвертываемые поверхности могут быть совмещены с плоскостью 

приближенно, в результате некоторой деформации или условной замены 

отсеков 
неразвертываемых 
поверхностей, 
отсеками 
поверхностей 

развертываемых. Поэтому развертки в зависимости от вида поверхности 

бывают: 

 - точными; 

- приближенными; 

- условными. 

Развертываемой может быть только поверхность, образованная  при 

движении в пространстве  прямой линии-образующей, и при этом ее 

смежные образующие либо пересекаются, либо параллельны.  

К развертываемым поверхностям относятся гранные, конические, 

цилиндрические и торсовые поверхности. Теоретически точно можно 

получить развертку гранных поверхностей. На практике при развертывании 

конических и цилиндрических поверхностей их заменяют вписанными 

гранными поверхностями. Чем большее число граней имеет вписанная 

поверхность, 
тем 
точнее 
развертка, 
которую 
следует 
отнести 
к 

приближенной. 

Чтобы построить развертку неразвертываемой поверхности, ее разбивают 

на части-отсеки, которые заменяют отсеками развертываемых поверхностей. 

Затем строят развертки этих частей, дающих в сумме условную развертку 

неразвертываемой поверхности.   

Прямая линия на поверхности при развертывании преобразуется в 

прямую линию на развертке; параллельным прямым на поверхности 

соответствуют параллельные прямые на развертке; остаются неизменными 

длины линий, величины плоских углов между линиями и площади фигур, 

ограниченных замкнутыми линиями. 

       Развёртки поверхностей являются основой для построения выкроек, 

изделий из листового материала, которые затем путём гибки и соединения с 

помощью таких технологических операций, как сварка, пайка, склеивание, 

вальцевание, сшивание и т.п. придаётся нужная форма поверхности изделий. 

Так получают различные изделия: обувь, одежду, тару, трубопроводы, 

купола, кожухи, резервуары и т. д. Выбор способа построения развертки 

поверхности детали, в реальном проектировании, во многом зависит от 

конкретных размеров поверхности  и технологии изготовления детали. 

   В последние годы в авиационной, химической и других отраслях 

промышленности 
получили 
распространение 
способы 
изготовления 

тонкостенных 
деталей 
– 
оболочек 
из 
композиционных 
материалов 

(композитов) без построения разверток.  

 

 

1. Теоретическая основа построения  разверток    

        Великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев1 (1821- 1894)  

был первым, кто обратил внимание на возможность и особенности покрытия 

поверхности тканью, при наименьшей площади развертки и минимальном 

количестве швов, и разработал математически метод развертывания сложных 

поверхностей с использованием сетей, названных его именем. В своем труде 

«О кройке  одежды» (1878 г.) [1] П.Л.Чебышев заложил основы теории 

построения и расчета разверток-оболочек.   

       Чебышев дал общее решение  задачи по аппроксимации поверхностей 

для  случая, когда материалом выкроек служит ткань. Эту задачу он назвал  

задачей построения выкроек одежды, предполагая, что ткань выполнена  из 

тонкой пряжи с некрупными клетками.      

         В основе теории расчета разверток лежит решение геометрической 

задачи покрытии  плоской тканью кривых поверхностей.  

       Теоретические разработки Чебышева П.Л.1 и Савостицкого А.В.2 нашли 

применение в тех отраслях промышленности, где материалом служит 

стеклопластик или композит, для которых невозможна сварка и пайка. В  

последние годы в авиастроении  широко применяется способ выкладки для 

изготовления тонкостенных деталей типа оболочек.   

 

 

 

 

                                                           
1 Чебышев П.Л. - доктор математики и астрономии, профессор императорского С.-Петербургского 
университета,  ординарный академик Императорской Академии Наук, действительный тайный 
советник занимает почетное место в ряду крупнейших математиков  мира. Наиболее 
многочисленны его работы в области математического анализа. 

2Савостицкий А.В-автор учебника «Технология швейных изделий». 2-е изд., перераб. и доп. 

М., Легкая и пищевая промышленность, 1982 г., 440 с. 

 

2. Развертки криволинейных развертываемых поверхностей 
2.1. Цилиндрическая поверхность 
 
       Развертки цилиндрической, конической и торсовой поверхностей 

получаются 
приближенными 
из-за 
иррационального 
числа 
π 
- 

математической константы, выражающей отношение длины окружности к  её 

диаметру.  

      Общим методом графического построения приближенных разверток 

развертываемых поверхностей является метод триангуляции. Потеря 

точности происходит вследствие того, что поверхность аппроксимируется 

многогранной 
поверхностью, 
состоящей 
из 
жестких 
неизменяемых 

треугольных граней. Для этих целей на заданной поверхности наносится 

множество 
точек, 
которые 
принимают 
за 
вершины 
многогранной 

поверхности и которые могут рассматриваться как точки каркаса этой 

поверхности. Триангуляция выполняется так, что при неограниченном 

увеличении числа точек на заданной поверхности происходит бесконечное 

увеличение числа граней многогранной поверхности. Грани превращаются в 

бесконечно малые фигуры. Пределом многогранной поверхности становится 

заданная поверхность, а пределом развертки многогранной поверхности – 

развертка заданной поверхности [1]. 

       В системах вентиляций часто встречаются  воздуховоды с переходным 

элементом, представляющим собой переходник или патрубок (рис.1).  

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1. Патрубок

Геометрическое название этого переходного элемента эллиптический 

цилиндр. Его назначение заключается в соединении вертикального 

воздуховода с горизонтальным. Построение развертки эллиптического 

цилиндра с горизонтальными круговыми сечениями приведено на рис.2. 

Нормальное сечение цилиндрической поверхности плоскостью α является 

эллипсом, большая ось которого равна диаметру кругового сечения, а 

величина малой оси соответствует расстоянию между крайними очерковыми 

образующими фронтальной проекции цилиндра. 

      Заменим цилиндрическую поверхность боковой поверхностью наклонной 

двенадцатиугольной призмы и построим развертку призмы. Окружность 

кругового сечения разделим на 12 равных частей, отметив точки деления: 0, 

1, 2, …, 11. Построим наложенную проекцию данной окружности в 

плоскости γ на фронтальной проекции поверхности цилиндра. Точки  Aо, Bо, 

Cо и т.д. определяют линию нормального сечения, разверткой которой 

является отрезок GG1. Все дальнейшие построения аналогичны тем, что 

выполняются при построении развертки призмы. На чертеже не видно точек 

А0 и т.д. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Рис. 2. Развертка боковой поверхности патрубка

Рис. 3. Построение развертки  конической поверхности

 

2.2. Коническая поверхность 

Для 
построения 
развертки 
детали, 
ограниченной 
конической 

поверхностью, последнюю заменяют вписанной в нее двенадцатиугольной 

пирамидой (рис.3). 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Ввиду наличия у конической поверхности плоскости симметрии, 

развертка также будет симметричной фигурой. В плоскости симметрии 

располагаются самая короткая и самая длинная образующие конуса. 

Окружность основания конуса разделим на двенадцать равных частей, 

выбрав за начало отсчета одну из точек в плоскости симметрии. 

Треугольники - боковые грани  пирамиды, заменившей коническую 

поверхность, построим по трем сторонам. Одна сторона треугольников 

является хордой, стягивающей дугу окружности между смежными точками 

деления, две другие стороны соответствуют длинам образующих конуса и, 

соответственно, длинам боковых ребер пирамиды. Длины образующих 

определим по правилу прямоугольного треугольника (построения показаны 

на фронтальной плоскости проекций). Развертку составляют двенадцать 

примыкающих друг к другу треугольников, имеющих общую вершину S. 

На практике чаще требуются развертки боковой поверхности усеченного 

конуса с недоступной вершиной [2]. На рис. 4 слева приведены 

ортогональные проекции усеченного конуса, а также вспомогательного 

конуса, подобного данному. Справа, на рис.4 видно, что развертка 

усеченного конуса получена с помощью развертки вспомогательного конуса 

и произвольной точки  S0 . Отношение отрезков  S0-1; S0-2;… S0-7 и S0А1; 

S0А2:… S0А7 равно  коэффициенту подобия данного и вспомогательного 

конусов. 

                                                          
 
 

  

Рис. 4.

  Построение развертки боковой поверхности прямого         
кругового усеченного конуса с недоступной вершиной